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Articulo de referencia

Teoría de Dempster-Shafer

Arthur P. Dempster en el Taller sobre Teoría de las Funciones de Creencia ( Brest , 1 de abril de 2010). La teoría de las funciones de creencia , también conocida como teoría de...

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Arthur P. Dempster en el Taller sobre Teoría de las Funciones de Creencia ( Brest , 1 de abril de 2010).

La teoría de las funciones de creencia , también conocida como teoría de la evidencia o teoría de Dempster-Shafer ( DST ), es un marco general para el razonamiento con incertidumbre, con conexiones comprendidas con otros marcos como las teorías de probabilidad , posibilidad y probabilidad imprecisa . Introducida por Arthur P. Dempster [ 1 ] en el contexto de la inferencia estadística , la teoría fue desarrollada posteriormente por Glenn Shafer en un marco general para modelar la incertidumbre epistémica: una teoría matemática de la evidencia . [ 2 ] [ 3 ] La teoría permite combinar evidencia de diferentes fuentes y llegar a un grado de creencia (representado por un objeto matemático llamado función de creencia ) que toma en cuenta toda la evidencia disponible.

En sentido estricto, el término teoría de Dempster-Shafer se refiere a la concepción original de la teoría por Dempster y Shafer. Sin embargo, es más común usar el término en un sentido más amplio, refiriéndose al mismo enfoque general, adaptado a situaciones específicas. En particular, muchos autores han propuesto diferentes reglas para combinar la evidencia, a menudo con el fin de gestionar mejor los conflictos en la evidencia. [ 4 ] Las primeras contribuciones también han sido el punto de partida de muchos desarrollos importantes, incluyendo el modelo de creencias transferibles y la teoría de las pistas. [ 5 ]

Descripción general

La teoría de Dempster-Shafer es una generalización de la teoría bayesiana de la probabilidad subjetiva . Las funciones de creencia basan los grados de creencia (o confianza) para una pregunta en las probabilidades subjetivas para una pregunta relacionada. Los grados de creencia en sí mismos pueden o no tener las propiedades matemáticas de las probabilidades; la magnitud de su diferencia depende de la estrecha relación entre las dos preguntas. [ 6 ] Dicho de otro modo, es una forma de representar las plausibilidades epistémicas , pero puede generar respuestas que contradicen las obtenidas mediante la teoría de la probabilidad .

La teoría de Dempster-Shafer, frecuentemente utilizada como método de fusión de sensores , se basa en dos ideas: la obtención de grados de creencia para una pregunta a partir de probabilidades subjetivas para una pregunta relacionada, y la regla de Dempster [ 7 ] para combinar dichos grados de creencia cuando se basan en elementos de evidencia independientes. En esencia, el grado de creencia en una proposición depende principalmente del número de respuestas (a las preguntas relacionadas) que contienen la proposición y de la probabilidad subjetiva de cada respuesta. También contribuyen las reglas de combinación que reflejan supuestos generales sobre los datos.

En este formalismo, un grado de creencia (también denominado masa ) se representa como una función de creencia en lugar de una distribución de probabilidad bayesiana . Se asignan valores de probabilidad a conjuntos de posibilidades en lugar de a eventos individuales: su atractivo reside en que codifican de forma natural la evidencia a favor de las proposiciones.

La teoría de Dempster-Shafer asigna masas a todos los subconjuntos del conjunto de estados de un sistema; en términos de teoría de conjuntos , el conjunto potencia de los estados. Por ejemplo, supongamos una situación en la que existen dos estados posibles para un sistema. Para este sistema, cualquier función de creencia asigna masa al primer estado, al segundo, a ambos y a ninguno.

Creencia y verosimilitud

El formalismo de Shafer parte de un conjunto de posibilidades en consideración, por ejemplo, valores numéricos de una variable o pares de variables lingüísticas como "fecha y lugar de origen de una reliquia" (preguntando si es antigua o una falsificación reciente). Una hipótesis está representada por un subconjunto de este marco de discernimiento , como "(dinastía Ming, China)" o "(siglo XIX, Alemania)". [ 2 ] : p.35f.

El marco de Shafer permite representar las creencias sobre dichas proposiciones como intervalos, delimitados por dos valores: creencia (o apoyo ) y plausibilidad :

creencia ≤ plausibilidad .

En un primer paso, se asignan probabilidades subjetivas ( masas ) a todos los subconjuntos del marco; por lo general, solo un número restringido de conjuntos tendrá una masa distinta de cero ( elementos focales ). [ 2 ] : 39f. La creencia en una hipótesis se constituye por la suma de las masas de todos los subconjuntos del conjunto de hipótesis. Es la cantidad de creencia que apoya directamente la hipótesis dada o una más específica, formando así un límite inferior de su probabilidad. La creencia (generalmente denotada Bel ) mide la fuerza de la evidencia a favor de una proposición p . Varía de 0 (indicando ninguna evidencia) a 1 (denotando certeza). La plausibilidad es 1 menos la suma de las masas de todos los conjuntos cuya intersección con la hipótesis es vacía. O bien, se puede obtener como la suma de las masas de todos los conjuntos cuya intersección con la hipótesis no es vacía. Es un límite superior de la posibilidad de que la hipótesis sea verdadera, porque solo hay una cantidad limitada de evidencia que la contradiga. La plausibilidad (denotada por Pl) está relacionada con Bel mediante Pl( p )  =  1 − Bel(~ p ). También varía de 0 a 1 y mide hasta qué punto la evidencia a favor de ~ p deja margen para creer en p .  

Por ejemplo, supongamos que tenemos una probabilidad de 0.5 de que una proposición sea "el gato en la caja está muerto". Esto significa que tenemos evidencia que nos permite afirmar con seguridad que la proposición es verdadera con una confianza de 0.5. Sin embargo, la evidencia contraria a esa hipótesis (es decir, "el gato está vivo") solo tiene una confianza de 0.2. El margen restante de 0.3 (la diferencia entre la evidencia que respalda la proposición con un valor de 0.5 y la evidencia que la contradice con un valor de 0.2) es "indeterminado", lo que significa que el gato podría estar vivo o muerto. Este intervalo representa el nivel de incertidumbre basado en la evidencia del sistema.

La hipótesis "ninguna" se establece en cero por definición (corresponde a "ninguna solución"). Las hipótesis ortogonales "Vivo" y "Muerto" tienen probabilidades de 0,2 y 0,5, respectivamente. Esto podría corresponder a las señales del "Detector de Gato Vivo/Muerto", que tienen fiabilidades respectivas de 0,2 y 0,5. Finalmente, la hipótesis "Cualquiera" (que simplemente reconoce que hay un gato en la caja) compensa la diferencia de modo que la suma de las masas sea 1. La creencia para las hipótesis "Vivo" y "Muerto" coincide con sus masas correspondientes porque el único subconjunto estricto de cada una es el conjunto vacío de masa cero; la creencia para "Cualquiera" consiste en la suma de las tres masas (Cualquiera, Vivo y Muerto) porque "Vivo" y "Muerto" son subconjuntos de "Cualquiera". La probabilidad de que esté "vivo" es 1  − m (muerto): 0,5 y la de que esté "muerto" es 1 − m (vivo): 0,8. En otras palabras, la probabilidad de que esté "vivo" es m (vivo) + m (cualquiera de las dos opciones) y la de que esté "muerto" es m (muerto) + m (cualquiera de las dos opciones). Finalmente, la probabilidad de que esté "cualquiera de las dos opciones" es m (vivo) + m (muerto) + m (cualquiera de las dos opciones). La hipótesis universal ("cualquiera de las dos opciones") siempre tendrá una probabilidad y credibilidad del 100%; actúa como una especie de suma de verificación .       

Aquí tenemos un ejemplo algo más elaborado donde comienza a surgir el comportamiento de la creencia y la plausibilidad. Estamos observando a través de diversos sistemas de detección una única luz de señal lejana, que solo puede ser de uno de tres colores (rojo, amarillo o verde):

Los eventos de este tipo no se modelarían como entidades distintas en el espacio de probabilidad como se hace aquí en el espacio de asignación de masa. Más bien, el evento "Rojo o Amarillo" se consideraría como la unión de los eventos "Rojo" y "Amarillo", y (ver axiomas de probabilidad ) P (Rojo o Amarillo) ≥ P (Amarillo), y P (Cualquiera)  =  1, donde Cualquiera se refiere a Rojo , Amarillo o Verde . En DST, la masa asignada a Cualquiera se refiere a la proporción de evidencia que no se puede asignar a ninguno de los otros estados, lo que aquí significa evidencia que dice que hay una luz pero no dice nada sobre qué color es. En este ejemplo, a la proporción de evidencia que muestra que la luz es Roja o Verde se le da una masa de 0.05. Dicha evidencia podría, por ejemplo, obtenerse de una persona daltónica R/G. DST nos permite extraer el valor de la evidencia de este sensor. Además, en DST se considera que el conjunto vacío tiene masa cero, lo que significa que el sistema de luces de señalización existe y estamos examinando sus posibles estados, sin especular sobre si existe o no.

Combinar creencias

Las creencias de diferentes fuentes pueden combinarse con diversos operadores de fusión para modelar situaciones específicas de fusión de creencias, por ejemplo, con la regla de combinación de Dempster , que combina restricciones de creencias [ 8 ] dictadas por fuentes de creencias independientes, como en el caso de combinar sugerencias [ 5 ] o preferencias [ 9 ] . Cabe destacar que las masas de probabilidad de proposiciones contradictorias pueden utilizarse para obtener una medida de conflicto entre las fuentes de creencias independientes. Otras situaciones pueden modelarse con diferentes operadores de fusión, como la fusión acumulativa de creencias de fuentes independientes, que puede modelarse con el operador de fusión acumulativa [ 10 ] .

La regla de combinación de Dempster se interpreta a veces como una generalización aproximada de la regla de Bayes . En esta interpretación, no es necesario especificar las probabilidades a priori ni las condicionales, a diferencia de los métodos bayesianos tradicionales, que suelen utilizar un argumento de simetría (error minimax) para asignar probabilidades a priori a variables aleatorias ( por ejemplo, asignar 0,5 a valores binarios para los que no se dispone de información sobre cuál es más probable). Sin embargo, la regla de combinación de Dempster no utiliza la información contenida en las probabilidades a priori ni en las condicionales faltantes, a menos que pueda obtenerse indirectamente, y en ese caso, podría decirse que está disponible para su cálculo mediante ecuaciones bayesianas.

La teoría de Dempster-Shafer permite especificar un grado de ignorancia en esta situación, en lugar de tener que proporcionar probabilidades previas que sumen la unidad. Este tipo de situación, y si existe una distinción real entre riesgo e ignorancia , ha sido ampliamente debatido por estadísticos y economistas. Véanse, por ejemplo, las opiniones contrapuestas de Daniel Ellsberg , Howard Raiffa , Kenneth Arrow y Frank Knight .

Definición formal

Sea X el universo : el conjunto que representa todos los estados posibles de un sistema en consideración. El conjunto potencia

2incógnita{\displaystyle 2^{X}\,\!}

es el conjunto de todos los subconjuntos de X , incluido el conjunto vacío. ∅{\displaystyle \emptyset }Por ejemplo, si:

incógnita={a,b}{\displaystyle X=\left\{a,b\right\}\,\!}

entonces

2incógnita={∅,{a},{b},incógnita}.{\displaystyle 2^{X}=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}.\,}

Los elementos del conjunto potencia pueden considerarse como representaciones de proposiciones relativas al estado real del sistema, al contener todos y solo los estados en los que la proposición es verdadera.

La teoría de la evidencia asigna una masa de creencia a cada elemento del conjunto potencia. Formalmente, una función

metro:2incógnita→[0,1]{\displaystyle m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}

Se denomina asignación de creencias básicas (BBA) cuando tiene dos propiedades. Primero, la masa del conjunto vacío es cero:

metro(∅)=0.{\displaystyle m(\emptyset )=0.\,\!}

Segundo, las masas de todos los miembros del conjunto de potencia suman un total de 1:

∑A∈2incógnitametro(A)=1.{\displaystyle \sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1.}

La masa m ( A ) de A , un miembro dado del conjunto potencia, expresa la proporción de toda la evidencia relevante y disponible que respalda la afirmación de que el estado actual pertenece a A, pero a ningún subconjunto particular de A. El valor de m ( A ) se refiere únicamente al conjunto A y no hace afirmaciones adicionales sobre ningún subconjunto de A , cada uno de los cuales, por definición, tiene su propia masa.

A partir de las asignaciones masivas, se pueden definir los límites superior e inferior de un intervalo de probabilidad. Este intervalo contiene la probabilidad precisa de un conjunto de interés (en el sentido clásico) y está acotado por dos medidas continuas no aditivas llamadas creencia (o soporte ) y plausibilidad :

bel⁡(A)≤PAG(A)≤pl⁡(A).{\displaystyle \operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).}

La creencia bel( A ) para un conjunto A se define como la suma de todas las masas de los subconjuntos del conjunto de interés:

bel⁡(A)=∑B∣B⊆Ametro(B).{\displaystyle \operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,}

La plausibilidad pl( A ) es la suma de todas las masas de los conjuntos B que intersecan el conjunto de interés A :

pl⁡(A)=∑B∣B∩A≠∅metro(B).{\displaystyle \operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,}

Las dos medidas se relacionan entre sí de la siguiente manera:

pl⁡(A)=1−bel⁡(A¯).{\displaystyle \operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,}

Y a la inversa, para un A finito , dada la medida de creencia bel( B ) para todos los subconjuntos B de A , podemos encontrar las masas m ( A ) con la siguiente función inversa :

metro(A)=∑B∣B⊆A(−1)|A−B|bel⁡(B){\displaystyle m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(-1)^{|AB|}\operatorname {bel} (B)\,}

donde | A  − B | es la diferencia de las cardinalidades de los dos conjuntos. [ 4 ] 

De las dos últimas ecuaciones se deduce que, para un conjunto finito X , basta con conocer una de las tres funciones (masa, creencia o plausibilidad) para deducir las otras dos; aunque puede ser necesario conocer los valores de muchos conjuntos para calcular uno de los otros valores para un conjunto en particular. En el caso de un X infinito , pueden existir funciones de creencia y plausibilidad bien definidas, pero no una función de masa bien definida. [ 11 ]

Interpretación de conjuntos aleatorios

Las funciones de creencia tienen una interpretación muy convincente en términos de variables aleatorias con valores de conjunto , o conjuntos aleatorios [ 12 ] .

Consideremos un dado como un ejemplo muy simple de variable aleatoria (discreta). El espacio de probabilidad correspondiente se basa en el espacio muestral.Ω={1,2,3,4,5,6}{\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}, con elementos que corresponden a las caras del dado.

El conjunto aleatorio (variable aleatoria con valores de conjunto) asociado con el dado oculto en el que las caras 1 y 2 no son distinguibles.

Ahora, imaginemos que dos de las caras, por ejemplo, la 1 y la 2, están ocultas. Aún podemos lanzar el dado: el espacio de probabilidad no ha cambiado y esto sigue siendo un experimento aleatorio descrito por una variable aleatoria subyacente. Lo que ha cambiado es la naturaleza del resultado: además de las caras individuales regulares (3, 4, etcétera), a veces podríamos observar una cara oculta. Suponiendo que solo la parte superior es visible después de cada ejecución, esto es equivalente a observar el conjunto de caras.{1,2}{\displaystyle \{1,2\}}Matemáticamente, se trata de una variable aleatoria con valores de conjunto, o conjunto aleatorio (véase la figura). [ 13 ]

Esto ilustra uno de los casos más sencillos de datos faltantes : situaciones en las que faltan parcial o totalmente los datos necesarios para realizar una inferencia. Esto es muy común en ciencia e ingeniería: pensemos, por ejemplo, en las oclusiones en visión artificial o en la falta de valores de temperatura para ciertos días o ubicaciones en datos meteorológicos. En resumen, cuando faltan datos, las observaciones son inherentemente de valores fijos.

Según la formulación original de Art Dempster, [ 14 ] una función de creencia es de hecho una aplicación multivaluada (de uno a muchos) entre un espacio de probabilidad (fuente)Ω{\displaystyle \Omega }y un espacio objetivoincógnita{\displaystyle X}, del tipo:Γ:Ω→2incógnita{\displaystyle \Gamma :\Omega \rightarrow 2^{X}} , dondeω∈Ω↦A⊆incógnita{\displaystyle \omega \in \Omega \mapsto A\subseteq X}. En el ejemplo del dado oculto anterior,A={1,2}⊆incógnita={1,2,3,4,5,6}.{\displaystyle A=\{1,2\}\subseteq X=\{1,2,3,4,5,6\}.}

Regla de combinación de Dempster

El problema al que nos enfrentamos ahora es cómo combinar dos conjuntos independientes de asignaciones de masa de probabilidad en situaciones específicas. Si diferentes fuentes expresan sus creencias sobre el marco en términos de restricciones de creencia, como al dar pistas o expresar preferencias, entonces la regla de combinación de Dempster es el operador de fusión apropiado. Esta regla deriva una creencia común compartida entre múltiples fuentes e ignora todas las creencias conflictivas (no compartidas) mediante un factor de normalización. El uso de esta regla en situaciones distintas a la de combinar restricciones de creencia ha sido objeto de serias críticas, como en el caso de fusionar estimaciones de creencia separadas de múltiples fuentes que se integrarán de manera acumulativa, y no como restricciones. La fusión acumulativa implica que todas las masas de probabilidad de las diferentes fuentes se reflejan en la creencia derivada, por lo que ninguna masa de probabilidad se ignora.

Específicamente, la combinación (llamada masa conjunta ) se calcula a partir de los dos conjuntos de masas m 1 y m 2 de la siguiente manera:

metro1,2(∅)=0{\displaystyle m_{1,2}(\emptyset )=0\,}
metro1,2(A)=(metro1⊕metro2)(A)=11−K∑B∩do=A≠∅metro1(B)metro2(do){\displaystyle m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!}

dónde

K=∑B∩do=∅metro1(B)metro2(do).{\displaystyle K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C).\,}

K es una medida del grado de conflicto entre los dos conjuntos de masas.

Efectos del conflicto

El factor de normalización anterior, 1  − K , tiene el efecto de ignorar por completo el conflicto y atribuir cualquier masa asociada al conflicto al conjunto vacío. Por lo tanto, esta regla de combinación para la evidencia puede producir resultados contraintuitivos, como mostraremos a continuación. 

Ejemplo que produce resultados correctos en caso de alto conflicto.

El siguiente ejemplo muestra cómo la regla de Dempster produce resultados intuitivos cuando se aplica en una situación de fusión de preferencias, incluso cuando existe un alto grado de conflicto.

Supongamos que dos amigos, Alice y Bob , quieren ir al cine una noche y que solo hay tres películas en cartelera: X, Y y Z. Alice expresa su preferencia por la película X con una probabilidad de 0,99 y su preferencia por la película Y con una probabilidad de solo 0,01. Bob expresa su preferencia por la película Z con una probabilidad de 0,99 y su preferencia por la película Y con una probabilidad de solo 0,01. Al combinar las preferencias con la regla de combinación de Dempster, resulta que su preferencia combinada da como resultado una probabilidad de 1,0 para la película Y, porque es la única película que ambos están de acuerdo en ver.
La regla de combinación de Dempster produce resultados intuitivos incluso en caso de creencias totalmente contradictorias cuando se interpreta de esta manera. Supongamos que Alice prefiere la película X con una probabilidad de 1.0, y que Bob prefiere la película Z con una probabilidad de 1.0. Al intentar combinar sus preferencias con la regla de Dempster, resulta que esta no está definida en este caso, lo que significa que no hay solución. Esto implicaría que no pueden ponerse de acuerdo en ver ninguna película juntos, por lo que no van juntos al cine esa noche. Sin embargo, la semántica de interpretar la preferencia como una probabilidad es vaga: si se refiere a la probabilidad de ver la película X esta noche, entonces nos enfrentamos a la falacia del tercero excluido : el evento que realmente ocurre, no ver ninguna de las películas esta noche, tiene una masa de probabilidad de 0.

Ejemplo que produce resultados contraintuitivos en caso de alto conflicto.

Lotfi Zadeh introdujo en 1979 un ejemplo con exactamente los mismos valores numéricos, [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] para señalar los resultados contraintuitivos generados por la regla de Dempster cuando existe un alto grado de conflicto. El ejemplo es el siguiente:

Supongamos que tenemos dos médicos igualmente fiables y que un médico cree que un paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad (es decir, una asignación de creencias básicas —asignación de creencias básica— o masa de creencias) de 0,99; o meningitis, con una probabilidad de solo 0,01. Un segundo médico cree que el paciente tiene una conmoción cerebral, con una probabilidad de 0,99, y cree que el paciente sufre de meningitis, con una probabilidad de solo 0,01. Aplicando la regla de Dempster para combinar estos dos conjuntos de masas de creencias, se obtiene finalmente m (meningitis)=1 (la meningitis se diagnostica con un 100 por ciento de confianza).

Este resultado contradice el sentido común, ya que ambos médicos coinciden en que hay pocas probabilidades de que el paciente tenga meningitis. Este ejemplo ha sido el punto de partida de numerosas investigaciones que buscan fundamentar la regla de Dempster y la teoría de Dempster-Shafer [ 18 ] [ 19 ] , o bien, demostrar las inconsistencias de dicha teoría. [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]

Ejemplo que produce resultados contraintuitivos en caso de bajo conflicto.

El siguiente ejemplo muestra dónde la regla de Dempster produce un resultado contraintuitivo, incluso cuando el conflicto es bajo.

Supongamos que un médico cree que un paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad de 0,99, o meningitis, con una probabilidad de solo 0,01. Un segundo médico también cree que el paciente tiene un tumor cerebral, con una probabilidad de 0,99, y cree que el paciente sufre una conmoción cerebral, con una probabilidad de solo 0,01. Si calculamos m (tumor cerebral) con la regla de Dempster, obtenemos
metro(tumor cerebral)=Bel⁡(tumor cerebral)=1.{\displaystyle m({\text{tumor cerebral}})=\operatorname {Bel} ({\text{tumor cerebral}})=1.\,}

Este resultado respalda plenamente el diagnóstico de tumor cerebral, que ambos médicos consideraban muy probable . La concordancia se debe al bajo grado de discrepancia entre las dos evidencias, representadas por las opiniones de ambos médicos.

En cualquier caso, sería razonable esperar que:

metro(tumor cerebral)<1 y Bel⁡(tumor cerebral)<1,{\displaystyle m({\text{tumor cerebral}})<1{\text{ y }}\operatorname {Bel} ({\text{tumor cerebral}})<1,\,}

puesto que la existencia de probabilidades de creencia distintas de cero para otros diagnósticos implica un apoyo menos que completo para el diagnóstico de tumor cerebral.

Dempster-Shafer como una generalización de la teoría bayesiana.

Como en la teoría de Dempster-Shafer, una función de creencia bayesiana bel:2incógnita→[0,1]{\displaystyle \operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!}tiene las propiedadesbel⁡(∅)=0{\displaystyle \operatorname {bel} (\emptyset )=0}ybel⁡(incógnita)=1{\displaystyle \operatorname {bel} (X)=1}. La tercera condición, sin embargo, está subsumida en la teoría DS, pero se relaja en ella: [ 2 ] : pág. 19

Si A∩B=∅, entoncesbel⁡(A∪B)=bel⁡(A)+bel⁡(B).{\displaystyle {\text{Si }}A\cap B=\emptyset ,{\text{ entonces}}\operatorname {bel} (A\cup B)=\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} (B).}

Cualquiera de las siguientes condiciones implica el caso especial bayesiano de la teoría DS: [ 2 ] : pág. 37, 45

  • bel⁡(A)+bel⁡(A¯)=1 a pesar de A⊆incógnita.{\displaystyle \operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} ({\bar {A}})=1{\text{ for all }}A\subseteq X.}
  • Para un X finito , todos los elementos focales de la función de creencia son unitarios.

Como ejemplo de las diferencias entre ambos enfoques, un bayesiano podría modelar el color de un coche como una distribución de probabilidad sobre (rojo, verde, azul), asignando un número a cada color. Dempster-Shafer asignaría números a cada uno de los siguientes grupos: (rojo, verde, azul, (rojo o verde), (rojo o azul), (verde o azul), (rojo o verde o azul)). Estos números no tienen por qué ser coherentes; por ejemplo, Bel(rojo)+Bel(verde) no tiene por qué ser igual a Bel(rojo o verde).

Así, la probabilidad condicional de Bayes puede considerarse un caso especial de la regla de combinación de Dempster. [ 2 ] : p. 19f. Sin embargo, carece de muchas (si no de la mayoría) de las propiedades que hacen que la regla de Bayes sea intuitivamente deseable, lo que lleva a algunos a argumentar que no puede considerarse una generalización en ningún sentido significativo. [ 23 ] Por ejemplo, la teoría DS viola los requisitos del teorema de Cox , lo que implica que no puede considerarse una generalización coherente (libre de contradicciones) de la lógica clásica ; específicamente, la teoría DS viola el requisito de que una afirmación sea verdadera o falsa (pero no ambas). Como resultado, la teoría DS está sujeta al argumento del Libro Holandés , lo que implica que cualquier agente que utilice la teoría DS aceptaría una serie de apuestas que resultan en una pérdida garantizada.

Aproximación bayesiana

La aproximación bayesiana [ 24 ] [ 25 ] reduce un bpa dadometro{\displaystyle m}a una distribución de probabilidad (discreta), es decir, solo se permiten subconjuntos unitarios del marco de discernimiento como elementos focales de la versión aproximada.metro_{\displaystyle {\underline {m}}}demetro{\displaystyle m}:

metro_(A)={∑B|A⊆Bmetro(B)∑dometro(do)⋅|do|,|A|=10,de lo contrario{\displaystyle {\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B|A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot |C|}},&|A|=1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.}

Resulta útil para aquellos que solo están interesados ​​en la hipótesis del estado único.

Podemos realizarlo en el ejemplo 'ligero'.

Relación con otras medidas de incertidumbre

Las funciones de creencia tienen fuertes vínculos con otras medidas de incertidumbre epistémica de segundo orden. [ 26 ]

En particular, una función de creencia identifica de forma única un conjunto credal , es decir, un conjunto convexo de distribuciones de probabilidad en el mismo dominio en el que se define. Más precisamente, el conjunto credal correspondiente es: [ 13 ]

PAG[Bmil]={PAG∈PAG:PAG(A)≥PAG(A)∀A⊆incógnita}{\displaystyle {\mathcal {P}}[Bel]=\{P\in {\mathcal {P}}:P(A)\geq P(A)\forall A\subseteq X\}}

dóndePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}es el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobreincógnita.{\displaystyle X.}Por lo tanto, las funciones de creencia son un caso especial de probabilidades inferiores : la medida de plausibilidad correspondiente equivale a la probabilidad superior de cualquier evento.A.{\displaystyle A.}Las funciones de creencia también son capacidades infinitamente monótonas , comoBmil(A)≥Bmil(B){\displaystyle Bel(A)\geq Bel(B)}cuando seaA⊃B.{\displaystyle A\supset B.}Las medidas de posibilidad se corresponden uno a uno con la clase especial de funciones de creencia consonantes, es decir, funciones de creencia cuyos elementos focales (conjunto de masa no nula) están todos anidados (incluidos unos dentro de otros en un sentido de teoría de conjuntos).

Por último, pero no menos importante, una función de creencia identifica de forma única una caja de probabilidad , es decir, un par de límites inferior y superior para la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria.

Numerosos autores han propuesto extensiones de las funciones de creencia a conjuntos difusos , en lugar de a conjuntos tradicionales. [ 27 ] También se ha estudiado la medida de incertidumbre que generaliza la entropía en el contexto de la teoría de la evidencia. [ 28 ]

Crítica

Judea Pearl (1988a, capítulo 9; [ 29 ] 1988b [ 30 ] y 1990) [ 31 ] ha argumentado que es engañoso interpretar las funciones de creencia como si representaran "probabilidades de un evento", o "la confianza que se tiene en las probabilidades asignadas a varios resultados", o "grados de creencia (o confianza, o fe) en una proposición", o "grado de ignorancia en una situación". En cambio, las funciones de creencia representan la probabilidad de que una proposición dada sea demostrable a partir de un conjunto de otras proposiciones, a las que se asignan probabilidades. Confundir las probabilidades de verdad con las probabilidades de demostrabilidad puede conducir a resultados contraintuitivos en tareas de razonamiento tales como (1) representar conocimiento incompleto, (2) actualizar creencias y (3) agrupar evidencia. Además, demostró que, si el conocimiento parcial se codifica y actualiza mediante métodos de funciones de creencia, las creencias resultantes no pueden servir como base para decisiones racionales.

Kłopotek y Wierzchoń [ 32 ] propusieron interpretar la teoría de Dempster-Shafer en términos de estadísticas de tablas de decisión (de la teoría de conjuntos aproximados ), donde el operador de combinación de evidencia debe considerarse como una unión relacional de tablas de decisión. En otra interpretación, MA Kłopotek y ST Wierzchoń [ 33 ] proponen ver esta teoría como una descripción del procesamiento destructivo de materiales (con pérdida de propiedades), por ejemplo, como en algunos procesos de producción de semiconductores. Bajo ambas interpretaciones, el razonamiento en DST da resultados correctos, en contra de las interpretaciones probabilísticas anteriores, criticadas por Pearl en los artículos citados y por otros investigadores.

Jøsang demostró que la regla de combinación de Dempster es, en realidad, un método para fusionar restricciones de creencias. [ 8 ] En otras situaciones, como la fusión acumulativa de creencias, solo representa un operador de fusión aproximado, pero generalmente produce resultados incorrectos en tales casos. Por lo tanto, la confusión en torno a la validez de la regla de Dempster se origina en la interpretación errónea de la naturaleza de las situaciones que se pretenden modelar. La regla de combinación de Dempster siempre produce resultados correctos e intuitivos al fusionar restricciones de creencias de diferentes fuentes.

Enfoque geométrico

Las funciones de creencia, al igual que otras formas de medidas de probabilidad o incertidumbre imprecisas, pueden interpretarse geométricamente de forma bastante directa, representando los vectores correspondientes de valores de masa o valores de creencia como puntos de un espacio convexo . Este enfoque fue desarrollado por Paul Black [ 34 ] y posteriormente investigado exhaustivamente por Fabio Cuzzolin [ 35 ] [ 36 ] .

Ilustración del concepto de espacio de creencias .

Suponiendo que el dominio en el que se define una función de creencia Bel tienenorte{\displaystyle N}elementos, el vector de funciones de creencia adjuntas a todos los conjuntos posibles de elementos deincógnita{\displaystyle X}tiene cardinalidad|2incógnita|−1{\displaystyle |2^{X}|-1}. Entonces se puede definir el espacio de creencias asociado conincógnita{\displaystyle X}como el conjunto de vectores de laR{2incógnita−1}{\displaystyle \mathbb {R} ^{\{2^{X}-1\}}}que corresponden a funciones de creencia válidas, es decir, que satisfacen las restricciones de aditividad y no negatividad que deben cumplir los valores de masa. Es fácil demostrar que el espacio de creencias tiene la forma de un simplex , donde el conjunto de todas las medidas de probabilidad forma uno de los lados de este simplex (véase la figura).

El espacio de creencias también puede estudiarse dentro de la geometría diferencial : en particular, parece tener una estructura de fibrado recursivo. [ 37 ]

Medidas relacionales

Al considerar las preferencias, se podría utilizar el orden parcial de una red en lugar del orden total de la recta real, como se encuentra en la teoría de Dempster-Shafer. De hecho, Gunther Schmidt propuso esta modificación y describió el método. [ 38 ]

Dado un conjunto de criterios C y una red acotada L con ordenamiento ≤, Schmidt define una medida relacional como una función μ del conjunto potencia de C en L que respeta el orden ⊆ enPAG{\displaystyle \mathbb {P} }( C ):

A⊆B⟹μ(A)≤μ(B){\displaystyle A\subseteq B\implies \mu (A)\leq \mu (B)}

y tal que μ toma el subconjunto vacío dePAG{\displaystyle \mathbb {P} }( C ) al elemento más pequeño de L , y toma C al elemento más grande de L .

Schmidt compara μ con la función de creencia de Shafer y también considera un método de combinación de medidas que generaliza el enfoque de Dempster (cuando se combina nueva evidencia con evidencia previamente sostenida). Además, introduce una integral relacional y la compara con la integral de Choquet y la integral de Sugeno . Cualquier relación m entre C y L puede introducirse como una "valoración directa" y luego procesarse con el cálculo de relaciones para obtener una medida de posibilidad μ .

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Yager, RR, & Liu, L. (2008). Obras clásicas de la teoría de Dempster-Shafer sobre funciones de creencia. Estudios en lógica difusa y computación blanda, vol. 219. Berlín: Springer . ISBN 978-3-540-25381-5.
  • Joseph C. Giarratano y Gary D. Riley (2005); Sistemas expertos: principios y programación , ed. Thomson Course Tech., ISBN 0-534-38447-1
  • Beynon, M., Curry, B. y Morgan, P. (2000) " La teoría de la evidencia de Dempster-Shafer: un enfoque alternativo para el modelado de decisiones multicriterio ", Omega , vol. 28, págs.  37-50 .
  • Destercke, S., Denoeux, T., Cuzzolin, F. y Martin, A. (2018) " Funciones de creencias: teoría y aplicaciones ", Lecture Notes in Artificial Intelligence, 978-3-319-99383-6.
  • Cuzzolin, F. (2015) " Funciones de creencias para el científico en activo ", Tutorial, Incertidumbre en Inteligencia Artificial (UAI) 2015.
  • BFAS: Sociedad de Funciones y Aplicaciones de las Creencias
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