Fundamentos de las matemáticas

Los fundamentos de las matemáticas son los marcos lógicos y matemáticos que permiten el desarrollo de las matemáticas sin generar teorías contradictorias y, en particular, contar con conceptos fiables de teoremas , demostraciones , algoritmos , etc. Esto también puede incluir el estudio filosófico de la relación de este marco con la realidad . ^{[ 1 ]}

El término «fundamentos de las matemáticas» no se acuñó hasta finales del siglo XIX, aunque los filósofos griegos de la antigüedad establecieron los fundamentos bajo el nombre de lógica aristotélica y los aplicaron sistemáticamente en los Elementos de Euclides . Una afirmación matemática se considera verdadera solo si es un teorema que se demuestra a partir de premisas verdaderas mediante una secuencia de silogismos ( reglas de inferencia ), siendo las premisas teoremas ya demostrados o afirmaciones evidentes llamadas axiomas o postulados .

Estos fundamentos se consideraban tácitamente definitivos hasta la introducción del cálculo infinitesimal por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII. Esta nueva área de las matemáticas implicaba nuevos métodos de razonamiento y nuevos conceptos básicos ( funciones continuas , derivadas , límites ) que no estaban bien fundamentados, pero que tuvieron consecuencias asombrosas, como la deducción, a partir de la ley de gravitación de Newton, de que las órbitas de los planetas son elipses .

Durante el siglo XIX, se lograron avances en la elaboración de definiciones precisas de los conceptos básicos del cálculo infinitesimal, especialmente los números naturales y reales . Esto condujo a una serie de resultados matemáticos aparentemente paradójicos hacia finales del siglo XIX, que pusieron en entredicho la confianza generalizada en la fiabilidad y la veracidad de los resultados matemáticos. A esto se le ha denominado la crisis fundacional de las matemáticas .

La resolución de esta crisis implicó el surgimiento de una nueva disciplina matemática llamada lógica matemática , que incluye la teoría de conjuntos , la teoría de modelos , la teoría de la demostración , la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional , y más recientemente, partes de la informática . Los descubrimientos posteriores del siglo XX estabilizaron los fundamentos de las matemáticas en un marco coherente válido para todas las ramas de las matemáticas. Este marco se basa en el uso sistemático del método axiomático y en la teoría de conjuntos, específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección . Los fundamentos basados en la teoría de tipos también han ganado prevalencia, siendo comúnmente utilizados en asistentes de demostración computacionales .

De ello se deduce que los conceptos matemáticos básicos, como números , puntos , líneas y espacios geométricos, no se definen como abstracciones de la realidad, sino a partir de propiedades básicas ( axiomas ). Su adecuación a sus orígenes físicos ya no pertenece a las matemáticas, aunque su relación con la realidad todavía se utiliza para guiar la intuición matemática : los matemáticos siguen recurriendo a la realidad física para elegir axiomas, determinar qué teoremas son interesantes de demostrar y obtener indicios de posibles demostraciones.

Grecia antigua

La mayoría de las civilizaciones desarrollaron algún tipo de matemáticas, principalmente con fines prácticos, como el cálculo (comerciantes), la topografía (delimitación de terrenos), la prosodia , la astronomía y la astrología . Parece ser que los filósofos griegos antiguos fueron los primeros en estudiar la naturaleza de las matemáticas y su relación con el mundo real.

Zenón de Elea ( c. 490 – c. 430 a. C. ) formuló varias paradojas que utilizó para sustentar su tesis de que el movimiento no existe. Estas paradojas involucran el concepto de infinito matemático , un concepto que estaba fuera de los fundamentos matemáticos de la época y que no se comprendió bien hasta finales del siglo XIX.

La escuela pitagórica de matemáticas insistió originalmente en que los únicos números eran los números naturales y las razones entre números naturales. El descubrimiento ( hacia el siglo V a. C. ) de que la razón entre la diagonal de un cuadrado y su lado no es la razón entre dos números naturales les causó una conmoción que solo aceptaron a regañadientes. Prueba de ello es la terminología moderna de número irracional para referirse a un número que no es el cociente de dos enteros, ya que «irracional» significa originalmente «no razonable» o «no accesible mediante la razón». ^{[ a ]}

El hecho de que las razones de longitud no se representen mediante números racionales fue resuelto por Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.), discípulo de Platón , quien redujo la comparación de dos razones irracionales a comparaciones de múltiplos enteros de las magnitudes involucradas. Su método anticipó el de los cortes de Dedekind en la definición moderna de números reales de Richard Dedekind (1831-1916 ) ; ^{[ 2 ]} véase Eudoxo de Cnido § Proporciones de Eudoxo .

En los Segundos Analíticos , Aristóteles (384-322 a. C.) estableció la lógica para organizar el conocimiento mediante conceptos primitivos, axiomas, postulados, definiciones y teoremas. Aristóteles extrajo la mayoría de sus ejemplos de la aritmética y la geometría, y su lógica sirvió de base a las matemáticas durante siglos. Este método se asemeja al método axiomático moderno , pero con una importante diferencia filosófica: se suponía que los axiomas y postulados eran verdaderos, ya fuera por evidencia propia o por resultado de experimentos , mientras que en el método axiomático solo se considera la veracidad de la demostración. Así, para Aristóteles, un teorema demostrado es verdadero, mientras que en los métodos axiomáticos, la demostración solo indica que los axiomas implican el enunciado del teorema.

La lógica aristotélica alcanzó su apogeo con los Elementos de Euclides (300 a. C.), un tratado de matemáticas estructurado con un rigor excepcional: Euclides justifica cada proposición mediante una demostración en forma de cadenas de silogismos (aunque no siempre se ajustan estrictamente a los modelos aristotélicos). La lógica silogística de Aristóteles , junto con su ejemplificación en los Elementos de Euclides , se reconoce como un logro científico de la antigua Grecia y se mantuvo como fundamento de las matemáticas durante siglos.

Antes del cálculo infinitesimal

Durante la Edad Media , los Elementos de Euclides constituyeron una base perfectamente sólida para las matemáticas, y la filosofía de las matemáticas se centró en el estatus ontológico de los conceptos matemáticos; la cuestión era si existían independientemente de la percepción ( realismo ) o solo dentro de la mente ( conceptualismo ); o incluso si eran simplemente nombres de colecciones de objetos individuales ( nominalismo ).

En Elementos , los únicos números que se consideran son los números naturales y las razones de longitudes. Esta visión geométrica de los números no enteros se mantuvo dominante hasta finales de la Edad Media, aunque el auge del álgebra propició considerarlos independientemente de la geometría, lo que implica implícitamente la existencia de primitivas fundamentales de las matemáticas. Por ejemplo, las transformaciones de ecuaciones introducidas por Al-Juarismi y las fórmulas cúbicas y cuárticas descubiertas en el siglo XVI resultan de manipulaciones algebraicas que no tienen equivalente geométrico.

Sin embargo, esto no puso en tela de juicio los fundamentos clásicos de las matemáticas, ya que todas las propiedades de los números que se utilizaban podían deducirse de su definición geométrica.

En 1637, René Descartes publicó La Géométrie , en la que demostró que la geometría puede reducirse al álgebra mediante coordenadas , que son números que determinan la posición de un punto. Esto otorga a los números que él denominó números reales un papel más fundamental (antes de él, los números se definían como la razón de dos longitudes). El libro de Descartes se hizo famoso después de 1649 y allanó el camino al cálculo infinitesimal .

Cálculo infinitesimal

Isaac Newton (1642-1727) en Inglaterra y Leibniz (1646-1716) en Alemania desarrollaron de forma independiente el cálculo infinitesimal para tratar con puntos móviles (como los planetas en el cielo) y cantidades variables.

Esto requirió la introducción de nuevos conceptos como funciones continuas , derivadas y límites . Para abordar estos conceptos de manera lógica, se definieron en términos de infinitesimales , que son números hipotéticos infinitamente cercanos a cero. Las profundas implicaciones del cálculo infinitesimal en los fundamentos de las matemáticas se ilustran en un panfleto del filósofo protestante George Berkeley (1685-1753), quien escribió: «[Los infinitesimales] no son cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni aún nada. ¿No podríamos llamarlos los fantasmas de cantidades desaparecidas?». ^{[ 3 ]}

Además, se ha invocado con frecuencia la falta de rigor, ya que los infinitesimales y los conceptos asociados no estaban definidos formalmente ( las líneas y los planos tampoco lo estaban, aunque la gente estaba más familiarizada con ellos). Los números reales, las funciones continuas y las derivadas no estaban definidos formalmente antes del siglo XIX, al igual que la geometría euclidiana . Fue solo en el siglo XX cuando se dio una definición formal de los infinitesimales, demostrando que a partir de ellos se puede deducir todo el infinitesimal.

A pesar de su falta de fundamentos lógicos sólidos, el cálculo infinitesimal fue rápidamente adoptado por los matemáticos y validado por sus numerosas aplicaciones; en particular, el hecho de que las trayectorias de los planetas se pueden deducir de la ley de gravitación de Newton .

siglo XIX

En el siglo XIX, las matemáticas se desarrollaron rápidamente en múltiples direcciones. Varios de los problemas que se abordaron plantearon interrogantes sobre los fundamentos de las matemáticas. Con frecuencia, las soluciones propuestas suscitaron nuevas preguntas, a menudo de índole filosófica y matemática a la vez. Todas estas cuestiones condujeron, a finales del siglo XIX y principios del XX, a debates que se han denominado la crisis fundacional de las matemáticas . Las siguientes subsecciones describen los principales problemas fundacionales que surgieron durante el siglo XIX.

Análisis real

Cauchy (1789–1857) inició el proyecto de proporcionar bases rigurosas al cálculo infinitesimal . En particular, rechazó el principio heurístico que denominó generalidad del álgebra , que consistía en aplicar propiedades de las operaciones algebraicas a secuencias infinitas sin demostraciones adecuadas. En su Cours d'Analyse (1821), consideró cantidades muy pequeñas , que actualmente podrían denominarse "cantidades suficientemente pequeñas"; es decir, una proposición como "si $x$ es muy pequeño entonces..." debe entenderse como "existe un número natural $n$ (suficientemente grande) tal que $| x | < 1/ n$ ". En las demostraciones, utilizó esto de una manera que precedió a la definición moderna (ε, δ) de límite . ^{[ 4 ]}

La definición moderna (ε, δ) de límites y funciones continuas fue desarrollada por primera vez por Bolzano en 1817, pero permaneció relativamente desconocida, y es probable que Cauchy conociera el trabajo de Bolzano.

Karl Weierstrass (1815-1897) formalizó y popularizó la definición (ε, δ) de límites, y descubrió algunas funciones patológicas que parecían paradójicas en aquel entonces, como las funciones continuas no diferenciables en ningún punto . De hecho, tales funciones contradicen las concepciones previas de una función como una regla de cálculo o una gráfica suave.

En este punto, el programa de aritmetización del análisis (reducción del análisis matemático a operaciones aritméticas y algebraicas) propuesto por Weierstrass estaba prácticamente terminado, salvo por dos aspectos.

En primer lugar, aún faltaba una definición formal de los números reales. De hecho, a partir de Richard Dedekind en 1858, varios matemáticos trabajaron en la definición de los números reales, entre ellos Hermann Hankel , Charles Méray y Eduard Heine , pero no fue hasta 1872 que se publicaron dos definiciones completas e independientes de los números reales: una de Dedekind, mediante cortes de Dedekind ; la otra de Georg Cantor como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy . ^{[ 5 ]}

Estas definiciones dejaron varios problemas sin resolver, lo que contribuyó a la crisis fundacional de las matemáticas . En primer lugar, ambas definiciones presuponen que los números racionales , y por ende los números naturales, están definidos rigurosamente; esto se logró unos años después con los axiomas de Peano . En segundo lugar, ambas definiciones involucran conjuntos infinitos (cortes de Dedekind y conjuntos de los elementos de una sucesión de Cauchy), y la teoría de conjuntos de Cantor se publicó varios años después.

El tercer problema es más sutil y está relacionado con los fundamentos de la lógica: la lógica clásica es una lógica de primer orden ; es decir, los cuantificadores se aplican a variables que representan elementos individuales, no a variables que representan conjuntos (infinitos) de elementos. La propiedad básica de la completitud de los números reales , necesaria para definirlos y utilizarlos, implica una cuantificación sobre conjuntos infinitos. De hecho, esta propiedad puede expresarse como que para toda sucesión infinita de números reales, si es una sucesión de Cauchy , tiene un límite que es un número real , o como que todo subconjunto de los números reales acotado tiene un límite superior mínimo que es un número real . Esta necesidad de cuantificación sobre conjuntos infinitos es una de las motivaciones del desarrollo de las lógicas de orden superior durante la primera mitad del siglo XX.

Geometrías no euclidianas

Antes del siglo XIX, hubo muchos intentos fallidos de derivar el postulado de las paralelas a partir de otros axiomas de la geometría. En un intento por demostrar que su negación conduce a una contradicción, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) comenzó a desarrollar la geometría hiperbólica , introdujo las funciones hiperbólicas y calculó el área de un triángulo hiperbólico (donde la suma de los ángulos es menor de 180°).

Continuando con la construcción de esta nueva geometría, varios matemáticos demostraron independientemente que si esta es inconsistente , entonces la geometría euclidiana también lo es y, por lo tanto, el postulado de las paralelas no puede demostrarse. Esto fue demostrado por Nikolai Lobachevsky en 1826, János Bolyai (1802-1860) en 1832 y Carl Friedrich Gauss (inédito).

Más adelante, en el siglo XIX, el matemático alemán Bernhard Riemann desarrolló la geometría elíptica , otra geometría no euclidiana en la que no existen paralelos y la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180°. Su consistencia se demostró definiendo los puntos como pares de puntos antipodales en una esfera (o hiperesfera ) y las líneas como círculos máximos en dicha esfera.

Estas pruebas de la imposibilidad de demostrar el postulado de las paralelas plantean varios problemas filosóficos, siendo el principal que, antes de este descubrimiento, el postulado de las paralelas y todas sus consecuencias se consideraban verdaderas . Así pues, las geometrías no euclidianas desafiaron el concepto de verdad matemática .

Geometría sintética frente a geometría analítica

Desde la introducción de la geometría analítica por René Descartes en el siglo XVII, ha habido dos enfoques de la geometría: el antiguo, llamado geometría sintética , y el nuevo, donde todo se especifica en términos de números reales llamados coordenadas .

Los matemáticos no se preocuparon demasiado por la contradicción entre estos dos enfoques antes de mediados del siglo XIX, cuando hubo "una agria controversia entre los defensores de los métodos sintéticos y analíticos en geometría proyectiva , acusándose mutuamente ambos bandos de mezclar conceptos proyectivos y métricos". ^{[ 6 ]} De hecho, no existe el concepto de distancia en un espacio proyectivo , y la razón antagónica , que es un número, es un concepto básico de la geometría proyectiva sintética.

Karl von Staudt desarrolló un enfoque puramente geométrico para este problema introduciendo "lanzamientos" que forman lo que actualmente se denomina un campo , en el que se puede expresar la razón cruzada.

Aparentemente, el problema de la equivalencia entre el enfoque analítico y el sintético se resolvió completamente con el libro de Emil Artin , Álgebra Geométrica, publicado en 1957. Era bien sabido que, dado un cuerpo $k$ , se pueden definir espacios afines y proyectivos sobre $k$ en términos de espacios vectoriales sobre $k$ . En estos espacios, se cumple el teorema del hexágono de Pappus . A la inversa, si el teorema del hexágono de Pappus se incluye en los axiomas de una geometría plana, entonces se puede definir un cuerpo $k$ tal que la geometría sea la misma que la geometría afín o proyectiva sobre $k$ .

Números naturales

El trabajo de realizar un análisis real riguroso y definir los números reales consistió en reducir todo a números racionales y, por lo tanto, a números naturales , ya que los números racionales positivos son fracciones de los números naturales. Por consiguiente, era necesaria una definición formal de los números naturales, que implicara una teoría axiomática de la aritmética . Esto se inició con Charles Sanders Peirce en 1881 y Richard Dedekind en 1888, quienes definieron los números naturales como la cardinalidad de un conjunto finito . ^{[ 7 ]} Sin embargo, esto implica la teoría de conjuntos , que no estaba formalizada en ese momento.

Giuseppe Peano proporcionó en 1888 una axiomatización completa basada en la propiedad ordinal de los números naturales. El último axioma de Peano es el único que induce dificultades lógicas, ya que comienza con "si $S$ es un conjunto entonces" o "si $\varphi$ es un predicado entonces". Así, los axiomas de Peano inducen una cuantificación en conjuntos infinitos, y esto significa que la aritmética de Peano es lo que actualmente se denomina lógica de segundo orden .

Esto no se comprendía bien en aquel entonces, pero el hecho de que el infinito apareciera en la definición de los números naturales representaba un problema para muchos matemáticos de la época. Por ejemplo, Henri Poincaré afirmó que los axiomas solo pueden demostrarse en su aplicación finita y concluyó que es «el poder de la mente» lo que permite concebir la repetición indefinida del mismo acto. ^{[ 8 ]} Esto se aplica en particular al uso del último axioma de Peano para demostrar que la función sucesora genera todos los números naturales. Asimismo, Leopold Kronecker dijo: «Dios creó los enteros; todo lo demás es obra del hombre». ^{[ b ]} Esto puede interpretarse como «los enteros no pueden definirse matemáticamente».

Conjuntos infinitos

Antes de la segunda mitad del siglo XIX, el infinito era un concepto filosófico ajeno a las matemáticas. Sin embargo, con el auge del cálculo infinitesimal , los matemáticos se familiarizaron con el infinito, principalmente a través del infinito potencial , es decir, como resultado de un proceso sin fin, como la definición de una sucesión infinita , una serie infinita o un límite . La posibilidad de un infinito real fue objeto de numerosas disputas filosóficas.

Los conjuntos , y más especialmente los conjuntos infinitos, no se consideraban un concepto matemático; en particular, no existía un término fijo para definirlos. Un cambio radical se produjo con la obra de Georg Cantor, el primer matemático en estudiar sistemáticamente los conjuntos infinitos. En concreto, introdujo los números cardinales , que miden el tamaño de los conjuntos infinitos, y los números ordinales, que, en términos generales, permiten continuar contando una vez alcanzado el infinito. Uno de sus principales resultados fue el descubrimiento de que existen estrictamente más números reales que naturales (el cardinal del continuo de los números reales es mayor que el de los números naturales).

Estos resultados fueron rechazados por muchos matemáticos y filósofos, y dieron lugar a debates que forman parte de la crisis fundacional de las matemáticas .

La crisis se agudizó con la paradoja de Russell , que afirma que la frase "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictoria en sí misma. Esta contradicción generó dudas sobre la consistencia de todas las matemáticas.

Con la introducción de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ( c. 1925 ) y su adopción por la comunidad matemática, la duda sobre la consistencia se eliminó esencialmente, aunque la consistencia de la teoría de conjuntos no se puede probar debido al teorema de incompletitud de Gödel .

Lógica matemática

En 1847, De Morgan publicó sus leyes y George Boole ideó un álgebra, ahora llamada álgebra booleana , que permite expresar la lógica de Aristóteles en términos de fórmulas y operaciones algebraicas . El álgebra booleana es el punto de partida de la lógica matemática y la base del cálculo proposicional . De forma independiente, en la década de 1870, Charles Sanders Peirce y Gottlob Frege extendieron el cálculo proposicional introduciendo cuantificadores para construir la lógica de predicados .

Frege señaló tres propiedades deseables de una teoría lógica: consistencia (imposibilidad de probar enunciados contradictorios), completitud (cualquier enunciado es demostrable o refutable; es decir, su negación es demostrable) y decidibilidad (existe un procedimiento de decisión para probar cada enunciado).

Hacia el cambio de siglo, Bertrand Russell popularizó la obra de Frege y descubrió la paradoja de Russell , que implica que la frase "el conjunto de todos los conjuntos" es contradictoria en sí misma. Esta paradoja parecía generar inconsistencias en todas las matemáticas y es una de las principales causas de la crisis fundacional de esta disciplina.

Crisis fundacional

La crisis fundamental de las matemáticas surgió a finales del siglo XIX y principios del XX con el descubrimiento de varias paradojas o resultados contraintuitivos.

El primero fue la prueba de que el postulado de las paralelas no puede probarse. Esto se debe a la construcción de una geometría no euclidiana dentro de la geometría euclidiana , cuya inconsistencia implicaría la inconsistencia de la geometría euclidiana. Una paradoja bien conocida es la paradoja de Russell , que muestra que la frase "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos" es contradictoria. Otros problemas filosóficos fueron la prueba de la existencia de objetos matemáticos que no pueden calcularse ni describirse explícitamente, y la prueba de la existencia de teoremas sobre números naturales que no pueden probarse con la aritmética de Peano (véanse los teoremas de incompletitud de Gödel ).

Varias escuelas de filosofía de las matemáticas se enfrentaron a estos problemas en el siglo XX, y se describen a continuación.

Estos problemas también fueron estudiados por matemáticos, lo que llevó a establecer la lógica matemática como una nueva área de las matemáticas, que consiste en proporcionar definiciones matemáticas a las lógicas (conjuntos de reglas de inferencia ), teorías, teoremas y demostraciones matemáticas y lógicas, y en utilizar métodos matemáticos para demostrar teoremas sobre estos conceptos. Los Principia Mathematica constituyen un hito en la lógica y los fundamentos matemáticos, publicado por Russell y Alfred North Whitehead en 1913.

La lógica matemática condujo a resultados inesperados, como los teoremas de incompletitud de Gödel , que, en términos generales, afirman que, si una teoría contiene la aritmética estándar, no puede usarse para demostrar que no es contradictoria en sí misma ; y, si no es contradictoria en sí misma, existen teoremas que no pueden demostrarse dentro de la teoría, pero que, sin embargo, son verdaderos en algún sentido técnico.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC) es una teoría lógica establecida por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel . Se convirtió en el fundamento estándar de las matemáticas modernas y, a menos que se especifique explícitamente lo contrario, se utiliza en todos los textos matemáticos modernos, generalmente de forma implícita.

Simultáneamente, el método axiomático se convirtió en un estándar de facto: la demostración de un teorema debe derivarse de axiomas explícitos y teoremas previamente demostrados mediante la aplicación de reglas de inferencia claramente definidas. Los axiomas no tienen por qué corresponderse con alguna realidad. Sin embargo, sigue siendo un problema filosófico abierto explicar por qué los sistemas axiomáticos que dan lugar a teorías ricas y útiles son aquellos que resultan de la abstracción de la realidad física o de otras teorías matemáticas.

En resumen, la crisis fundacional está prácticamente resuelta, lo que plantea nuevos problemas filosóficos. En particular, no se puede demostrar que la nueva fundación (ZFC) no sea contradictoria. Existe un consenso general en que, de producirse tal contradicción, el problema podría resolverse con una ligera modificación de ZFC.

Puntos de vista filosóficos

Cuando surgió la crisis fundacional, se produjo un intenso debate entre matemáticos y lógicos sobre qué debía hacerse para restaurar la confianza en las matemáticas. Esto implicó cuestiones filosóficas sobre la verdad matemática , la relación de las matemáticas con la realidad , la realidad de los objetos matemáticos y la naturaleza de las matemáticas.

Para el problema de los fundamentos, existían dos opciones principales para intentar evitar las paradojas. La primera conducía al intuicionismo y al constructivismo , y consistía en restringir las reglas lógicas para mantenerse más cerca de la intuición, mientras que la segunda, que se ha denominado formalismo , considera que un teorema es verdadero si puede deducirse de axiomas aplicando reglas de inferencia ( prueba formal ), y que no se necesita la "verdad" de los axiomas para la validez de un teorema.

Formalismo

Se ha afirmado que los formalistas, como David Hilbert (1862-1943 ) , sostienen que las matemáticas son solo un lenguaje y una serie de juegos. Hilbert insistió en que el formalismo, al que denominó "juego de fórmulas", es una parte fundamental de las matemáticas, pero que estas no deben reducirse al formalismo. De hecho, utilizó la expresión "juego de fórmulas" en su respuesta de 1927 a las críticas de L. E. J. Brouwer .

¿Y hasta qué punto ha tenido éxito el juego de fórmulas que este ha hecho posible? Este juego de fórmulas nos permite expresar todo el contenido del pensamiento de la ciencia matemática de manera uniforme y desarrollarlo de tal forma que, al mismo tiempo, se hacen claras las interconexiones entre las proposiciones y los hechos individuales... El juego de fórmulas que Brouwer tanto menosprecia tiene, además de su valor matemático, una importante relevancia filosófica general. Pues este juego de fórmulas se lleva a cabo según ciertas reglas definidas, en las que se expresa la técnica de nuestro pensamiento . Estas reglas forman un sistema cerrado que puede descubrirse y enunciarse de forma definitiva. ^{[ 11 ]}

Así, Hilbert insiste en que las matemáticas no son un juego arbitrario con reglas arbitrarias ; más bien, deben estar en consonancia con la forma en que pensamos, y luego hablamos y escribimos. ^{[ 11 ]}

Aquí no hablamos de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas están determinadas por reglas estipuladas arbitrariamente. Más bien, son un sistema conceptual que posee una necesidad interna que solo puede ser así y de ninguna otra manera. ^{[ 12 ]}

La filosofía fundamental del formalismo, ejemplificada por David Hilbert , es una respuesta a las paradojas de la teoría de conjuntos y se basa en la lógica formal . Prácticamente todos los teoremas matemáticos actuales pueden formularse como teoremas de la teoría de conjuntos. Desde esta perspectiva, la veracidad de una proposición matemática reside en el hecho de que dicha proposición puede derivarse de los axiomas de la teoría de conjuntos utilizando las reglas de la lógica formal.

El mero uso del formalismo no explica varias cuestiones: por qué debemos usar los axiomas que usamos y no otros, por qué debemos emplear las reglas lógicas que usamos y no otras, por qué las afirmaciones matemáticas "verdaderas" (por ejemplo, las leyes de la aritmética ) parecen ser verdaderas, etc. Hermann Weyl planteó estas mismas preguntas a Hilbert:

Determinar qué «verdad» u objetividad puede atribuirse a esta construcción teórica del mundo, que trasciende con creces lo dado, constituye un profundo problema filosófico. Está estrechamente relacionado con la siguiente pregunta: ¿qué nos impulsa a tomar como base precisamente el sistema axiomático particular desarrollado por Hilbert? La coherencia es, en efecto, una condición necesaria, pero no suficiente. Por el momento, probablemente no podamos responder a esta pregunta… ^{[ 13 ]}

En algunos casos, estas preguntas pueden responderse suficientemente mediante el estudio de teorías formales, en disciplinas como la matemática inversa y la teoría de la complejidad computacional . Como señaló Weyl, los sistemas lógicos formales también corren el riesgo de inconsistencia ; en la aritmética de Peano , esto posiblemente ya se haya resuelto con varias pruebas de consistencia , pero existe un debate sobre si son suficientemente finitas para ser significativas. El segundo teorema de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética nunca pueden contener una prueba válida de su propia consistencia . Lo que Hilbert quería hacer era probar que un sistema lógico S era consistente, basándose en principios P que solo constituían una pequeña parte de S. Pero Gödel demostró que los principios P ni siquiera podían probar que P fuera consistente, y mucho menos S.

intuicionismo

Los intuicionistas, como LEJ Brouwer (1882-1966), sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana. Los números, al igual que los personajes de los cuentos de hadas, son meras entidades mentales que no existirían si no hubiera mentes humanas que pensaran en ellos.

La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo , ejemplificada de forma extrema por Brouwer y Stephen Kleene , exige que las pruebas sean de naturaleza «constructiva» : la existencia de un objeto debe demostrarse, en lugar de inferirse a partir de la demostración de la imposibilidad de su inexistencia. Por ejemplo, como consecuencia de esto, la forma de prueba conocida como reducción al absurdo resulta sospechosa.

Algunas teorías modernas de la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de fundamentos en el sentido original. Algunas se centran en la práctica matemática y buscan describir y analizar el funcionamiento real de los matemáticos como grupo social . Otras intentan crear una ciencia cognitiva de las matemáticas , enfocándose en la cognición humana como origen de la fiabilidad de las matemáticas aplicadas al mundo real. Estas teorías proponen encontrar fundamentos únicamente en el pensamiento humano, no en ninguna construcción objetiva externa. El tema sigue siendo controvertido.

Logicismo

El logicismo es una escuela de pensamiento y un programa de investigación en la filosofía de las matemáticas, basado en la tesis de que las matemáticas son una extensión de la lógica o que algunas o todas las matemáticas pueden derivarse en un sistema formal adecuado cuyos axiomas y reglas de inferencia son de naturaleza «lógica». Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría, iniciada por Gottlob Frege e influenciada por Richard Dedekind .

Platonismo basado en la teoría de conjuntos

Muchos investigadores en teoría axiomática de conjuntos se han adherido a lo que se conoce como platonismo conjuntista , ejemplificado por Kurt Gödel .

Varios teóricos de conjuntos siguieron este enfoque y buscaron activamente axiomas que pudieran considerarse verdaderos por razones heurísticas y que permitieran resolver la hipótesis del continuo . Se estudiaron muchos axiomas de cardinalidad grande , pero la hipótesis siempre se mantuvo independiente de ellos, y actualmente se considera improbable que la hipótesis del continuo pueda resolverse mediante un nuevo axioma de cardinalidad grande. Se consideraron otros tipos de axiomas, pero ninguno ha logrado aún un consenso sobre la hipótesis del continuo. Un trabajo reciente de Hamkins propone una alternativa más flexible: un multiverso conjuntista que permite el libre tránsito entre universos conjuntistas que satisfacen la hipótesis del continuo y otros universos que no la satisfacen.

Argumento de indispensabilidad a favor del realismo

Este argumento de Willard Quine y Hilary Putnam dice (en palabras más breves de Putnam):

... la cuantificación de entidades matemáticas es indispensable para la ciencia ... por lo tanto, deberíamos aceptar dicha cuantificación; pero esto nos compromete a aceptar la existencia de las entidades matemáticas en cuestión.

Sin embargo, Putnam no era platónico.

Realismo crudo y sin adornos

Por lo general, pocos matemáticos se preocupan a diario por el logicismo, el formalismo o cualquier otra postura filosófica. Su principal preocupación es que la disciplina matemática en su conjunto siga siendo productiva. Consideran que esto se garantiza manteniendo una mentalidad abierta, práctica y activa; y que se ve amenazado por volverse excesivamente ideológicos, fanáticamente reduccionistas o perezosos.

Algunos físicos muy conocidos también han expresado esta opinión.

Por ejemplo, Richard Feynman dijo:

La gente me pregunta: "¿Buscas las leyes fundamentales de la física?". No, no las busco... Si resulta que existe una ley fundamental simple que lo explique todo, mejor aún ; sería maravilloso descubrirla. Si resulta ser como una cebolla con millones de capas... pues así es. Pero de cualquier manera, la Naturaleza es como es. Por lo tanto, cuando investigamos, no deberíamos predecidir qué es lo que buscamos solo para descubrir más al respecto. ^{[ 14 ]}

Y Steven Weinberg : ^{[ 15 ]}

Las ideas de los filósofos han beneficiado ocasionalmente a los físicos, pero generalmente de forma negativa, al protegerlos de los prejuicios de otros filósofos. Sin la guía de nuestros propios prejuicios, no podríamos hacer nada. El problema radica en que los principios filosóficos no nos han proporcionado, en general, los prejuicios adecuados.

Weinberg creía que cualquier indecidibilidad en matemáticas, como la hipótesis del continuo, podría resolverse potencialmente a pesar del teorema de incompletitud, encontrando axiomas adicionales adecuados para añadir a la teoría de conjuntos.

Consecuencias filosóficas del teorema de completitud de Gödel

El teorema de completitud de Gödel establece una equivalencia en lógica de primer orden entre la demostrabilidad formal de una fórmula y su veracidad en todos los modelos posibles. Concretamente, para cualquier teoría consistente de primer orden, proporciona una «construcción explícita» de un modelo descrito por la teoría; este modelo será numerable si el lenguaje de la teoría es numerable. Sin embargo, esta «construcción explícita» no es algorítmica. Se basa en un proceso iterativo de completitud de la teoría, donde cada paso de la iteración consiste en añadir una fórmula a los axiomas si mantiene la consistencia de la teoría; pero esta cuestión de consistencia es solo semidecidible (existe un algoritmo para encontrar cualquier contradicción, pero si no la hay, este hecho de consistencia puede permanecer indemostrable).

Más paradojas

A continuación se enumeran algunos resultados notables en metamatemáticas. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es la axiomatización más estudiada de la teoría de conjuntos. Se abrevia como ZFC cuando incluye el axioma de elección y como ZF cuando lo excluye.

1920: Thoralf Skolem corrigió la demostración de Leopold Löwenheim de lo que ahora se denomina el teorema descendente de Löwenheim-Skolem , lo que condujo a la paradoja de Skolem discutida en 1922, a saber, la existencia de modelos numerables de ZF, lo que convierte las cardinalidades infinitas en una propiedad relativa.
1922: Demostración de Abraham Fraenkel de que el axioma de elección no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo con urelementos .
1931: Publicación de los teoremas de incompletitud de Gödel , que demostraron que aspectos esenciales del programa de Hilbert eran inalcanzables. Estos teoremas mostraban cómo construir, para cualquier sistema recursivamente axiomatizable suficientemente potente y consistente —como el necesario para axiomatizar la teoría elemental de la aritmética en el conjunto (infinito) de los números naturales— , una afirmación que expresa formalmente su propia indemostrabilidad, la cual, posteriormente, demostró que era equivalente a la afirmación de consistencia de la teoría; de modo que (suponiendo que la consistencia sea verdadera), el sistema no es lo suficientemente potente como para demostrar su propia consistencia, y mucho menos que un sistema más simple pudiera hacerlo. Así, quedó claro que la noción de verdad matemática no puede determinarse completamente ni reducirse a un sistema puramente formal, como se preveía en el programa de Hilbert. Esto asestó un golpe final al núcleo del programa de Hilbert, la esperanza de que la consistencia pudiera establecerse por medios finitistas (nunca quedó claro exactamente cuáles eran los axiomas "finitistas", pero cualquiera que fuera el sistema axiomático al que se hacía referencia, era un sistema "más débil" que el sistema cuya consistencia se suponía que debía probar).
1936: Alfred Tarski demostró su teorema de indefinibilidad de la verdad .
1936: Alan Turing demostró que no puede existir un algoritmo general para resolver el problema de la parada para todos los pares posibles de programa-entrada.
1938: Gödel demostró la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado .
1936–1937: Alonzo Church y Alan Turing publicaron, respectivamente, artículos independientes que demostraban que una solución general al problema de decisión es imposible: la validez universal de las afirmaciones en la lógica de primer orden no es decidible (solo es semidecidible según lo establece el teorema de completitud ).
1955: Pyotr Novikov demostró que existe un grupo G finitamente presentado tal que el problema de la palabra para G es indecidible.
1963: Paul Cohen demostró que la Hipótesis del Continuo es indemostrable a partir de ZFC . La demostración de Cohen desarrolló el método de forzamiento , que ahora es una herramienta importante para establecer resultados de independencia en la teoría de conjuntos.
1964: Inspirado por la aleatoriedad fundamental en la física, Gregory Chaitin comienza a publicar resultados sobre la teoría de la información algorítmica (que mide la incompletitud y la aleatoriedad en matemáticas). ^{[ 16 ]}
1966: Paul Cohen demostró que el axioma de elección es indemostrable en ZF incluso sin urelementos .
1970: Se demuestra que el décimo problema de Hilbert es irresoluble: no existe una solución recursiva para decidir si una ecuación diofántica (ecuación polinómica multivariable) tiene una solución en números enteros.
1971: Se demuestra que el problema de Suslin es independiente de ZFC.

Hacia la resolución de la crisis

A partir de 1935, el grupo de matemáticos franceses Bourbaki comenzó a publicar una serie de libros para formalizar muchas áreas de las matemáticas sobre la nueva base de la teoría de conjuntos.

La escuela intuicionista no atrajo a muchos seguidores, y no fue hasta el trabajo de Bishop en 1967 que las matemáticas constructivas se asentaron sobre bases más sólidas. ^{[ 17 ]}

Podríamos considerar que el programa de Hilbert se ha completado parcialmente , de modo que la crisis queda prácticamente resuelta, conformándonos con requisitos menos exigentes que las ambiciones originales de Hilbert. Sus ambiciones surgieron en una época en la que nada estaba claro: ni siquiera estaba claro si las matemáticas podían tener una base rigurosa.

Existen muchas variantes posibles de la teoría de conjuntos, que difieren en la fuerza de consistencia , donde las versiones más fuertes (que postulan tipos superiores de infinitos) contienen pruebas formales de la consistencia de las versiones más débiles, pero ninguna contiene una prueba formal de su propia consistencia. Por lo tanto, lo único que no tenemos es una prueba formal de consistencia de cualquier versión de la teoría de conjuntos que prefiramos, como ZF. Ha habido otras justificaciones filosóficas para la consistencia de un sistema formal, como la prueba de consistencia de Gentzen , que reduce la consistencia de los axiomas de Peano al sistema más débil de aritmética recursiva primitiva con un axioma adicional que afirma la existencia de un cierto número ordinal . Esta prueba también dio inicio a un programa de análisis ordinal similar para otros sistemas formales. ^{[ 18 ]}

En la práctica, la mayoría de los matemáticos no trabajan con sistemas axiomáticos, o si lo hacen, no dudan de la consistencia de ZFC , generalmente su sistema axiomático preferido. En la mayor parte de las matemáticas tal como se practican, la incompletitud y las paradojas de las teorías formales subyacentes nunca han tenido relevancia, y en aquellas ramas en las que sí la tienen o cuyos intentos de formalización correrían el riesgo de generar teorías inconsistentes (como la lógica y la teoría de categorías), pueden ser tratadas con cautela.

El desarrollo de la teoría de categorías a mediados del siglo XX demostró la utilidad de las teorías de conjuntos que garantizan la existencia de clases más amplias que ZFC, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel o la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , si bien en muchos casos el uso de axiomas cardinales grandes o universos de Grothendieck es formalmente eliminable.

Uno de los objetivos del programa de matemáticas inversas es identificar si existen áreas de las matemáticas fundamentales en las que los problemas básicos puedan provocar nuevamente una crisis. Esto implica comprobar si los sistemas formales más débiles que ZFC pueden demostrar teoremas matemáticos.

Enfoques no basados en la teoría de conjuntos

También se han investigado y adoptado enfoques para los fundamentos de las matemáticas que no se basan en la teoría de conjuntos. La teoría de tipos se ha utilizado como base para fundamentos matemáticos, como en el cálculo de construcciones o la teoría de tipos intuicionista , publicada por primera vez por Per Martin-Löf en 1975. ^{[ 19 ]} Los fundamentos univalentes son un enfoque más reciente para los fundamentos matemáticos que se originó en la década de 2000 y se construye a partir de la teoría de tipos homotópicos . Los fundamentos de la teoría de tipos se han vuelto más comunes que los de la teoría de conjuntos para su uso en asistentes de demostración , que son programas informáticos que ayudan en el desarrollo y la verificación de demostraciones matemáticas formales.

En términos generales, la teoría de tipos no necesita "axiomas" en el sentido tradicional, sino que posee un sistema lógico más completo que cumple la misma función. Esto puede dificultar la comparación de la consistencia entre una teoría de tipos y una teoría de conjuntos, aunque se ha intentado. Por ejemplo, Benjamin Werner demostró que era posible codificar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel utilizando el cálculo de construcciones inductivas como metateoría , y viceversa, asumiendo la existencia de cardinales infinitos inaccesibles . ^{[ 20 ]}

Ciertos objetos de la teoría de categorías, llamados topoi, también se han utilizado como base para los fundamentos de las matemáticas.

Véase también

Notas

↑ Véase Número racional § Etimología de esta terminología inusual: "razón" se deriva de "racional", que a su vez se deriva de "irracional".
↑ La traducción al inglés es de Gray. En una nota a pie de página, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891–1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886".^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

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Referencias

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Enlaces externos

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[2] Véase Número racional § Etimología de esta terminología inusual: "razón" se deriva de "racional", que a su vez se deriva de "irracional".

[12] La traducción al inglés es de Gray. En una nota a pie de página, Gray atribuye la cita alemana a: "Weber 1891–1892, 19, citando una conferencia de Kronecker de 1886".^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

[1] Joachim Lambek (2007), "Fundamentos de las matemáticas", Encyclopædia Britannica

[3] Los trece libros de los Elementos de Euclides, editados por Sir Thomas Heath . Vol. 2 (Libro V). Traducido por Heiberg. Nueva York: Dover Publications . 1956. págs. 124–126 . ISBN 0-486-60089-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[berkeley-4] El analista , un discurso dirigido a un matemático infiel

[Grabiner1983-5] Grabiner, Judith V. (1983), "¿Quién te dio el épsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso", American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194 , doi : 10.2307/2975545 , JSTOR 2975545 , recopilado en ¿Quién te dio el épsilon ?, ISBN 978-0-88385-569-0págs. 5–13. También disponible en: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf

[6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (octubre de 2005), "Los números reales: de Stevin a Hilbert" , Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews

[7] Laptev, BL y BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: Geometría , página 40, Birkhäuser ISBN 3-7643-5048-2

[8] Dedekind, Richard. ¿Qué son y qué deberían ser los números? Continuidad y números irracionales . Springer. ISBN 978-3-662-70059-4.

[9] Poincaré, Henri (1905) [1902]. "Sobre la naturaleza del razonamiento matemático" . La Science et l'hypothèse [ Ciencia e hipótesis ] . Traducido por Greenstreet, William John. VI.

[10] Gray, Jeremy (2008). El fantasma de Platón: La transformación modernista de las matemáticas . Princeton University Press. pág. 153. ISBN 978-1-4008-2904-0Archivado del original el 29 de marzo de 2017 – vía Google Books.

[11] Weber, Heinrich L. (1891–1892). "Kronecker" .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung[ Informe anual de la Asociación Alemana de Matemáticos ] . págs. 2:5–23. (La cita se encuentra en la pág. 19). Archivado del original el 9 de agosto de 2018;"acceso a Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung " . Archivado desde el original el 20 de agosto de 2017.

[ReferenceA-13] Hilbert 1927 Los fundamentos de las matemáticas en van Heijenoort 1967:475

[14] ág. 14 en Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 en Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Editado y con introducción en inglés de David E. Rowe ), Basilea, Birkhäuser (1992).

[15] Weyl 1927 Comentarios sobre la segunda conferencia de Hilbert sobre los fundamentos de las matemáticas en van Heijenoort 1967:484. Aunque Weyl, el intuicionista, creía que "la visión de Hilbert" acabaría prevaleciendo, esto supondría una pérdida significativa para la filosofía: " Veo en esto una derrota decisiva de la actitud filosófica de la fenomenología pura , que, por lo tanto, resulta insuficiente para la comprensión de la ciencia creativa incluso en el área de la cognición que es más primaria y más fácilmente accesible a la evidencia : las matemáticas" (ibid.).

[fey1-16] Richard Feynman, El placer de descubrir cosas, pág. 23

[weinberg-17] Steven Weinberg, capítulo Contra la filosofía , escrito en Sueños de una teoría final.

[18] Chaitin, Gregory (2006), "Los límites de la razón" (PDF) , Scientific American , 294 (3): 74–81 , Bibcode : 2006SciAm.294c..74C , doi : 10.1038/scientificamerican0306-74 , PMID 16502614 , archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 22 de febrero de 2016

[19] Andrej Bauer (2017), "Cinco etapas de aceptación de las matemáticas constructivas", Bull. Amer. Math. Soc. , 54 (3): 485, doi : 10.1090/bull/1556

[20] Rathjen, Michael; Sieg, Wilfried (21 de febrero de 2024). Zalta, Edward N .; Nodelman, Uri (eds.). "Teoría de la prueba", "Prueba de coherencia de Gentzen"" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 2 de febrero de 2025 .{{cite web}}: CS1 mantenimiento: estado de la URL ( enlace )

[21] Martin-Löf, Per (1998). Una teoría intuicionista de los tipos, Veinticinco años de teoría constructiva de tipos (Venecia, 1995) . Oxford Logic Guides. Vol. 36. Nueva York: Oxford University Press. pp. 127–172 .

[22] Werner, Benjamin (1997). Abadi, Martín; Ito, Takayasu (eds.). «Sets in types, types in sets» . Aspectos teóricos del software informático . Berlín, Heidelberg: Springer: 530–546 . doi : 10.1007/BFb0014566 . ISBN 978-3-540-69530-1.

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