grupo de Frobenius

En matemáticas , un grupo de Frobenius es un grupo de permutaciones transitivo sobre un conjunto finito , tal que ningún elemento no trivial fija más de un punto y algún elemento no trivial fija un punto. Reciben su nombre de FG Frobenius .

Supongamos que G es un grupo de Frobenius formado por permutaciones de un conjunto X. Un subgrupo H de G que fija un punto de X se denomina complemento de Frobenius . El elemento identidad, junto con todos los elementos que no pertenecen a ningún conjugado de H, forman un subgrupo normal llamado núcleo de Frobenius K. (Este es un teorema de Frobenius (1901) ; aún no existe una demostración de este teorema que no utilice la teoría de caracteres , aunque véase ^{[ 1 ]} ). El grupo de Frobenius G es el producto semidirecto de K y H :

${\displaystyle G=K\rtimes H}$.

Tanto el núcleo de Frobenius como el complemento de Frobenius tienen estructuras muy restringidas. JG Thompson ( 1960 ) demostró que el núcleo de Frobenius K es un grupo nilpotente . Si H tiene orden par, entonces K es abeliano. El complemento de Frobenius H tiene la propiedad de que todo subgrupo cuyo orden es el producto de 2 primos es cíclico; esto implica que sus subgrupos de Sylow son cíclicos o grupos de cuaterniones generalizados . Cualquier grupo tal que todos los subgrupos de Sylow sean cíclicos se denomina grupo Z , y en particular debe ser un grupo metacíclico : esto significa que es la extensión de dos grupos cíclicos. Si un complemento de Frobenius H no es resoluble, Zassenhaus demostró que tiene un subgrupo normal de índice 1 o 2 que es el producto de SL(2,5) y un grupo metacíclico de orden coprimo a 30. En particular, si un complemento de Frobenius coincide con su subgrupo derivado, entonces es isomorfo con SL(2,5). Si un complemento de Frobenius H es resoluble, entonces posee un subgrupo metacíclico normal tal que su cociente es un subgrupo del grupo simétrico de 4 puntos. Un grupo finito es un complemento de Frobenius si y solo si posee una representación fiel de dimensión finita sobre un cuerpo finito en la que los elementos del grupo que no son la identidad corresponden a transformaciones lineales sin puntos fijos distintos de cero. 

El núcleo de Frobenius K está determinado unívocamente por G , ya que es el subgrupo Fitting , y el complemento de Frobenius está determinado unívocamente salvo conjugación por el teorema de Schur-Zassenhaus . En particular, un grupo finito G es un grupo de Frobenius de, como máximo, una manera.

• El ejemplo más pequeño es el grupo simétrico de 3 puntos, con 6 elementos. El núcleo de Frobenius K tiene orden 3, y su complemento H tiene orden 2.
• Para cada cuerpo finito F _q con q ( > 2) elementos, el grupo de transformaciones afines invertibles${\displaystyle x\mapsto ax+b}$,${\displaystyle a\neq 0}$F _q, que actúa de forma natural, es un grupo de Frobenius. El ejemplo anterior corresponde al caso F ₃ , el cuerpo con tres elementos.
• Otro ejemplo lo proporciona el subgrupo de orden 21 del grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ fijando un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, que satisface στ = τ ² σ. Al identificar F ₈ ^× con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ( x ) = x ² de F ₈ y τ a ser la multiplicación por cualquier elemento distinto de 0 o 1 (es decir, un generador del grupo multiplicativo cíclico de F ₈ ). Este grupo de Frobenius actúa simplemente de forma transitiva sobre las 21 banderas en el plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados.
• El grupo diedral de orden 2n con n impar es un grupo de Frobenius con complemento de orden 2. De forma más general, si K es cualquier grupo abeliano de orden impar y H tiene orden 2 y actúa sobre K por inversión, entonces el producto semidirecto K·H es un grupo de Frobenius.
• Se pueden generar muchos más ejemplos mediante las siguientes construcciones. Si reemplazamos el complemento de Frobenius de un grupo de Frobenius por un subgrupo no trivial, obtenemos otro grupo de Frobenius. Si tenemos dos grupos de Frobenius K ₁ . H y K ₂ . H , entonces ( K ₁ × K ₂ ). H también es un grupo de Frobenius.  
• Si K es el grupo no abeliano de orden 7 ³ con exponente 7, y H es el grupo cíclico de orden 3, entonces existe un grupo de Frobenius G que es una extensión KH de H por K. Esto proporciona un ejemplo de un grupo de Frobenius con núcleo no abeliano. Este fue el primer ejemplo de un grupo de Frobenius con núcleo no abeliano (fue construido por Otto Schmidt).
• Si H es el grupo SL ₂ ( F ₅ ) de orden 120, actúa como punto fijo libre en un espacio vectorial bidimensional K sobre el cuerpo con 11 elementos. La extensión KH es el ejemplo más pequeño de un grupo de Frobenius no resoluble .
• El subgrupo de un grupo de Zassenhaus que fija un punto es un grupo de Frobenius.
• Ito construyó grupos de Frobenius cuyo subgrupo Fitting tiene una clase de nilpotencia arbitrariamente grande: Sea q una potencia prima, d un entero positivo y p un divisor primo de q − 1 con d ≤ p . Fijemos un cuerpo F de orden q y un elemento z de este cuerpo de orden p . El complemento de Frobenius H es el subgrupo cíclico generado por la matriz diagonal cuya entrada i,i' es z ⁱ . El núcleo de Frobenius K es el subgrupo q de Sylow de GL( d , q ) que consiste en matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. El núcleo K tiene una clase de nilpotencia d − 1, y el producto semidirecto KH es un grupo de Frobenius.

Las representaciones complejas irreducibles de un grupo de Frobenius G se pueden leer a partir de las de H y K. Hay dos tipos de representaciones irreducibles de G :

• Cualquier representación irreducible R de H da una representación irreducible de G usando la aplicación cociente de G a H. Estas dan las representaciones irreducibles de G con K en su núcleo.
• Si S es cualquier representación irreducible no trivial de K , entonces la representación inducida correspondiente de G también es irreducible. Estas dan las representaciones irreducibles de G con K fuera de su núcleo.

Existen varias propiedades de la teoría de grupos que son interesantes por sí mismas, pero que resultan ser equivalentes a que el grupo posea una representación de permutación que lo convierte en un grupo de Frobenius.

• G es un grupo de Frobenius si y solo si G tiene un subgrupo propio no identidad H tal que H ∩ H ^g es el subgrupo identidad para cada g ∈ G − H , es decir , H es un subgrupo malnormal de G .

Esta definición se generaliza luego al estudio de conjuntos de intersección triviales, lo que permitió extender los resultados sobre grupos de Frobenius utilizados en la clasificación de grupos CA a los resultados sobre grupos CN y, finalmente, al teorema del orden impar .

Suponiendo que${\displaystyle G=K\rtimes H}$Si G es el producto semidirecto del subgrupo normal K y su complemento H , entonces las siguientes restricciones sobre los centralizadores son equivalentes a que G sea un grupo de Frobenius con complemento de Frobenius H :

• El centralizador C _G ( k ) es un subgrupo de K para cada k no identidad en K .
• C _H ( k ) = 1 para cada k distinto de la identidad en K .
• C _G ( h ) ≤ H para cada h no identidad en H.