Cuadrilátero bicéntrico

El área K de un cuadrilátero bicéntrico puede expresarse en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias maneras diferentes. Si los lados son a, b, c, d , entonces el área viene dada por ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangente . Nótese que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}.}$^{[ 12 ]} Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulono cuadrado.

El área también puede expresarse en términos de las longitudes de las tangentes e, f, g, h como ^{[ 8 ] : p.128}

${\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}$

Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es ^{[ 9 ].}

${\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}$

Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas tangentes k, l y diagonales p, q , entonces tiene un área ^{[ 8 ] : p.129}

${\displaystyle K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.}$

Si k, l son las cuerdas tangentes y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula ^{[ 9 ].}

${\displaystyle K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl}$

Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es un cometa rectángulo , ya que en ese caso el denominador es cero.

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las prolongaciones de los lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico viene dada por

${\displaystyle K={\frac {2{\overline {MN}}\cdot {\overline {EI}}\cdot {\overline {FI}}}{\overline {EF}}}}$

donde I es el centro del círculo interior. ^{[ 9 ]}

El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según ^{[ 9 ].}

${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.}$

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo inscrito, el área viene dada por ^{[ 9 ].}

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).}$

El área se da en términos del radio circunscrito R y el radio inscrito r como

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }$

donde θ es cualquiera de los ángulos entre las diagonales. ^{[ 13 ]}

Si M y N son los puntos medios de las diagonales, y E y F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como

${\displaystyle K=2{\overline {MN}}{\sqrt {{\overline {EQ}}\cdot {\overline {FQ}}}}}$

donde Q es el pie de la perpendicular a la línea EF que pasa por el centro del círculo inscrito. ^{[ 9 ]}

Si r y R son el radio inscrito y el radio circunscrito respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades ^{[ 14 ].}

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.}$

Existe igualdad en ambos lados solo si el cuadrilátero es un cuadrado .

Otra desigualdad para el área es ^{[ 15 ] : p.39, #1203}

$${\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$$

donde r y R son el radio inscrito y el radio circunscrito respectivamente.

Una desigualdad similar que proporciona un límite superior más preciso para el área que el anterior es ^{[ 13 ].}

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})}$

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un cometa recto .

Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s :

${\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[ 15 ] : pág. 39,n.° 1203}

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};}$^{[ 15 ] : pág. 39,n.° 1203}

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).}$^{[ 15 ] : pág. 39,n.° 1203}

El radio circunscrito R y el radio inscrito r satisfacen la desigualdad

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$

que fue demostrado por L. Fejes Tóth en 1948. ^{[ 19 ]} Se cumple con igualdad solo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede demostrar de varias maneras diferentes, una de ellas utilizando la doble desigualdad para el área mencionada anteriormente.

Una extensión de la desigualdad anterior es ^{[ 2 ] [ 21 ] : pág. 141}

${\displaystyle {\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}$

donde hay igualdad en ambos lados si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado . ^{[ 16 ] : pág. 81}

El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface ^{[ 19 ] : p.13}

${\displaystyle {\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}$

donde r y R son el radio inscrito y el radio circunscrito respectivamente.

Además, ^{[ 15 ] : pág. 39, n.° 1203}

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}$

y

${\displaystyle abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).}$^{[ 15 ] : pág. 62,n.° 1599}

El teorema de Fuss da una relación entre el radio de la circunferencia inscrita r , el radio de la circunferencia circunscrita R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es ^{[ 1 ] [ 11 ] [ 22 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

o equivalentemente

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.}$

Fue derivada por Nicolaus Fuss (1755–1826) en 1792. Al resolver para x se obtiene

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}$

El teorema de Fuss, que es el análogo del teorema de Euler para triángulos en el caso de cuadriláteros bicéntricos, establece que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados según las ecuaciones anteriores. De hecho, también se cumple lo contrario: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro ^{[ 23 ]} (y, por el teorema de cierre de Poncelet , existen infinitos de ellos).

Aplicar${\displaystyle x^{2}\geq 0}$La expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R es otra forma de obtener la desigualdad mencionada anteriormente.${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r.}$Una generalización es ^{[ 19 ] : p.5}

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Otra fórmula para la distancia x entre los centros del círculo inscrito y el círculo circunscrito se debe al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907–1999). Esta fórmula establece que ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

donde r y R son el radio inscrito y el radio circunscrito respectivamente, y

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}$

donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.

Para las longitudes tangentes e, f, g, h se cumplen las siguientes desigualdades: ^{[ 19 ] : p.3}

${\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

donde r es el radio de la circunferencia inscrita, R es el radio de la circunferencia circunscrita y x es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a, b, c, d satisfacen las desigualdades ^{[ 19 ] : p.5}

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}$

y

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}$