Carcaj (matemáticas)

En matemáticas , especialmente en teoría de la representación , un carcaj es otro nombre para un multigrafo dirigido ; es decir, un grafo dirigido donde se permiten bucles y múltiples flechas entre dos vértices . Los carcajes se usan comúnmente en teoría de la representación: una representación V de un carcaj asigna un espacio vectorial V ( x ) a cada vértice x del carcaj y una aplicación lineal V ( a ) a cada flecha a .     

En teoría de categorías , un carcaj puede entenderse como la estructura subyacente de una categoría pequeña , pero sin composición ni designación de morfismos identidad. Es decir, hay un functor olvidadizo de Cat (la categoría de categorías pequeñas ) a Quiv (la categoría de multidigrafos). Su adjunto izquierdo es un functor libre que, a partir de un carcaj, crea la categoría libre correspondiente .

Un carcaj Γ consta de:

• El conjunto V de vértices de Γ
• El conjunto E de aristas de Γ
• Dos funciones :${\displaystyle s:E\to V}$que indica el inicio o la fuente del borde, y otra función ,${\displaystyle t:E\to V}$dando como objetivo el borde.

Esta definición es idéntica a la de un multigrafo que tiene aristas con identidad propia y distinta.

Un morfismo de carcajes es una aplicación de vértices a vértices que transforma aristas dirigidas en aristas dirigidas. Formalmente, si${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$y${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$son dos carcajes, luego un morfismo${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$de carcajes consta de dos funciones${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$y${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$de tal manera que los siguientes diagramas conmuten :

Eso es,

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

y

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

La definición anterior se basa en la teoría de conjuntos ; la definición de teoría de categorías generaliza esto en un functor del carcaj libre a la categoría de conjuntos .

El carcaj libre (también llamado carcaj andante , carcaj de Kronecker , carcaj de 2-Kronecker o categoría de Kronecker ) Q es una categoría con dos objetos y cuatro morfismos: Los objetos son V y E. Los cuatro morfismos son :${\displaystyle s:E\to V,}$⁠ ⁠${\displaystyle t:E\to V,}$y los morfismos identidad${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$y​​${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$⁠ Es decir, el carcaj libre es la categoría

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

Un carcaj es entonces un functor .${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} }$⁠ . (Es decir,${\displaystyle \Gamma }$especifica dos conjuntos${\displaystyle \Gamma (V)}$y${\displaystyle \Gamma (E)}$y dos funciones${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$; este es el alcance total de lo que significa ser un functor desde${\displaystyle Q}$a${\displaystyle \mathbf {Set} }$.)

En términos más generales, un carcaj en una categoría C es un functor .${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$ La categoría Quiv ( C ) de carcajes en C es la categoría de functores donde :

• Los objetos son functores .${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$⁠
• Los morfismos son transformaciones naturales entre functores.

Nótese que Quiv es la categoría de prehaces en la categoría opuesta Q ^op .

Si Γ es un carcaj, entonces un camino en Γ es una secuencia de flechas.

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

de tal manera que la cabeza de un _{i +1} es la cola de un _i para i = 1, …, n −1 , utilizando la convención de concatenar caminos de derecha a izquierda. Nótese que un camino en la teoría de grafos tiene una definición más estricta, y que este concepto coincide con lo que en la teoría de grafos se denomina un paseo .

Si K es un cuerpo, entonces el álgebra de carcaj o álgebra de caminos K Γ se define como un espacio vectorial que tiene como base todos los caminos (de longitud  ≥  0) en el carcaj (incluyendo, para cada vértice i del carcaj Γ , un camino trivial e _i de longitud 0; no se asume que estos caminos sean iguales para diferentes i ), y la multiplicación dada por la concatenación de caminos. Si dos caminos no se pueden concatenar porque el vértice final del primero no es igual al vértice inicial del segundo, su producto se define como cero. Esto define un álgebra asociativa sobre K. Esta álgebra tiene un elemento unidad si y solo si el carcaj tiene solo un número finito de vértices. En este caso, los módulos sobre K Γ se identifican naturalmente con las representaciones de Γ . Si el carcaj tiene infinitos vértices, entonces K Γ tiene una identidad aproximada dada por${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$donde F recorre subconjuntos finitos del conjunto de vértices de Γ .

Si el carcaj tiene un número finito de vértices y flechas, y el vértice final y el vértice inicial de cualquier camino son siempre distintos (es decir, Q no tiene ciclos orientados), entonces K Γ es un álgebra hereditaria de dimensión finita sobre K. Recíprocamente, si K es algebraicamente cerrado, entonces cualquier álgebra asociativa hereditaria de dimensión finita sobre K es Morita equivalente al álgebra de caminos de su carcaj Ext (es decir, tienen categorías de módulos equivalentes).

Una representación de un carcaj Q es una asociación de un R -módulo a cada vértice de Q , y un morfismo entre cada módulo para cada flecha.

Se dice que una representación V de un carcaj Q es trivial si${\displaystyle V(x)=0}$para todos los vértices x en Q. 

Un morfismo ,​${\displaystyle f:V\to V',}$⁠ entre representaciones del carcaj Q , es una colección de aplicaciones lineales ⁠${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$⁠ tal que para cada flecha a en Q de x a y ,${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$es decir, los cuadrados que f forma con las flechas de V y V' conmutan todos. Un morfismo, f , es un isomorfismo , si f ( x ) es invertible para todos los vértices x en el carcaj. Con estas definiciones, las representaciones de un carcaj forman una categoría .

Si V y W son representaciones de un carcaj Q , entonces la suma directa de estas representaciones,${\displaystyle V\oplus W,}$se define por${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$para todos los vértices x en Q y${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$es la suma directa de las aplicaciones lineales V ( a ) y W ( a ) . 

Se dice que una representación es descomponible si es isomorfa a la suma directa de representaciones no nulas.

También se puede dar una definición categórica de una representación de carcaj. El carcaj en sí puede considerarse una categoría, donde los vértices son objetos y los caminos son morfismos. Entonces, una representación de Q es simplemente un functor covariante de esta categoría a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita . Los morfismos de las representaciones de Q son precisamente transformaciones naturales entre los functores correspondientes.

Para un carcaj finito Γ (un carcaj con un número finito de vértices y aristas), sea K Γ su álgebra de caminos. Sea e _i el camino trivial en el vértice i . Entonces podemos asociar al vértice i el módulo proyectivo K Γ -módulo K Γ e _i que consiste en combinaciones lineales de caminos que tienen como vértice inicial i . Esto corresponde a la representación de Γ obtenida al colocar una copia de K en cada vértice que se encuentra en un camino que comienza en i y 0 en cada uno de los demás vértices. A cada arista que une dos copias de K le asociamos la aplicación identidad.   

Esta teoría fue relacionada con las álgebras de clúster por Derksen, Weyman y Zelevinsky. ^{[ 1 ]}

Para imponer la conmutatividad de algunos cuadrados dentro de un carcaj, una generalización es la noción de carcajes con relaciones (también llamados carcajes ligados). Una relación en un carcaj Q es una combinación lineal K de caminos desde Q. Un carcaj con relación es un par ( Q , I ) donde Q es un carcaj y${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$un ideal del álgebra de caminos. El cociente K Γ / I es el álgebra de caminos de ( Q , I ) .

Un carcaj es de tipo finito si solo tiene un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indescomponibles . Gabriel (1972) clasificó todos los carcajes de tipo finito, así como sus representaciones indescomponibles. Más precisamente, el teorema de Gabriel establece que:

1. Un carcaj (conectado) es de tipo finito si y solo si su grafo subyacente (cuando se ignoran las direcciones de las flechas) es uno de los diagramas de Dynkin ADE : A _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ .
2. Las representaciones indescomponibles están en correspondencia biunívoca con las raíces positivas del sistema de raíces del diagrama de Dynkin.

Dlab y Ringel (1973) hallaron una generalización del teorema de Gabriel que incluye todos los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. Victor Kac generalizó esta generalización a todos los carcajes y sus correspondientes álgebras de Kac-Moody .

• Clasificación ADE
• Categoría de adhesivos
• Teoría del ensamblaje
• álgebra de grafos
• Anillo de grupo
• Álgebra de incidencia
• Diagrama del carcaj
• Semiinvariante de un carcaj
• Variedad tórica
• Geometría algebraica no conmutativa derivada : los carcajes ayudan a codificar los datos de los esquemas no conmutativos derivados.

• Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (febrero de 2005), "Representaciones de carcaj" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 52 (2)
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), Sobre álgebras de tipo de representación finita , Apuntes de clase de matemáticas de Carleton, vol.  2, Departamento de Matemáticas, Universidad de Carleton, Ottawa, Ontario, MR 0347907 
• Crawley-Boevey, William (1992), Notas sobre representaciones de carcaj (PDF) , Universidad de Oxford , archivado del original (PDF) el 24/07/2011 , consultado el 17/02/2007.
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71– 103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887  .
• Victor Kac, «Sistemas de raíces, representaciones de carcajes y teoría de invariantes» . Teoría de invariantes (Montecatini, 1982) , págs. 74-108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlín, 1983. ISBN 3-540-12319-9^{[ 1 ]}
• King, Alastair (1994), "Módulos de representaciones de álgebras de dimensión finita", Quart. J. Math. , 45 (180): 515– 530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], "Álgebras y carcajes de dimensión finita", en Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (eds.), Enciclopedia de Física Matemática , vol.  2, Elsevier, pp. 313–320 , arXiv : math/0505082 , Bibcode : 2005math......5082S 
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elementos de la teoría de la representación de álgebras asociativas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA, "Funtores de Coxeter y el teorema de Gabriel" (en ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), n.º 2(170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein .
• Quiver en el laboratorio n