Triángulo de Reuleaux

Según muchos criterios, el triángulo de Reuleaux es una de las curvas de anchura constante más extremas.

Según el teorema de Blaschke-Lebesgue , el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña posible de cualquier curva de ancho constante dado. Esta área es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}$

donde s es el ancho constante. Un método para derivar esta fórmula de área consiste en dividir el triángulo de Reuleaux en un triángulo equilátero interior y tres regiones curvilíneas entre este triángulo interior y los arcos que forman el triángulo de Reuleaux, y luego sumar las áreas de estos cuatro conjuntos. En el otro extremo, la curva de ancho constante que tiene el área máxima posible es un disco circular , que tiene área${\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}$. ^{[ 14 ]}

Los ángulos formados por cada par de arcos en los vértices de un triángulo de Reuleaux son todos iguales a 120°. Este es el ángulo más agudo posible en cualquier vértice de cualquier curva de anchura constante. ^{[ 9 ]} Además, entre las curvas de anchura constante, el triángulo de Reuleaux es el que tiene los triángulos equiláteros inscritos más grandes y más pequeños. ^{[ 15 ]} El triángulo equilátero más grande inscrito en un triángulo de Reuleaux es el que conecta sus tres vértices, y el más pequeño es el que conecta los tres puntos medios de sus lados. El subconjunto del triángulo de Reuleaux formado por puntos pertenecientes a tres o más diámetros es el interior del mayor de estos dos triángulos; tiene un área mayor que el conjunto de puntos de tres diámetros de cualquier otra curva de anchura constante. ^{[ 16 ]}

Aunque el triángulo de Reuleaux tiene simetría diedral séxtuple , al igual que un triángulo equilátero , carece de simetría central . El triángulo de Reuleaux es la curva de anchura constante menos simétrica según dos medidas diferentes de asimetría central: la medida de Kovner-Besicovitch (cociente entre el área y la figura centralmente simétrica más grande encerrada por la curva) y la medida de Estermann (cociente entre el área y la figura centralmente simétrica más pequeña que encierra la curva). Para el triángulo de Reuleaux, las dos figuras centralmente simétricas que determinan las medidas de asimetría son hexagonales , aunque la interna tiene lados curvos. ^{[ 17 ]} El triángulo de Reuleaux tiene diámetros que dividen su área de forma más desigual que cualquier otra curva de anchura constante. Es decir, el cociente máximo de áreas a ambos lados de un diámetro, otra medida de asimetría, es mayor para el triángulo de Reuleaux que para otras curvas de anchura constante. ^{[ 18 ]}

Entre todas las figuras de anchura constante que evitan todos los puntos de una red entera , la de mayor anchura es un triángulo de Reuleaux. Uno de sus ejes de simetría es paralelo a los ejes de coordenadas sobre una línea semi-entera. Su anchura, aproximadamente 1,54, es la raíz de un polinomio de grado 6 con coeficientes enteros. ^{[ 17 ] [ 19 ] [ 20 ]}

Así como es posible que un círculo esté rodeado por seis círculos congruentes que lo toquen, también es posible disponer siete triángulos de Reuleaux congruentes de manera que todos toquen un triángulo de Reuleaux central del mismo tamaño. Este es el número máximo posible para cualquier curva de anchura constante. ^{[ 21 ]}

Entre todos los cuadriláteros , la figura que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es un cometa equidiagonal que puede inscribirse en un triángulo de Reuleaux. ^{[ 22 ]}

Según el teorema de Barbier, todas las curvas de igual anchura constante, incluido el triángulo de Reuleaux, tienen perímetros iguales . En particular, este perímetro es igual al perímetro del círculo con la misma anchura, que es${\displaystyle \pi s}$. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 9 ]}

Los radios del círculo inscrito más grande de un triángulo de Reuleaux con ancho s , y del círculo circunscrito del mismo triángulo, son:

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}$

respectivamente; la suma de estos radios es igual al ancho del triángulo de Reuleaux. De forma más general, para toda curva de ancho constante, el círculo inscrito más grande y el círculo circunscrito más pequeño son concéntricos, y la suma de sus radios es igual al ancho constante de la curva. ^{[ 25 ]}

La densidad de empaquetamiento óptima del triángulo de Reuleaux en el plano sigue sin estar demostrada, pero se conjetura que es

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.923,}$

que es la densidad de un posible empaquetamiento de doble red para estas formas. El mejor límite superior comprobado para la densidad de empaquetamiento es aproximadamente 0,947. ^{[ 26 ]} También se ha conjeturado, pero no demostrado, que los triángulos de Reuleaux tienen la mayor densidad de empaquetamiento de cualquier curva de ancho constante. ^{[ 27 ]}

Cualquier curva de ancho constante puede formar un rotor dentro de un cuadrado , una figura que puede realizar una rotación completa manteniéndose dentro del cuadrado y tocando en todo momento sus cuatro lados. Sin embargo, el triángulo de Reuleaux es el rotor con el área mínima posible. ^{[ 9 ]} Al girar, su eje no permanece fijo en un solo punto, sino que sigue una curva formada por los segmentos de cuatro elipses . ^{[ 28 ]} Debido a sus ángulos de 120°, el triángulo de Reuleaux giratorio no puede alcanzar algunos puntos cercanos a los ángulos más agudos de los vértices del cuadrado, sino que cubre una figura con esquinas ligeramente redondeadas, también formada por arcos elípticos. ^{[ 9 ]}

Una de las cuatro elipses seguidas por el centro de un triángulo de Reuleaux giratorio en un cuadrado.

Elipse que separa uno de los vértices (inferior izquierdo) de un cuadrado de la región barrida por un triángulo de Reuleaux giratorio.

En cualquier punto durante esta rotación, dos de los vértices del triángulo de Reuleaux tocan dos lados adyacentes del cuadrado, mientras que el tercer vértice del triángulo describe una curva cerca del vértice opuesto del cuadrado. La figura descrita por el triángulo de Reuleaux giratorio cubre aproximadamente el 98,8 % del área del cuadrado. ^{[ 29 ]}

La motivación original de Reuleaux para estudiar el triángulo de Reuleaux fue como contraejemplo, demostrando que tres puntos de contacto individuales podrían no ser suficientes para fijar un objeto plano en una sola posición. ^{[ 30 ]} La existencia de triángulos de Reuleaux y otras curvas de ancho constante demuestra que las mediciones de diámetro por sí solas no pueden verificar que un objeto tenga una sección transversal circular. ^{[ 31 ]}

En relación con el problema del cuadrado inscrito , Eggleston (1958) observó que el triángulo de Reuleaux proporciona un ejemplo de una figura de anchura constante en la que no se puede inscribir ningún polígono regular de más de cuatro lados, excepto el hexágono regular, y describió una pequeña modificación de esta figura que conserva su anchura constante pero también impide que se inscriban hexágonos regulares en ella. Generalizó este resultado a tres dimensiones utilizando un cilindro con la misma forma que su sección transversal . ^{[ 32 ]}

Varios tipos de maquinaria adoptan la forma del triángulo de Reuleaux, debido a su propiedad de poder girar dentro de un cuadrado.

La broca cuadrada de Watts Brothers Tool Works tiene la forma de un triángulo de Reuleaux, modificado con concavidades para formar superficies de corte. Cuando se monta en un portabrocas especial que permite que la broca no tenga un centro de rotación fijo, puede perforar un agujero casi cuadrado. ^{[ 33 ]} Aunque fue patentada por Henry Watts en 1914, se utilizaron brocas similares inventadas por otros con anterioridad. ^{[ 9 ]} Otros polígonos de Reuleaux se utilizan para perforar agujeros pentagonales, hexagonales y octogonales. ^{[ 9 ] [ 33 ]}

La aspiradora robot RULO de Panasonic tiene una forma basada en el triángulo de Reuleaux para facilitar la limpieza del polvo en las esquinas de las habitaciones. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux involucra objetos cilíndricos con una sección transversal triangular de Reuleaux. Varios lápices se fabrican con esta forma, en lugar de los barriles redondos o hexagonales más tradicionales. ^{[ 36 ]} Generalmente se promocionan como más cómodos o que favorecen un agarre adecuado, además de ser menos propensos a rodar sobre las mesas (ya que el centro de gravedad se mueve más hacia arriba y hacia abajo que en un hexágono rodante).

Un triángulo de Reuleaux (junto con todas las demás curvas de ancho constante ) puede rodar , pero no es una rueda adecuada porque no gira alrededor de un centro de rotación fijo. Un objeto sobre rodillos con secciones transversales de triángulo de Reuleaux rodaría suave y plana, pero un eje unido a ruedas de triángulo de Reuleaux rebotaría tres veces por revolución. ^{[ 9 ] [ 37 ]} Este concepto se utilizó en un cuento de ciencia ficción de Poul Anderson titulado "La rueda de tres esquinas". ^{[ 11 ] [ 38 ]} En 2009, el inventor chino Guan Baihua construyó y demostró una bicicleta con ejes flotantes y un cuadro sostenido por el borde de su rueda con forma de triángulo de Reuleaux, inspirándose en lápices con la misma forma. ^{[ 39 ]}

Otra clase de aplicaciones del triángulo de Reuleaux implica su uso como parte de un mecanismo que puede convertir la rotación alrededor de un eje fijo en movimiento alternativo . ^{[ 10 ]} Estos mecanismos fueron estudiados por Franz Reuleaux. Con la ayuda de la compañía Gustav Voigt, Reuleaux construyó aproximadamente 800 modelos de mecanismos, varios de los cuales involucraban el triángulo de Reuleaux. ^{[ 40 ]} Reuleaux utilizó estos modelos en sus investigaciones científicas pioneras sobre su movimiento. ^{[ 41 ]} Aunque la mayoría de los modelos Reuleaux-Voigt se han perdido, 219 de ellos se han recopilado en la Universidad de Cornell , incluyendo nueve basados ​​en el triángulo de Reuleaux. ^{[ 40 ] [ 42 ]} Sin embargo, el uso de triángulos de Reuleaux en el diseño de mecanismos es anterior al trabajo de Reuleaux; por ejemplo, algunas máquinas de vapor de ya 1830 tenían una leva con forma de triángulo de Reuleaux. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Una aplicación de este principio se da en un proyector de cine . En esta aplicación, es necesario avanzar la película de forma escalonada y a tirones, de modo que cada fotograma se detiene durante una fracción de segundo frente a la lente del proyector, para luego avanzar rápidamente al siguiente. Esto se puede lograr mediante un mecanismo que utiliza la rotación de un triángulo de Reuleaux dentro de un cuadrado para crear un patrón de movimiento para un actuador que impulsa la película rápidamente hacia cada nuevo fotograma y luego detiene su movimiento mientras se proyecta. ^{[ 45 ]}

El rotor del motor Wankel tiene forma de triángulo curvilíneo, que a menudo se cita como ejemplo de triángulo de Reuleaux. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 44 ]} Sin embargo, sus lados curvos son algo más planos que los de un triángulo de Reuleaux, por lo que no tiene un ancho constante. ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}

En la arquitectura gótica , a partir de finales del siglo XIII o principios del siglo XIV, ^{[ 49 ]} el triángulo de Reuleaux se convirtió en una de las varias formas curvilíneas utilizadas frecuentemente para ventanas, tracería de ventanas y otras decoraciones arquitectónicas. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, en la arquitectura gótica inglesa , esta forma se asoció con el período decorado, tanto en su estilo geométrico de 1250–1290 como continuando en su estilo curvilíneo de 1290–1350. ^{[ 49 ]} También aparece en algunas de las ventanas de la Catedral de Milán . ^{[ 50 ]} En este contexto, la forma a veces se llama triángulo esférico , ^{[ 49 ] [ 51 ] [ 52 ]} que no debe confundirse con triángulo esférico que significa un triángulo en la superficie de una esfera . En su uso en la arquitectura de las iglesias góticas, la forma triangular del triángulo de Reuleaux puede verse tanto como un símbolo de la Trinidad , ^{[ 53 ]} como "un acto de oposición a la forma del círculo". ^{[ 54 ]}

El triángulo de Reuleaux también se ha utilizado en otros estilos arquitectónicos. Por ejemplo, Leonardo da Vinci esbozó esta forma como el plano de una fortificación. ^{[ 42 ]} Entre los edificios modernos que se ha afirmado que utilizan una planta con forma de triángulo de Reuleaux se incluyen el Auditorio Kresge del MIT , el Kölntriangle , la Donauturm , la Torre de Collserola y el Museo Mercedes-Benz . ^{[ 55 ]} Sin embargo, en muchos casos, se trata simplemente de triángulos redondeados, con una geometría diferente a la del triángulo de Reuleaux.

Otra aplicación temprana del triángulo de Reuleaux, el mapamundi de Da Vinci de alrededor de 1514, fue un mapamundi en el que la superficie esférica de la Tierra se dividió en ocho octantes, cada uno aplanado en la forma de un triángulo de Reuleaux. ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]}

Mapas similares, también basados ​​en el triángulo de Reuleaux, fueron publicados por Oronce Finé en 1551 y por John Dee en 1580. ^{[ 58 ]}

Muchas púas de guitarra emplean el triángulo de Reuleaux, ya que su forma combina una punta afilada para proporcionar una articulación fuerte con una punta ancha para producir un timbre cálido. Debido a que los tres puntos de la forma son utilizables, es más fácil orientarla y se desgasta menos rápidamente en comparación con una púa de una sola punta. ^{[ 59 ]}

Uso ilícito de una boca de incendios, Filadelfia, 1996, y una boca de incendios más reciente de Filadelfia con una tuerca triangular Reuleaux para evitar dicho uso.

El triángulo de Reuleaux se ha utilizado como la forma de la sección transversal de la tuerca de la válvula de una boca de incendios . El ancho constante de esta forma dificulta la apertura de la boca de incendios con llaves estándar de mordazas paralelas; en su lugar, se necesita una llave con una forma especial. Esta característica permite que las bocas de incendios solo puedan ser abiertas por los bomberos (que disponen de la llave especial) y no por otras personas que intenten utilizarlas como fuente de agua para otras actividades. ^{[ 60 ]}

Siguiendo una sugerencia de Keto (1997) , ^{[ 61 ]} las antenas del Submillimeter Array , un observatorio astronómico de ondas de radio en Mauna Kea en Hawái , están dispuestas en cuatro triángulos de Reuleaux anidados. ^{[ 62 ] [ 63 ]} Colocar las antenas en una curva de ancho constante hace que el observatorio tenga la misma resolución espacial en todas las direcciones y proporciona un haz de observación circular. Como la curva de ancho constante más asimétrica, el triángulo de Reuleaux conduce a la cobertura más uniforme del plano para la transformada de Fourier de la señal del array. ^{[ 61 ] [ 63 ]} Las antenas pueden moverse de un triángulo de Reuleaux a otro para diferentes observaciones, según la resolución angular deseada de cada observación. ^{[ 62 ] [ 63 ]} La colocación precisa de las antenas en estos triángulos de Reuleaux se optimizó utilizando una red neuronal . En algunos lugares, el observatorio construido se aparta de la forma triangular de Reuleaux preferida porque esa forma no era posible dentro del sitio dado. ^{[ 63 ]}

Las formas de escudo utilizadas en muchos letreros y logotipos corporativos presentan triángulos redondeados. Sin embargo, solo algunos de ellos son triángulos de Reuleaux.

El logotipo corporativo de Petrofina (Fina), una compañía petrolera belga con importantes operaciones en Europa, Norteamérica y África, utilizó un triángulo de Reuleaux con el nombre Fina desde 1950 hasta la fusión de Petrofina con Total SA (hoy TotalEnergies ) en 2000. ^{[ 64 ] [ 65 ]} Otro logotipo corporativo enmarcado en el triángulo de Reuleaux, la brújula que apunta al sur de Bavaria Brewery , formó parte de una renovación realizada por la empresa de diseño Total Identity que ganó el premio SAN 2010 al Anunciante del Año. ^{[ 66 ]} El triángulo de Reuleaux también se utiliza en el logotipo de Colorado School of Mines . ^{[ 67 ]}

En Estados Unidos, tanto el Sistema Nacional de Senderos como el Sistema de Rutas para Bicicletas de Estados Unidos marcan las rutas con triángulos de Reuleaux en la señalización. ^{[ 68 ]}

Según las leyes de Plateau , los arcos circulares en los cúmulos bidimensionales de burbujas de jabón se encuentran en ángulos de 120°, el mismo ángulo que se encuentra en los vértices de un triángulo de Reuleaux. Basándose en este hecho, es posible construir cúmulos en los que algunas de las burbujas adoptan la forma de un triángulo de Reuleaux. ^{[ 69 ]}

La forma se aisló por primera vez en forma cristalina en 2014 como discos triangulares de Reuleaux. ^{[ 70 ]} Los discos básicos de nitrato de bismuto con forma triangular de Reuleaux se formaron a partir de la hidrólisis y precipitación de nitrato de bismuto en un sistema etanol-agua en presencia de 2,3-bis(2-piridil)pirazina.

La intersección de cuatro bolas de radio s centradas en los vértices de un tetraedro regular de lado s se denomina tetraedro de Reuleaux , pero su superficie no es de anchura constante . ^{[ 72 ]} Sin embargo, puede transformarse en una superficie de anchura constante, denominada tetraedro de Meissner , sustituyendo tres de sus arcos de arista por superficies curvas, las superficies de rotación de un arco circular. Alternativamente, la superficie de revolución de un triángulo de Reuleaux que pasa por uno de sus ejes de simetría forma una superficie de anchura constante, con el volumen mínimo entre todas las superficies de revolución conocidas de anchura constante dada. ^{[ 73 ]}

Polígonos de Reuleaux

Moneda del heptágono Reuleaux del dalasi gambiano

El triángulo de Reuleaux se puede generalizar a polígonos regulares o irregulares con un número impar de lados, dando como resultado un polígono de Reuleaux , una curva de ancho constante formada por arcos circulares de radio constante. El ancho constante de estas figuras permite su uso como monedas que pueden utilizarse en máquinas expendedoras. ^{[ 9 ]} Aunque las monedas de este tipo en circulación suelen tener más de tres lados, se ha utilizado un triángulo de Reuleaux para una moneda conmemorativa de las Bermudas . ^{[ 55 ]}

Se pueden utilizar métodos similares para encerrar un polígono simple arbitrario dentro de una curva de ancho constante, cuyo ancho es igual al diámetro del polígono dado. La figura resultante consta de arcos circulares (como máximo tantos como lados tenga el polígono), se puede construir algorítmicamente en tiempo lineal y se puede dibujar con compás y regla. ^{[ 74 ]} Aunque todos los polígonos de Reuleaux tienen un número impar de lados de arco circular, es posible construir figuras de ancho constante con un número par de lados de arco circular de radios variables. ^{[ 75 ]}

Los conjuntos de Yanmouti se definen como las envolturas convexas de un triángulo equilátero junto con tres arcos circulares, centrados en los vértices del triángulo y que abarcan el mismo ángulo que el triángulo, con radios iguales que son como máximo iguales a la longitud del lado del triángulo. Así, cuando el radio es suficientemente pequeño, estos conjuntos degeneran en el propio triángulo equilátero, pero cuando el radio es lo más grande posible, son iguales al triángulo de Reuleaux correspondiente. Toda figura con ancho w , diámetro d y radio interno r (el radio del círculo más grande posible contenido en la figura) obedece la desigualdad

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

y esta desigualdad se convierte en una igualdad para los conjuntos de Yanmouti, lo que demuestra que no se puede mejorar. ^{[ 76 ]}