Rosa (topología)

En matemáticas , una rosa (también conocida como ramo de n círculos ) es un espacio topológico que se obtiene al unir un conjunto de círculos a lo largo de un punto. Los círculos de la rosa se llaman pétalos . Las rosas son importantes en topología algebraica , donde están estrechamente relacionadas con los grupos libres .

Una rosa es una suma de cuñas de círculos . Es decir, la rosa es el espacio cociente C / S , donde C es una unión disjunta de círculos y S un conjunto formado por un punto de cada círculo. Como complejo celular , una rosa tiene un único vértice y una arista por cada círculo. Esto la convierte en un ejemplo sencillo de grafo topológico .

Una rosa con n pétalos también se puede obtener identificando n puntos en un solo círculo. La rosa con dos pétalos se conoce como la figura de ocho .

El grupo fundamental de una rosa es libre , con un generador para cada pétalo. La cubierta universal es un árbol infinito, que puede identificarse con el grafo de Cayley del grupo libre. (Este es un caso especial del complejo de presentación asociado a cualquier presentación de un grupo ).

Las cubiertas intermedias de la rosa corresponden a subgrupos del grupo libre. La observación de que cualquier cubierta de una rosa es un grafo proporciona una prueba sencilla de que todo subgrupo de un grupo libre es libre (el teorema de Nielsen-Schreier ).

Debido a que la cubierta universal de una rosa es contraíble , la rosa es en realidad un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo libre asociado F. Esto implica que los grupos de cohomología H ⁿ ( F ) son triviales para n  ≥  2.

• Cualquier grafo conexo es homotópicamente equivalente a una rosa. Específicamente, la rosa es el espacio cociente del grafo obtenido al colapsar un árbol generador .
• Un disco al que se le han quitado n puntos (o una esfera al que se le han quitado n  +  1 puntos) se deforma y se retrae formando una rosa con n pétalos. Un pétalo de la rosa rodea cada uno de los puntos quitados.
• Un toroide con una deformación de un punto eliminado se retrae sobre una figura de ocho, es decir, la unión de dos círculos generadores. De forma más general, una superficie de género g con una deformación de un punto eliminado se retrae sobre una rosa con 2 g pétalos, es decir, el límite de un polígono fundamental .
• Una rosa puede tener infinitos pétalos, lo que da lugar a un grupo fundamental libre sobre infinitos generadores. La rosa con infinitos pétalos numerables es similar al pendiente hawaiano : existe una biyección continua de esta rosa al pendiente hawaiano, pero ambos no son homeomorfos . Una rosa con infinitos pétalos no es compacta, mientras que el pendiente hawaiano sí lo es.

• Gráfico de ramo
• Grupo libre
• Lista de topologías
• Proyección de pétalos
• Cuadrifolio
• Grafo topológico

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0
• Munkres, James R. (2000), Topología , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, Inc., ISBN 0-13-181629-2
• Stillwell, John (1993), Topología clásica y teoría combinatoria de grupos , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97970-0