Representación justificada

La representación justificada (RG) es un criterio de equidad en las votaciones plurinominales . Requiere que cada grupo de votantes esté representado en proporción a su tamaño. Puede considerarse una generalización del criterio de representación proporcional de las votaciones por listas de partidos a otras formas de votación, como las votaciones de aprobación .

Fondo

La representación proporcional (RP) es una consideración importante en el diseño de sistemas electorales. Significa que los diversos grupos y sectores de la población deben estar representados en el parlamento en proporción a su tamaño. El sistema más común para garantizar la representación proporcional es el sistema de listas de partidos . En este sistema, los candidatos se dividen en partidos, y cada ciudadano vota por un solo partido. Cada partido recibe un número de escaños proporcional al número de ciudadanos que votaron por él. Por ejemplo, para un parlamento con 10 escaños, si exactamente el 50% de los ciudadanos vota por el partido A, exactamente el 30% vota por el partido B y exactamente el 20% vota por el partido C, entonces la representación proporcional requiere que el parlamento tenga exactamente 5 candidatos del partido A, exactamente 3 candidatos del partido B y exactamente 2 candidatos del partido C. En la práctica, las fracciones no suelen ser exactas, por lo que se debe utilizar algún método de redondeo, y esto se puede hacer mediante diversos métodos de asignación .

En los últimos años, hay una creciente insatisfacción con el sistema de partidos. ^{[ 1 ]} Una alternativa viable a los sistemas de listas de partidos es permitir que los ciudadanos voten directamente por los candidatos, utilizando papeletas de aprobación . Esto plantea un nuevo desafío: ¿cómo podemos definir la representación proporcional, cuando no hay grupos preespecificados (partidos) que puedan merecer representación proporcional? Por ejemplo, supongamos que un votante aprueba a los candidatos 1, 2, 3; otro votante aprueba a los candidatos 2, 4, 5; un tercer votante aprueba a los candidatos 1, 4. ¿Cuál es una definición razonable de "representación proporcional" en este caso? ^{[ 2 ]} Se han sugerido varias respuestas; se conocen colectivamente como representación justificada.

Conceptos básicos

A continuación, denotamos el número de escaños por k y el número de votantes por n . La cuota de Hare es n / k , el número mínimo de simpatizantes que justifica un solo escaño. En los sistemas de representación proporcional por lista de partidos, cada grupo de votantes con al menos L cuotas, que votan por el mismo partido, tiene derecho a L representantes de ese partido.

Una generalización natural de esta idea es un grupo L-cohesivo , definido como un grupo de votantes con al menos L cuotas, que aprueban al menos L candidatos en común.

Propiedades

Idealmente, nos gustaría exigir que, para cada grupo L-cohesivo, cada miembro tenga al menos L representantes. Esta condición, denominada representación justificada fuerte ( SJR ), podría ser inalcanzable, como se muestra en el siguiente ejemplo. ^{[ 3 ]}

Ejemplo 1. Hay k = 3 asientos y 4 candidatos {a, b, c, d}. Hay n = 12 votantes con conjuntos de aprobación: ab, b, b, bc, c, c, cd, d, d, da, a, a. Nótese que la cuota de Hare es 4. El grupo {ab, b, b, bc} es 1-cohesivo, ya que contiene 1 cuota y todos los miembros aprueban al candidato b. Strong-JR implica que el candidato b debe ser elegido. De manera similar, el grupo {bc, cc, cd} es 1-cohesivo, lo que requiere elegir al candidato c. De manera similar, el grupo {cd, d, d, da} requiere elegir a d, y el grupo {da, a, a, ab} requiere elegir a. Entonces necesitamos elegir 4 candidatos, pero el tamaño del comité es solo 3. Por lo tanto, ningún comité satisface strong JR.

Hay varias maneras de suavizar la noción de JR fuerte.

Grupos unánimes

Una opción es garantizar la representación únicamente a un grupo L-unánime , definido como un grupo de votantes con al menos L cuotas, que apruebe exactamente el mismo conjunto de al menos L candidatos. Esta condición se denomina representación justificada unánime ( RJU ). Sin embargo, los grupos L-unánimes son bastante raros en los sistemas de votación por aprobación, por lo que la RJU no sería una garantía muy útil.

Grupos cohesionados

Permaneciendo con grupos L-cohesivos, podemos relajar la garantía de representación de la siguiente manera. Definimos la satisfacción de un votante como el número de ganadores aprobados por ese votante. Strong-JR requiere que, en cada grupo L-cohesivo, la satisfacción mínima de un miembro del grupo sea al menos L. En cambio, podemos requerir que la satisfacción promedio de los miembros del grupo sea al menos L. Esta condición más débil se llama representación justificada promedio ( AJR ) ^{[ 4 ]} o participación justa promedio ( AFS ). ^{[ 5 ]} Desafortunadamente, esta condición aún puede ser inalcanzable. En el ejemplo 1 anterior, al igual que strong-JR, average-JR requiere elegir a los 4 candidatos, pero solo hay 3 escaños. En cada comité de tamaño 3, la satisfacción promedio de algún grupo 1-cohesivo es solo 1/2.

El sistema de votación de aprobación proporcional garantiza a cada grupo L-cohesivo una satisfacción promedio mayor que L -1. Tiene una variante llamada PAV de búsqueda local, que se ejecuta en tiempo polinomial y también garantiza una satisfacción promedio mayor que L -1. ^{[ 6 ]}^{: Teorema 1, Proposición 1} Esta garantía es óptima: para cada constante c >0, no existe ninguna regla que garantice una satisfacción promedio de al menos L -1+ c . ^{[ 6 ]}^{: Proposición 2}
La regla AJR puede cumplirse mediante comités fraccionados , es decir, comités cuyos miembros pueden ejercer durante una fracción de mandato o recibir votos ponderados. En particular, la regla de Nash cumple con la regla AJR ^{[ 5 ]} (nótese que en ese artículo la regla AJR se denomina AFS).

Podemos debilitar aún más el requisito exigiendo que la satisfacción máxima de un miembro del grupo sea al menos L. En otras palabras, en cada grupo L-cohesivo, al menos un miembro debe tener L representantes aprobados. Esta condición se denomina representación justificada extendida ( EJR ); fue introducida y analizada por Aziz, Brill, Conitzer, Elkind , Freeman y Walsh . ^{[ 3 ]} Existe una condición aún más débil, que requiere que EJR se cumpla solo para L=1 (solo para grupos 1-cohesivos); se denomina representación justificada . ^{[ 3 ]} Varios métodos conocidos satisfacen EJR:

Todo comité con una satisfacción promedio mayor que L -1 satisface EJR (por el principio del palomar ). ^{[ 6 ]} Por lo tanto, PAV y PAV de búsqueda local satisfacen EJR. PAV es la única de las reglas de votación de Thiele que satisface EJR. ^{[ 3 ]}
El método de partes iguales ^{[ 7 ]} es otra regla computable en tiempo polinomial que satisface EJR.
Otro algoritmo de tiempo polinomial que garantiza EJR es EJR-exacto. ^{[ 6 ]}
Un algoritmo simple que encuentra una asignación EJR se llama EJR codicioso . Este algoritmo itera L desde k hacia abajo hasta 1 y verifica si existe un subconjunto L-cohesivo de votantes. Si es así, elige el subconjunto L-cohesivo más grande y agrega algunos L candidatos que son aprobados por todos ellos. ^{[ 8 ]}^{: Algoritmo 1}
Sequential-PAV satisface EJR solo para grupos 1-cohesivos y solo para k ≤ 5. Para k ≥ 6, no satisface EJR incluso para grupos 1-cohesivos. ^{[ 9 ]}
La regla de Monroe satisface EJR solo para grupos 1-cohesivos. ^{[ 9 ]}
Es un problema co-NP-completo comprobar si un comité dado satisface EJR.

Un debilitamiento adicional de la EJR es la representación proporcional justificada ( PJR ). Esto significa que, para cada L ≥ 1, en cada grupo de votantes L -cohesionado, la unión de sus conjuntos de aprobación contiene algunos L ganadores. Fue introducida y analizada por Sánchez-Fernández, Elkind , Lackner, Fernández, Fisteus, Val y Skowron . ^{[ 4 ]}

EJR implica PJR, pero no al revés. Por ejemplo, ^{[ 9 ]}^{: Sec.4} considere un escenario con 2 k candidatos y k votantes. El votante i aprueba al candidato i , así como a los candidatos k +1,...,2 k . Nótese que la cuota es un votante, y cada L votantes son un grupo L -cohesivo. El comité 1,..., k satisface PJR, ya que para cada L votantes, la unión de sus conjuntos de aprobación contiene L ganadores. Pero no satisface EJR, ya que cada votante tiene solo 1 ganador aprobado. Por el contrario, el comité k +1,...,2 k satisface EJR.
PAV satisface EJR, por lo que también satisface PJR; además, es la única regla de votación de aprobación basada en ponderación que satisface PJR. Sin embargo, PAV secuencial viola PJR.
Algunas de las reglas de votación de Phragmen satisfacen PJR, a saber: el Phragmen leximax, que es NP-difícil de calcular, y el Phragmen secuencial, que es computable en tiempo polinomial y, además, satisface la monotonicidad del comité . ^{[ 10 ]}
Cuando k divide a n , Monroe y Greedy Monroe satisfacen PJR. Sin embargo, cuando k no divide a n , tanto Monroe como Greedy Monroe podrían violar PJR, excepto cuando L=1. ^{[ 4 ]}
Otra regla que es computable tanto en PJR como en tiempo polinomial es la regla de soporte maximin . ^{[ 11 ]}
Es co-NP-completo comprobar si un comité dado satisface PJR. ^{[ 6 ]}

Grupos parcialmente cohesionados

Las condiciones anteriores solo son válidas para grupos L-cohesivos. Sin embargo, los grupos L-cohesivos pueden ser bastante raros en la práctica. ^{[ 12 ]} Dichas condiciones no garantizan nada a los grupos que son "casi" cohesivos. Esto motiva la búsqueda de nociones más robustas de JR, que garanticen algo también para los grupos parcialmente cohesivos.

Una de estas nociones, muy común en la teoría de juegos cooperativos, es la estabilidad del núcleo (EC). ^{[ 3 ]} Significa que, para cualquier grupo de votantes con L cuotas (no necesariamente cohesivo), si este grupo se desvía y construye un comité más pequeño con L asientos, entonces para al menos un votante, el número de miembros del comité que aprueba no es mayor que en el comité original. EJR puede verse como una variante débil de EC, en la que solo los grupos L-cohesivos pueden desviarse. EJR requiere que, para cualquier grupo L-cohesivo, al menos un miembro no quiera desviarse, ya que su satisfacción actual ya es L, que es la máxima satisfacción posible con L representantes.

A partir de 2023, sigue siendo una incógnita si un comité de CS siempre existirá.

Peters, Pierczyński y Skowron ^{[ 13 ]} presentan un debilitamiento diferente de la cohesión. Dados dos enteros L y B ≤ L , un grupo S de votantes se denomina (L,B)-débil-cohesivo si contiene al menos L cuotas, y existe un conjunto C de L candidatos, tal que cada miembro de S aprueba al menos B candidatos de C . Nótese que ( L , L )-débil-cohesivo es equivalente a L-cohesivo. Un comité satisface la representación plenamente justificada ( FJR ) si en cada grupo (L,B)-débil-cohesivo, hay al menos un miembro que aprueba algunos B ganadores. Claramente, FJR implica EJR.

La regla FJR siempre puede ser satisfecha por la regla cohesiva voraz (que no es politemporal); queda abierto si existen algoritmos politemporales que satisfagan la regla FJR.

Brill y Peters ^{[ 14 ]} presentan un debilitamiento diferente de la cohesión. Dado un comité electo, definimos un grupo como L-privado si contiene al menos L cuotas, y además, al menos un candidato no electo es aprobado por todos los miembros. Un comité satisface EJR+ si para cada grupo de votantes L-privados, la satisfacción máxima es al menos L (al menos un miembro del grupo aprueba al menos L ganadores); un comité satisface PJR+ si para cada grupo L-privado, la unión de sus conjuntos de aprobación contiene algunos L ganadores. Claramente, EJR+ implica EJR y PJR+, y PJR+ implica PJR.

PAV, local-search-PAV y MES satisfacen EJR+; las pruebas son las mismas que las pruebas originales, ya que las pruebas originales no utilizan la cohesión, sino únicamente el hecho de que un candidato aprobado por todos los miembros del grupo no resulta elegido.
También existe un algoritmo voraz de tiempo polinomial que encuentra un comité EJR+: la regla del candidato justificado voraz .
PJR+ se puede verificar en tiempo polinomial mediante reducción a optimización submodular , a diferencia de PJR, cuya verificación es coNP-difícil.
EJR+ puede verificarse en tiempo polinomial mediante el siguiente algoritmo simple: Para cada L entre 1 y k, y para cada candidato no electo c: contar el número de votantes que aprueban a c y aprueban menos de L ganadores. Si el número de dichos votantes es al menos L cuotas, entonces el comité viola EJR+.
EJR+ satisface una forma débil de monotonicidad del comité : para todo k , hay un comité EJR+ W de tamaño k y un candidato no electo c , de tal manera que al agregar c a W se obtiene un comité EJR+ (de tamaño k +1).

Representación perfecta

Una propiedad diferente e independiente es la representación perfecta ( PER ). Significa que existe una correspondencia entre cada votante y un único ganador aprobado por él, de tal manera que cada ganador representa exactamente a n / k votantes. Si bien una representación perfecta puede no existir, esperamos que, de existir, sea elegida por la regla de votación. ^{[ 4 ]}

PER es compatible con PJR y JR: para cada instancia que admite representación perfecta, existe un comité que satisface PJR. Sin embargo, PER no es compatible con EJR: existen instancias en las que existen representaciones perfectas, pero ninguna de ellas satisface EJR. PER se satisface con la regla de Monroe y con la regla de Phragmen leximax ; ^{[ 10 ]} pero se viola con Monroe codicioso, PAV secuencial y PAV. ^{[ 4 ]}

Véase también: Representación totalmente proporcional

Trascendencia

El siguiente diagrama ilustra las relaciones de implicación entre las distintas condiciones: SJR implica AJR, que implica EJR; CS implica FJR, que implica EJR; y EJR+ implica EJR y PJR+. EJR implica PJR, que implica tanto UJR como JR. UJR y JR no se implican entre sí.

EJR+ es incomparable con CS y con FJR. ^{[ 14 ]}^{: Rem.2}

PER considera únicamente los casos en los que existe una representación perfecta. Por lo tanto, PER no implica, ni se ve implicado por, ninguno de los demás axiomas.

Verificación

Dadas las preferencias de los votantes y un comité específico, ¿podemos comprobar de manera eficiente si satisface alguno de estos axiomas? ^{[ 6 ]}

JR puede verificarse en tiempo polinomial;
PJR y EJR son coNP-completos para verificar;
La verificación de PER es NP-difícil (decidir si existe una representación perfecta es NP-completo).

Satisfacción promedio – grado de proporcionalidad

La satisfacción de un votante, dado un comité determinado, se define como el número de miembros del comité aprobados por dicho votante. La satisfacción promedio de un grupo de votantes es la suma de sus niveles de satisfacción, dividida por el tamaño del grupo. Si un grupo de votantes es L- cohesivo (es decir, su tamaño es al menos L * n / k y aprueban al menos L candidatos en común), entonces:

Cada comité JR tiene una satisfacción promedio de al menos 1 - 1/ L + 1/( Ln ). Lo mismo ocurre con cada comité PJR.
Cada comité EJR tiene una satisfacción promedio de al menos ( L -1)/2. Esquema de la prueba : EJR garantiza que al menos un miembro de un grupo L -cohesivo tenga una satisfacción de al menos L. Una vez que se elimina a este miembro, el grupo restante es al menos ( L -1)-cohesivo, por lo que al menos un miembro restante tiene garantizada una satisfacción de al menos L -1. Procediendo de esta manera se obtiene una satisfacción promedio de L+(L-1)+..., que es mayor que ( L -1)/2.
Por lo tanto, EJR proporciona una garantía de satisfacción en el peor de los casos mucho más sólida que PJR. ^{[ 4 ]}
Todo comité con una satisfacción promedio mayor que L -1 cumple con EJR.

La votación de aprobación proporcional garantiza una satisfacción promedio mayor que L -1. Tiene una variante llamada PAV de búsqueda local, que se ejecuta en tiempo polinomial y también garantiza una satisfacción promedio mayor que L -1 (por lo tanto, es EJR). ^{[ 6 ]}^{: Teorema 1, Proposición 1} Esta garantía es óptima: para cada constante c >0, no existe ninguna regla que garantice una satisfacción promedio de al menos L -1+ c (véase el ejemplo 1 anterior). ^{[ 6 ]}^{: Proposición 2}

Skowron ^{[ 15 ]} estudia el grado de proporcionalidad de las reglas de votación de múltiples ganadores, un límite inferior en la satisfacción promedio de todos los grupos de cierto tamaño.

Número variable de ganadores

Freeman, Kahng y Pennock ^{[ 16 ]} adaptan el concepto de satisfacción promedio a la votación con múltiples ganadores y un número variable de ganadores. Argumentan que los demás axiomas de JR no resultan atractivos con un número variable de ganadores, mientras que la satisfacción promedio es una noción más robusta. La adaptación implica los siguientes cambios:

Cada votante obtiene satisfacción no solo de un candidato electo que aprueba, sino también de un candidato no electo que no aprueba (esto hace que el problema sea similar al voto sobre múltiples temas , donde cada candidato es un tema binario).
Un grupo es L-grande si contiene al menos L * n / m votantes (donde m es el número total de candidatos), y L-cohesivo si además los miembros del grupo están de acuerdo en la ubicación de al menos L candidatos (es decir: la intersección de A _i más la intersección de C \ A _i es al menos L ).
Un comité es r-AS (r-satisfacción promedio) si para cada grupo L- cohesivo, el promedio de la satisfacción de los miembros es al menos r*L . Las condiciones JR, PJR y EJR se generalizan de manera similar.
La regla PAV elige un comité que maximiza la suma de harmonic(sat _i ), donde sat _i es la satisfacción del votante i . La regla secuencial de Phragmen y el método de partes iguales dividen la carga de cada candidato electo entre los votantes que lo aprueban, y la carga de cada candidato no electo entre los votantes que no lo aprueban. Todas estas reglas satisfacen PJR. MES viola EJR; se desconoce si las otras dos la satisfacen.
Una regla determinista no puede garantizar r -AS para r = (m-1)/m+epsilon, para cualquier epsilon>0. PAV, Phragmen y MES no pueden garantizar r -AS para r = 1/2+epsilon. Pero existe una regla aleatoria que satisface (29/32)-AS.

Precio de la representación justificada

El precio de la representación justificada es la pérdida en la satisfacción promedio debido al requisito de tener una representación justificada. Es análogo al precio de la equidad . ^{[ 8 ]}

Estudio empírico

Bredereck, Faliszewski, Kaczmarczyk y Niedermeier ^{[ 12 ]} realizaron un estudio experimental para comprobar cuántos comités satisfacen diversos axiomas de representación justificada. Descubrieron que los grupos cohesionados son poco frecuentes y, por lo tanto, una gran fracción de los comités JR seleccionados al azar también satisfacen PJR y EJR.

En presupuestos participativos

El presupuesto participativo combinatorio (PB) es una generalización de la votación de múltiples ganadores en la que cada proyecto candidato c puede tener un costo diferente cost(c) , y el objetivo es elegir un subconjunto de candidatos con un costo total como máximo un presupuesto fijo B. Cada grupo S merece una fracción del presupuesto total proporcional a su tamaño, es decir, B *| S |/ n . Algunas adaptaciones de los axiomas JR fueron desarrolladas por Aziz, Lee y Talmon. ^{[ 17 ]} Peters, Pierczyński y Skowron ^{[ 18 ]}^{: Sec.3.1} presentó las siguientes adaptaciones.

Para PB con preferencias de aprobación: dado un conjunto de proyectos T , un grupo S de votantes se denomina T -cohesivo si [a] su participación presupuestaria B *| S |/ n es al menos coste( T ), y [b] todos los miembros de S aprueban todos los proyectos en T . EJR requiere que en cada grupo T -cohesivo, al menos un miembro apruebe al menos | T | proyectos ganadores (para utilidades de cardinalidad), o al menos un miembro apruebe proyectos ganadores con un coste total al menos coste( T ) (para utilidades de coste).
Para el contexto más general de preferencias aditivas: dado un conjunto de proyectos T y una función umbral U en el conjunto de proyectos, un grupo S de votantes se denomina ( U , T )-cohesivo si [a] su participación presupuestaria B *| S |/ n es al menos coste( T ), y [b] todos los miembros i en S están de acuerdo en que todos los proyectos c en T son valiosos, u _i ( c ) >= U ( c) . EJR requiere que en cada grupo ( U , T )-cohesivo, al menos un miembro derive del presupuesto ganador una utilidad de al menos U ( T ). Siempre existe una asignación presupuestaria EJR, y puede encontrarse mediante un algoritmo exponencial que denominan regla cohesiva voraz . ^[¹⁸^]^:^Sec.4 Sin embargo, no puede calcularse en tiempo polinomial, por reducción del problema de la mochila .
EJR hasta un proyecto (EJR1) requiere que, en cada grupo cohesivo ( U , T ), haya un votante para quien el presupuesto ganador satisfaga una de las siguientes condiciones: o bien [a] la utilidad es al menos U(T), o bien [b] hay un proyecto c en T tal que, si c se agrega al comité ganador, la utilidad es estrictamente mayor que U(T). Debido a la desigualdad estricta, EJR1 se reduce a EJR en para preferencias de aprobación. Una adaptación apropiada del método de partes iguales , que se ejecuta en tiempo polinomial, satisface EJR1 en el modelo PB general con utilidades aditivas (por lo tanto, satisface EJR en el caso especial de preferencias de aprobación).

Papasotiropoulos, Pishbin, Skibski, Skowron y Was definen una variante fraccionaria de EJR, que denominan EJR fraccionaria. ^{[ 19 ]}^{: Def.1} Dado un conjunto T de proyectos, una función fraccionaria f de los proyectos a [0,1] y una función umbral de utilidad U en los proyectos, un grupo S de votantes se denomina ( T , f , U )-cohesivo si [a] su participación presupuestaria B *| S |/ n es al menos el costo total de las fracciones dadas, $B\cdot (|S|/n)\geq \sum _{c\in T}f(c)\cdot cost(c)$ y [b] todos los miembros i en S están de acuerdo en que todas las fracciones de proyectos c en T son valiosas, $f(c)\cdot u_{i}(p)\geq U(c)$ . El EJR fraccional requiere que, en cada grupo cohesivo ( T , f , U ), al menos un votante derive de la asignación presupuestaria (posiblemente fraccionaria) una utilidad de al menos U(T).

Adaptaciones

Los axiomas de representación justificada se han adaptado a diversos contextos, más allá de la simple votación en comités.

Votación de aprobación del partido

Brill, Golz, Peters, Schmidt-Kraepelin y Wilker adaptaron los axiomas de JR a la votación por aprobación de partidos . En este contexto, en lugar de aprobar candidatos individuales, los votantes deben aprobar partidos enteros. Este contexto es un punto intermedio entre las elecciones por lista de partidos, en las que los votantes deben elegir un solo partido, y la votación estándar por aprobación, en la que los votantes pueden elegir cualquier conjunto de candidatos. En la votación por aprobación de partidos, los votantes pueden elegir cualquier conjunto de partidos, pero no pueden elegir candidatos individuales dentro de un partido. Algunos axiomas de JR se adaptan a este contexto de la siguiente manera. ^{[ 20 ]}

Un grupo de votantes se denomina L-cohesivo si es L-grande y todos sus miembros aprueban al menos un partido en común (a diferencia del caso anterior, no es necesario que aprueben L partidos, ya que se supone que cada partido tiene al menos L candidatos, y todos los votantes que aprueban el partido aprueban automáticamente a todos esos candidatos). En otras palabras, un grupo L-cohesivo contiene L cuotas de votantes que coinciden en al menos un partido.

PJR significa que, para cada L ≥ 1, en cada grupo de votantes L -cohesionado, a los partidos en la unión de sus conjuntos de aprobación se les asignan al menos L escaños.
EJR significa que, para cada entero L ≥ 1, en cada grupo de votantes L -cohesionado, a los partidos aprobados por al menos un votante se les asignan al menos L escaños.
CS significa que, para cualquier grupo de votantes de tamaño L * n / k votantes (no necesariamente cohesionado), si este grupo se desvía y construye un comité más pequeño con L escaños, entonces para al menos un votante, el número de miembros del comité de los partidos que aprueba no es mayor que en el comité original.

El siguiente ejemplo ^{[ 20 ]} ilustra la diferencia entre CS y EJR. Supongamos que hay 5 partidos {a, b, c, d, e}, k = 16 escaños y n = 16 votantes con las siguientes preferencias: 4*ab, 3*bc, 1*c, 4*ad, 3*de, 1*e. Consideremos el comité con 8 escaños para el partido a, 4 para el partido c y 4 para el partido e. El número de representantes de los votantes es: 8, 4, 4, 8, 4, 4. No es CS: consideremos el grupo de 14 votantes que aprueban ab, bc, ad, de. Pueden formar un comité con 4 escaños para el partido a, 5 escaños para el partido b y 5 escaños para el partido d. Ahora, el número de representantes es: 9, 5, [0], 9, 5, [0], por lo que todos los miembros de la coalición desviada están estrictamente más contentos. Sin embargo, el comité original satisface EJR. Tenga en cuenta que la cuota es 1. El L más grande para el cual existe un grupo L -cohesivo es L = 8 (los votantes ab y ad), y a este grupo se le asignan 8 escaños.

Elecciones basadas en el orden de preferencia

El concepto de JR se origina a partir de un concepto anterior, introducido por Michael Dummett para elecciones basadas en rangos. Su condición es que, para cada entero L ≥ 1, para cada grupo de tamaño al menos L * n / k , si clasifican a los mismos L candidatos en la parte superior, entonces estos L candidatos deben ser elegidos. ^{[ 21 ]}

papeletas tricotómicas

Talmon y Page ^{[ 22 ]} extienden algunos axiomas de JR de las papeletas de aprobación a las papeletas tricotómicas (de tres opciones), lo que permite a cada votante expresar sentimientos positivos, negativos o neutrales hacia cada candidato. Presentan dos clases de generalizaciones: más fuertes ("Clase I") y más débiles ("Clase II").

Proponen algunas reglas de votación adaptadas a las papeletas tricotómicas y demuestran mediante simulaciones hasta qué punto sus reglas satisfacen los axiomas JR adaptados.

Proporcionalidad degresiva y regresiva

La proporcionalidad degresiva (a veces denominada proporcionalidad progresiva) otorga a los grupos más pequeños más representantes de los que les corresponderían proporcionalmente y es utilizada por el Parlamento Europeo . Por ejemplo, Penrose ha sugerido que cada grupo debería estar representado en proporción a la raíz cuadrada de su tamaño.

El extremo de la proporcionalidad degresiva es la diversidad , lo que significa que el comité debe representar al mayor número posible de votantes. La regla de votación Chamberlin-Courant (CC) busca maximizar la diversidad. Estas ideas resultan particularmente atractivas para la democracia deliberativa , donde es importante escuchar la mayor cantidad posible de voces diversas.

Por otro lado, la proporcionalidad regresiva significa que los grupos grandes deben tener una representación superior a la proporcional. El extremo de la proporcionalidad regresiva es la excelencia individual , lo que significa que el comité debe contener miembros apoyados por el mayor número de votantes. ^{[ 9 ]}^{: Sec.4.5} La regla de votación por aprobación en bloque (AV) maximiza la excelencia individual.

Lackner y Skowron ^{[ 23 ]} muestran que las reglas de votación de Thiele pueden usarse para interpolar entre proporcionalidad regresiva y degresiva: PAV es proporcional; las reglas en las que la pendiente de la función de puntuación está por encima de la de PAV satisfacen proporcionalidad regresiva; y las reglas en las que la pendiente de la función de puntuación está por debajo de la de PAV satisfacen proporcionalidad degresiva. Además, ^{[ 24 ]} Si la puntuación de satisfacción del i -ésimo candidato aprobado es (1/ p ) ⁱ , para varios valores de p , obtenemos todo el espectro entre CC y AV.

Jaworski y Skowron ^{[ 25 ]} construyeron una clase de reglas que generalizan la regla de votación secuencial de Phragmén . Intuitivamente, se obtiene una variante regresiva al suponer que los votantes que ya tienen más representantes ganan dinero a un ritmo menor que aquellos que tienen menos. La proporcionalidad regresiva se implementa al suponer que los candidatos que son aprobados por más votantes cuestan menos que aquellos que obtuvieron menos aprobaciones.

Candidatos divisibles

El modelo de elección del comité se ha extendido a un contexto en el que, en lugar de un conjunto finito de candidatos, existe un continuo de candidatos, representado por un intervalo real [0, c ]. El objetivo es seleccionar un subconjunto de este intervalo, con una longitud total como máximo k , donde k y c pueden ser números reales cualesquiera con 0 < k < c . Los axiomas PJR, EJR y AJR pueden extenderse a este contexto considerando grupos L -cohesivos para cualquier número real L > 0. La regla de bienestar máximo de Nash (que puede verse como el análogo continuo de la votación de aprobación proporcional ) satisface AJR, y por lo tanto también EJR y PJR. ^{[ 26 ]}^{: Sec.7}

Lu, Peters, Aziz, Bei y Suksompong ^{[ 27 ]} extienden estas definiciones a entornos con candidatos mixtos divisibles e indivisibles: hay un conjunto de m candidatos indivisibles, así como un pastel [0, c ]. La definición extendida de EJR, que permite grupos L-cohesivos con L no entero, puede ser inalcanzable. Definen dos relajaciones:

EJR-M garantiza a cualquier grupo L-cohesivo, cuando existe un conjunto de recursos de tamaño total exactamente L , que al menos un miembro del grupo recibe una utilidad de al menos L. EJR-M se reduce a EJR tanto en entornos con solo candidatos indivisibles como en entornos con solo un candidato divisible.
EJR- β (para cualquier número real β ) garantiza a cualquier grupo L-cohesivo que al menos un miembro del grupo recibe una utilidad mayor que L- β .

Ellos demuestran que:

Para cualquier β <1, EJR- β puede ser inalcanzable.
La regla de Nash no satisface EJR- β para ningún β .
Una regla llamada greedy-EJR satisface EJR-M, pero se ejecuta en tiempo exponencial y tiene un grado de proporcionalidad de aproximadamente L /2.
Una generalización de partes iguales satisface EJR-1 pero no EJR-M, pero satisface EJR para instancias solo divisibles, y tiene un grado de proporcionalidad de ~ L /2.
Una generalización de PAV, utilizando una extensión analítica a la serie armónica, satisface EJR-1 pero no EJR-M, no satisface EJR para instancias solo divisibles y tiene un grado de proporcionalidad mayor que L -1.

Otras adaptaciones

Bulteau, Hazon, Page, Rosenfeld y Talmon ^{[ 28 ]} adaptaron los axiomas de JR a la votación sobre múltiples temas (también llamada: votación perpetua, toma de decisiones pública o toma de decisiones secuencial). Su trabajo fue ampliado posteriormente por Chandak, Sashwat y Peters. ^{[ 29 ]}
Brill, Laslier y Skowron ^{[ 30 ]} adaptaron JR a la proporcionalidad degresiva , asignando más peso a las minorías.
Mavrov, Munagala y Shen ^{[ 31 ]} estudian el núcleo y los axiomas JR cuando hay restricciones en el comité.
Munagala, Shen, Wang y Wang ^{[ 32 ]} estudian una aproximación multiplicativa del núcleo cuando los agentes pueden tener funciones de satisfacción no aditivas.

Véase también

Proporcionalidad para coaliciones sólidas : un análogo de la representación proporcional para sistemas de votación con papeletas preferentes.
Representación totalmente proporcional : una condición que combina la representación proporcional y la rendición de cuentas.

Referencias

↑ "El descontento con la política partidista alcanza niveles sin precedentes" . The New York Times . 21 de septiembre de 2023.
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