Grupo libre

En matemáticas , el grupo libre${\displaystyle F_{S}}$sobre un conjunto dado${\displaystyle S}$consta de todas las palabras que se pueden construir a partir de miembros de${\displaystyle S}$, considerando que dos palabras son diferentes a menos que su igualdad se derive de los axiomas del grupo (por ejemplo,${\displaystyle st=suu^{-1}t}$pero${\displaystyle s\neq t^{-1}}$para${\displaystyle s,t,u\in S}$). Los miembros de${\displaystyle S}$se llaman generadores de${\displaystyle F_{S}}$y el número de generadores es el rango del grupo libre. Un grupo arbitrario${\displaystyle G}$se llama libre si es isomorfo a${\displaystyle F_{S}}$para algún subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle G}$, es decir, si existe un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle G}$de tal manera que cada elemento de${\displaystyle G}$puede escribirse exactamente de una manera como producto de un número finito de elementos de${\displaystyle S}$y sus inversas (sin tener en cuenta variaciones triviales como${\displaystyle st=suu^{-1}t}$).

Un concepto relacionado pero diferente es el de grupo abeliano libre ; ambos conceptos son casos particulares de un objeto libre del álgebra universal . Como tales, los grupos libres se definen por su propiedad universal .

Los grupos libres surgieron por primera vez en el estudio de la geometría hiperbólica , como ejemplos de grupos fuchsianos (grupos discretos que actúan mediante isometrías en el plano hiperbólico ). En un artículo de 1882, Walther von Dyck señaló que estos grupos tienen las presentaciones más simples posibles . ^{[ 1 ]} El estudio algebraico de los grupos libres fue iniciado por Jakob Nielsen en 1924, quien les dio su nombre y estableció muchas de sus propiedades básicas. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Max Dehn se dio cuenta de la conexión con la topología y obtuvo la primera demostración del teorema completo de Nielsen-Schreier . ^{[ 5 ]} Otto Schreier publicó una demostración algebraica de este resultado en 1927, ^{[ 6 ]} y Kurt Reidemeister incluyó un tratamiento exhaustivo de los grupos libres en su libro de 1932 sobre topología combinatoria . ^{[ 7 ]} Más adelante, en la década de 1930, Wilhelm Magnus descubrió la conexión entre la serie central inferior de grupos libres y las álgebras de Lie libres .

El grupo${\displaystyle (\mathbb {Z},+)}$de enteros es libre de rango 1; un conjunto generador es${\displaystyle S=\{1\}}$. Los enteros también son un grupo abeliano libre , aunque todos los grupos libres de rango${\displaystyle \geq 2}$no son abelianos. Un grupo libre sobre un conjunto de dos elementos${\displaystyle S}$Aparece en la demostración de la paradoja de Banach-Tarski y se describe allí.

Por otro lado, ningún grupo finito no trivial puede ser libre, ya que los elementos de un conjunto generador libre de un grupo libre tienen orden infinito.

En topología algebraica , el grupo fundamental de un conjunto de k círculos (un conjunto de k bucles que tienen un solo punto en común) es el grupo libre sobre un conjunto de k elementos.

El grupo libre${\displaystyle F_{S}}$con generador gratuito${\displaystyle S}$se puede construir de la siguiente manera. ${\displaystyle S}$es un conjunto de símbolos, y suponemos que para cada${\displaystyle s}$en${\displaystyle S}$existe un símbolo "inverso" correspondiente,${\displaystyle s^{-1}}$, en un conjunto${\displaystyle S^{-1}}$. Dejar${\displaystyle T=S\cup S^{-1}}$y definir una palabra en${\displaystyle S}$ser cualquier producto escrito de elementos de${\displaystyle T}$. Es decir, una palabra en${\displaystyle S}$es un elemento del monoide generado por${\displaystyle T}$. La palabra vacía es la palabra sin ningún símbolo. Por ejemplo, si${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$, entonces${\displaystyle T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}}$, y $${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\,}$$ es una palabra en${\displaystyle F_{S}}$.

Si un elemento de${\displaystyle S}$se encuentra inmediatamente al lado de su inverso, la palabra puede simplificarse omitiendo el${\displaystyle c,c^{-1}}$par: $${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.}$$ Una palabra que no se puede simplificar más se llama reducida .

El grupo libre${\displaystyle F_{S}}$se define como el grupo de todas las palabras reducidas en${\displaystyle S}$, con la concatenación de palabras (seguida de la reducción si es necesario) como operación de grupo. La identidad es la palabra vacía.

Una palabra reducida se denomina reducida cíclicamente si su primera y última letra no son inversas entre sí. Toda palabra es conjugada a una palabra reducida cíclicamente, y una conjugada reducida cíclicamente de una palabra reducida cíclicamente es una permutación cíclica de las letras de la palabra. Por ejemplo${\displaystyle b^{-1}abcb}$no se reduce cíclicamente, sino que es conjugado con${\displaystyle abc}$, que se reduce cíclicamente. Los únicos conjugados reducidos cíclicamente de${\displaystyle abc}$son${\displaystyle abc}$,${\displaystyle bca}$, y${\displaystyle cabina}$.

El grupo libre${\displaystyle F_{S}}$es el grupo universal generado por el conjunto${\displaystyle S}$Esto se puede formalizar mediante la siguiente propiedad universal : dada cualquier función${\displaystyle f}$de${\displaystyle S}$a un grupo${\displaystyle G}$, existe un homomorfismo único${\displaystyle \varphi :F_{S}\to G}$haciendo que el siguiente diagrama conmute (donde el mapeo sin nombre denota la inclusión de${\displaystyle S}$en${\displaystyle F_{S}}$):

Es decir, homomorfismos${\displaystyle F_{S}\to G}$están en correspondencia uno a uno con funciones${\displaystyle S\to G}$Para un grupo no libre, la presencia de relaciones restringiría las posibles imágenes de los generadores bajo un homomorfismo.

Para ver cómo se relaciona esto con la definición constructiva, piense en el mapeo desde${\displaystyle S}$a${\displaystyle F_{S}}$como enviar cada símbolo a una palabra que consta de ese símbolo. Para construir${\displaystyle \varphi }$para lo dado${\displaystyle f}$, primero tenga en cuenta que${\displaystyle \varphi }$envía la palabra vacía a la identidad de${\displaystyle G}$y tiene que estar de acuerdo con${\displaystyle f}$sobre los elementos de${\displaystyle S}$. Para las palabras restantes (que constan de más de un símbolo),${\displaystyle \varphi }$puede extenderse de forma única, puesto que es un homomorfismo, es decir,${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$.

La propiedad anterior caracteriza a los grupos libres salvo isomorfismo y, a veces, se utiliza como definición alternativa. Se conoce como la propiedad universal de los grupos libres y el conjunto generador.${\displaystyle S}$se denomina base para${\displaystyle F_{S}}$La base para un grupo libre no está determinada de forma unívoca.

En álgebra universal , la característica estándar de los objetos libres es estar caracterizados por una propiedad universal . En el lenguaje de la teoría de categorías , la construcción del grupo libre (similar a la mayoría de las construcciones de objetos libres) es un functor de la categoría de conjuntos a la categoría de grupos . Este functor es adjunto izquierdo del functor de olvido de grupos a conjuntos.

Algunas propiedades de los grupos libres se derivan fácilmente de la definición:

1. Cualquier grupo${\displaystyle G}$es la imagen homomórfica de algún grupo libre${\displaystyle F_{S}}$. Dejar${\displaystyle S}$ser un conjunto de generadores de${\displaystyle G}$El mapa natural${\displaystyle \varphi }$:${\displaystyle F_{S}\to G}$es un epimorfismo , lo que prueba la afirmación. Equivalentemente,${\displaystyle G}$es isomorfo a un grupo cociente de algún grupo libre${\displaystyle F_{S}}$. Si${\displaystyle S}$se puede elegir que sea finito aquí, entonces${\displaystyle G}$se denomina finitamente generado . El núcleo${\displaystyle \ker \varphi }$es el conjunto de todas las relaciones en la presentación de${\displaystyle G}$; si${\displaystyle \ker \varphi }$puede ser generado por los conjugados de un número finito de elementos de${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle G}$se presenta de forma finita.
2. Si${\displaystyle S}$tiene más de un elemento, entonces${\displaystyle F_{S}}$no es abeliano y, de hecho, el centro de${\displaystyle F_{S}}$es trivial (es decir, consta únicamente del elemento identidad).
3. Dos grupos libres${\displaystyle F_{S}}$y${\displaystyle F_{T}}$son isomorfos si y solo si${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$tienen la misma cardinalidad . Esta cardinalidad se llama rango del grupo libre.${\displaystyle F}$. Por lo tanto, para cada número cardinal k , existe, salvo isomorfismo, exactamente un grupo libre de rango k .
4. Un grupo libre de rango finito n > 1 tiene una tasa de crecimiento exponencial de orden 2 n − 1.

Otros resultados relacionados son:

1. El teorema de Nielsen-Schreier : Todo subgrupo de un grupo libre es libre. Además, si el grupo libre${\displaystyle F}$tiene rango n y el subgrupo${\displaystyle H}$tiene índice e en${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle H}$está libre de rango 1 + e ( n– 1).
2. Un grupo libre de rango k tiene claramente subgrupos de todos los rangos menores que k . Menos obvio es que un grupo libre ( ¡no abeliano! ) de rango al menos 2 tiene subgrupos de todos los rangos contables .
3. El subgrupo conmutador de un grupo libre de rango k > 1 tiene rango infinito; por ejemplo, para${\displaystyle F(a,b)}$, es generado libremente por los conmutadores${\displaystyle [a^{m},b^{n}]}$para m y n distintos de cero .
4. El grupo libre en dos elementos es SQ universal ; lo anterior se deduce ya que cualquier grupo SQ universal tiene subgrupos de todos los rangos contables.
5. Cualquier grupo que actúa sobre un árbol, libremente y preservando la orientación , es un grupo libre de rango contable (dado por 1 más la característica de Euler del grafo cociente ).
6. El grafo de Cayley de un grupo libre de rango finito, con respecto a un conjunto generador libre, es un árbol sobre el cual el grupo actúa libremente, preservando la orientación. Como espacio topológico (un complejo simplicial unidimensional ), este grafo de Cayley${\displaystyle \Gamma (F)}$es contraíble . Para un grupo finitamente presentado${\displaystyle G}$, el homomorfismo natural definido anteriormente,${\displaystyle \varphi :F\a G}$define un mapa de cobertura de grafos de Cayley${\displaystyle \varphi ^{*}:\Gamma (F)\to \Gamma (G)}$, de hecho, una cobertura universal. Por lo tanto, el grupo fundamental del grafo de Cayley.${\displaystyle \Gamma (G)}$es isomorfo al núcleo de${\displaystyle \varphi }$, el subgrupo normal de relaciones entre los generadores de${\displaystyle G}$. El caso extremo es cuando${\displaystyle G=\{e\}}$, el grupo trivial, considerado con tantos generadores como${\displaystyle F}$, todos ellos triviales; el gráfico de Cayley${\displaystyle \Gamma (G)}$es un conjunto de círculos, y su grupo fundamental es${\displaystyle F}$sí mismo.
7. Cualquier subgrupo de un grupo libre,${\displaystyle H\subset F}$, corresponde a un espacio de recubrimiento del ramo de círculos, es decir, al grafo de clases laterales de Schreier de${\displaystyle F/H}$Esto puede utilizarse para dar una demostración topológica del teorema de Nielsen-Schreier mencionado anteriormente.
8. El enfoque de grupoide para estos resultados, presentado en el trabajo de PJ Higgins (que se cita más adelante), está relacionado con el uso de espacios de recubrimiento descrito anteriormente. Permite obtener resultados más potentes, por ejemplo, sobre el teorema de Grushko , y una forma normal para el grupoide fundamental de un grafo de grupos. En este enfoque se hace un uso considerable de grupoides libres en un grafo dirigido.
9. El teorema de Grushko tiene como consecuencia que si un subconjunto${\displaystyle B}$de un grupo libre${\displaystyle F}$en n elementos genera${\displaystyle F}$y tiene n elementos, entonces${\displaystyle B}$genera${\displaystyle F}$con libertad.

El grupo abeliano libre en un conjunto${\displaystyle S}$se define mediante su propiedad universal de forma análoga, con modificaciones obvias: Consideremos un par${\displaystyle (F,\varphi )}$, dónde${\displaystyle F}$es un grupo abeliano y${\displaystyle \varphi :S\to F}$es una función.${\displaystyle F}$Se dice que es el grupo abeliano libre en${\displaystyle S}$con respecto a${\displaystyle \varphi }$si para cualquier grupo abeliano${\displaystyle G}$y cualquier función${\displaystyle \psi :S\to G}$, existe un homomorfismo único${\displaystyle f:F\to G}$de tal manera que $${\displaystyle f(\varphi (s))=\psi (s),\ \forall s\in S.}$$

El grupo abeliano libre en${\displaystyle S}$puede ser identificado explícitamente como el grupo libre${\displaystyle F(S)}$módulo el subgrupo generado por sus conmutadores,${\displaystyle [F(S),F(S)]}$, es decir, su abelianización . En otras palabras, el grupo abeliano libre en${\displaystyle S}$es el conjunto de palabras que se distinguen únicamente por el orden de las letras. Por lo tanto, el rango de un grupo libre también puede definirse como el rango de su abelianización como grupo abeliano libre.

Hacia 1945, Alfred Tarski preguntó si los grupos libres con dos o más generadores tienen la misma teoría de primer orden y si esta teoría es decidible . Sela (2006) respondió a la primera pregunta demostrando que cualesquiera dos grupos libres no abelianos tienen la misma teoría de primer orden, y Kharlampovich y Myasnikov (2006) respondieron a ambas preguntas, demostrando que esta teoría es decidible.

Una cuestión similar sin resolver (a fecha de 2011) en la teoría de la probabilidad libre plantea si las álgebras de grupo de von Neumann de dos grupos libres finitamente generados no abelianos cualesquiera son isomorfas.

• Generando un conjunto de un grupo
• Presentación de un grupo
• Transformación de Nielsen , una factorización de elementos del grupo de automorfismos de un grupo libre.
• Forma normal para grupos libres y producto libre de grupos.
• Producto gratuito

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2006). "Teoría elemental de grupos no abelianos libres" . Journal of Algebra . 302 (2): 451– 552. doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 . MR 2293770 . 
• W. Magnus, A. Karrass y D. Solitar, "Teoría combinatoria de grupos", Dover (1976).
• PJ Higgins, 1971, "Categorías y grupoides", van Nostrand, {Nueva York}. Reimpresiones en Theory and Applications of Categories, 7 (2005) pp 1–195.
• Sela, Zlil (2006). "Geometría diofántica sobre grupos. VI. La teoría elemental de un grupo libre". Geom. Funct. Anal . 16 (3): 707– 730. doi : 10.1007/s00039-006-0565-8 . MR 2238945 . S2CID 123197664 .  
• Serre, Jean-Pierre , Trees , Springer (2003) (traducción al inglés de "arbres, amalgames, SL ₂ ", 3.ª edición, astérisque 46 (1983))
• PJ Higgins, El grupoide fundamental de un grafo de grupos , Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), n.º 1, 145–149.
• Aluffi, Paolo (2009). Álgebra: Capítulo 0. Librería AMS. pág.  70. ISBN 978-0-8218-4781-7..
• Grillet, Pierre Antoine (2007). Álgebra abstracta . Saltador. pag.  27.ISBN​ 978-0-387-71567-4..