Hipótesis generalizada de Riemann

La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas . Se trata de una afirmación sobre los ceros de la función zeta de Riemann . Diversos objetos geométricos y aritméticos pueden describirse mediante las llamadas funciones L globales , que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. A partir de esto, se puede plantear la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones L , lo que da lugar a diversas generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones son ciertas. Los únicos casos de estas conjeturas que se han demostrado se dan en el caso de los cuerpos de funciones algebraicas (no en el de los cuerpos numéricos).

Las funciones L globales pueden asociarse a curvas elípticas , cuerpos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind ), formas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones L de Dirichlet ). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para las funciones zeta de Dedekind, se conoce como hipótesis de Riemann extendida (HRE), y cuando se formula para las funciones L de Dirichlet , se conoce como hipótesis de Riemann generalizada (HRG). Otro enfoque para la generalización de la hipótesis de Riemann fue propuesto por Atle Selberg , quien introdujo una clase de funciones que satisfacen ciertas propiedades en lugar de funciones específicas, conocida actualmente como clase de Selberg. Estas tres afirmaciones se analizarán con mayor detalle más adelante. (Muchos matemáticos utilizan la denominación de hipótesis de Riemann generalizada para referirse a la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales, no solo al caso particular de las funciones L de Dirichlet ).

Hipótesis generalizada de Riemann (HGR)

La hipótesis de Riemann generalizada afirma que todos los ceros no triviales de la función L de Dirichlet ${\textstyle L(\chi ,s)}$ para el carácter primitivo de Dirichlet $\chi$ tener una parte real ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ .

La hipótesis generalizada de Riemann para las funciones L de Dirichlet probablemente fue formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884. ^{[ 1 ]} Es importante asumir la primitividad del carácter, ya que para caracteres no primitivos, las funciones L tienen infinitos ceros fuera de esta línea y no satisfacen la ecuación funcional que se utiliza para distinguir entre ceros triviales y no triviales. ^{[ 2 ]}

Fondo

Un personaje de Dirichlet ${\textstyle \chi$ de módulo q es una función aritmética que es:

completamente multiplicativo : ${\textstyle \chi (a\cdot b)=\chi (a)\cdot \chi (b)}$
periódico: ${\estilo de texto \chi (n+q)=\chi (n)}$
${\textstyle \chi (n)=0}$ si y solo si ${\textstyle \gcd(n,q)>1}$ .

Para tal personaje ${\textstyle \chi }$ , definimos la función L de Dirichlet correspondiente de la siguiente manera:

L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}

Para todo número complejo s tal que Re s > 1 esta serie es absolutamente convergente. Mediante continuación analítica , esta función puede extenderse a una función meromorfa en el plano complejo que tiene solo un posible polo en ${\textstyle s=1}$ , cuando el carácter es principal (tiene solo 1 como valor para números coprimos con k ). Para caracteres no principales, la serie es condicionalmente convergente para ${\textstyle \operatorname {Re} (s)>0}$ y la continuación analítica es una función completa .

Decimos que el carácter de Dirichlet ${\textstyle \chi }$ es inprimitivo si es inducido por otro carácter de Dirichlet. ${\textstyle \chi ^{\star }}$ de módulo menor:

\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}

De lo contrario, decimos que el carácter es primitivo . Generalmente, la mayoría de las afirmaciones para las funciones L de Dirichlet son más fáciles de expresar para versiones con caracteres primitivos. Usando productos de Euler de funciones L de Dirichlet, podemos expresar la función L de un carácter imprimitivo. ${\textstyle \chi }$ como función del carácter ${\textstyle \chi ^{\star }}$ que lo induce:

L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)

A partir de los factores de esta ecuación, tenemos infinitos ceros en la línea. ${\textstyle \operatorname {Re} (s)=0}$ . Para el carácter primitivo de Dirichlet, la función L satisface una cierta ecuación funcional que nos permite definir ceros triviales de ${\textstyle L(s,\chi )}$ como ceros que corresponden a los polos de la función gamma en esta ecuación:

Si ${\textstyle \chi (-1)=1}$ , entonces todos los ceros triviales son ceros simples en números pares negativos. Si ${\textstyle L(s,\chi )\neq \zeta (s)}$ También incluye 0.
Si ${\textstyle \chi (-1)=-1}$ entonces todos los ceros triviales son ceros simples en números impares negativos.

Cualquier otro cero se denomina cero no trivial . La ecuación funcional garantiza que los ceros no triviales se encuentren en la banda crítica. ${\textstyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ y son simétricas con respecto a la línea crítica ${\textstyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$ La hipótesis generalizada de Riemann afirma que todos los ceros no triviales se encuentran exactamente sobre esta línea.

Consecuencias de GRH

Al igual que la hipótesis original de Riemann, la hipótesis generalizada de Riemann tiene consecuencias de gran alcance sobre la distribución de los números primos :

Tomando el carácter trivial ${\textstyle \chi (n)=1}$ da como resultado la hipótesis de Riemann ordinaria.
Versión más efectiva del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas : Sea ${\textstyle \pi (x,a,d)}$ donde a y d son coprimos y denotan el número de números primos en progresión aritmética. ${\textstyle n\cdot d+a}$ que son menores o iguales a x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces para cada ε > 0 :

\pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,

dónde

\varphi

es la función totiente de Euler y

O

es la notación Big O. Esto supone un fortalecimiento considerable del teorema de los números primos .

Todo subgrupo propio del grupo multiplicativo ${\textstyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\textstyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ tiene un conjunto de generadores menos de ${\textstyle 2\ln(n)^{2}}$ ${\textstyle 2\ln(n)^{2}}$ En otras palabras, cada subgrupo del grupo multiplicativo omite un número menor que ${\textstyle 2\ln(n)^{2}}$ ${\textstyle 2\ln(n)^{2}}$ , así como un número coprimo con $n$ $n$ menos que ${\textstyle 3\ln(n)^{2}}$ ${\textstyle 3\ln(n)^{2}}$ . ^{[ 3 ]} Esto tiene muchas consecuencias en la teoría computacional de números :
- En 1976, G. Miller demostró que la prueba de Miller-Rabin se ejecuta en tiempo polinomial. En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron incondicionalmente que la prueba de primalidad AKS se ejecuta en tiempo polinomial.
- El algoritmo de Shanks-Tonelli tiene garantizado un tiempo polinomial.
- El algoritmo determinista de Ivanyos-Karpinski-Saxena ^{[ 4 ]} para factorizar polinomios sobre cuerpos finitos con grados primos constantes y suaves está garantizado para ejecutarse en tiempo polinomial.
Para cada primo p existe una raíz primitiva módulo p (un generador del grupo multiplicativo de enteros módulo p ) que es menor que $O((\ln p)^{6}).$ ^{[ 5 ]}
La estimación de la suma de caracteres en la desigualdad de Pólya-Vinogradov se puede mejorar a ${\textstyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$ , donde q es el módulo del carácter.
En 1913, Grönwall demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de Gauss de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 es completa, aunque Baker, Stark y Heegner posteriormente dieron pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis generalizada de Riemann.
En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev que $\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,$ que afirma que los números primos 3 mod 4 son más comunes que los primos 1 mod 4 en cierto sentido. (Para resultados relacionados, véase el Teorema de los números primos § Carrera de números primos ).
En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach para números impares suficientemente grandes. En 1997 , Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que, de hecho, 5 es suficientemente grande, por lo que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura débil de Goldbach. En 1937, Vinogradov dio una prueba incondicional para números impares suficientemente grandes. La prueba aún por verificar de Harald Helfgott mejoró el método de Vinogradov al verificar la hipótesis generalizada de Riemann para varios miles de caracteres pequeños hasta una cierta parte imaginaria para probar la conjetura para todos los enteros mayores que 10²⁹ ^, enteros menores que ya han sido verificados mediante cálculo. ^{[ 6 ]}
En 1934, Chowla demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que el primer primo en la progresión aritmética a mod m es como máximo ${\textstyle Km^{2}\log(m)^{2}}$ para alguna constante fija K.
En 1967, Hooley demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de números idóneos de Euler es completa.
Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.
En 2021, Alexander (Alex) Dunn y Maksym Radziwill demostraron la conjetura de Patterson sobre sumas cúbicas de Gauss , bajo el supuesto de la GRH. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Hipótesis de Riemann extendida (HRE)

Suponer ${\textstyle K}$ es un campo numérico con un anillo de enteros ${\textstyle O_{K}}$ (este anillo es la clausura integral de los números enteros) $\mathbb {Z}$ en K ). Si ${\textstyle I}$ es un ideal distinto de cero de ${\textstyle O_{K}}$ , denotamos su norma por ${\textstyle N(I)}$ La función zeta de Dedekind de K se define entonces por:

\zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq O_{K}}{\frac {1}{N(I)^{s}}}

para todo número complejo s con parte real > 1. La suma se extiende sobre todos los ideales distintos de cero. ${\textstyle I}$ de ${\textstyle O_{K}}$ . Esa función puede extenderse mediante continuación analítica a la función meromorfa en el plano complejo con un único polo posible en ${\textstyle s=1}$ y satisface una ecuación funcional que proporciona la ubicación exacta de los ceros triviales y garantiza que los ceros no triviales se encuentren dentro de la banda crítica. ${\textstyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$ y son simétricas con respecto a la línea crítica: ${\textstyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$ .

La hipótesis de Riemann extendida afirma que para cada cuerpo numérico K , cada cero no trivial de ${\textstyle \zeta _{K}}$ tiene parte real ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$ (y por lo tanto se encuentra en la línea crítica).

Consecuencias de la ERH

La hipótesis de Riemann ordinaria se deduce de la extendida si se toma el cuerpo numérico como $\mathbb {Q}$ , cuyo anillo de números enteros es: $O_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z}$ .
La hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet es equivalente a la ERH para K siendo una extensión abeliana de los números racionales, ya que para extensiones abelianas ${\textstyle \zeta _{K}}$ es un producto finito de algunas funciones L de Dirichlet que dependen de K. Recíprocamente, todas las funciones L para el carácter módulo n aparecen en el producto para ${\textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ , dónde ${\textstyle \zeta _{n}}$ es la n -ésima raíz primitiva de la unidad.
Para extensiones generales, las funciones L de Artin desempeñan un papel similar al de las funciones L de Dirichlet . Por lo tanto, la hipótesis de Riemann-Herram's (ERH) es equivalente a la hipótesis de Riemann para las funciones L de Artin.
La ERH implica una versión efectiva ^{[ 9 ]} del teorema de densidad de Chebotarev : si L / K es una extensión de Galois finita con grupo de Galois G , y C una unión de clases de conjugación de G , el número de primos no ramificados de K de norma inferior a x con clase de conjugación de Frobenius en C es

{\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {Li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},

donde la constante implícita en la notación de la gran O es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.

Weinberger (1973) demostró que ERH implica que cualquier cuerpo numérico con número de clase 1 es euclidiano o un cuerpo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o −163.
Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la ERH para proporcionar estimaciones más precisas de los discriminantes y los números de clase de los campos numéricos.

Hipótesis generalizada de Riemann para la clase de Selberg

La clase de Selberg se define de la siguiente manera:

Decimos que la serie de Dirichlet ${\textstyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ Se considera que pertenece a la clase de Selberg si satisface las siguientes propiedades:

Analiticidad: $F(s)$ tiene una continuación meromorfa a todo el plano complejo, con el único polo posible (si lo hay) en ${\textstyle s=1}$ .
Conjetura de Ramanujan: a ₁ = 1 y $a_{n}\ll _{\varepsilon }n^{\varepsilon }$ para cualquier ε > 0;
Ecuación funcional: existe un factor gamma de la forma

\gamma (s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})

dónde ${\textstyle Q}$ es real y positivo, ${\textstyle \Gamma }$ la función gamma , la ${\textstyle \omega _{i}}$ real y positivo, y el ${\textstyle \mu _{i}}$ complejo con parte real no negativa, así como un llamado número raíz: ${\textstyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1}$ , de tal manera que la función:

\Phi (s)=\gamma (s)F(s)\,

Satisface:

\Phi (s)=\alpha \,{\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}};

Producto de Euler: Para $Re(s) > 1$ , F ( s ) se puede escribir como un producto sobre números primos:

F(s)=\prod _{p}F_{p}(s)

con

F_{p}(s)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}\right)

y, para algunos ${\textstyle \theta <{\tfrac {1}{2}}}$ ,

b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).

De la analiticidad se deduce que los polos del factor gamma en ${\textstyle \operatorname {Re} (s)<1}$ debe cancelarse con ceros de ${\textstyle F(s)}$ que los ceros se denominan ceros triviales. La ecuación funcional garantiza que todos los ceros no triviales se encuentran en la banda crítica. ${\textstyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ y son simétricas con respecto a la línea crítica ${\textstyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$ .

La hipótesis generalizada de Riemann para la clase de Selberg establece que todos los ceros no triviales de la función ${\textstyle F}$ pertenecientes a la clase Selberg tienen una parte real ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$ y luego yacer en la línea crítica.

La clase de Selberg, junto con la proposición de la hipótesis de Riemann para la misma, fue introducida por primera vez en ( Selberg 1992 ) . En lugar de considerar funciones específicas, el enfoque de Selberg consistió en dar una definición axiomática que consistía en propiedades que caracterizaban a la mayoría de los objetos llamados funciones L o funciones zeta , y que se esperaba que satisficieran contrapartes o generalizaciones de la hipótesis de Riemann.

Consecuencias

Las funciones L de Artin y las funciones zeta de Dedekind pertenecen a la clase de Selberg, por lo que la hipótesis de Riemann para la clase de Selberg implica una hipótesis de Riemann extendida.
Los ceros no triviales para funciones L mucho más generales que las funciones zeta de Dedekind se encuentran en líneas críticas. Un ejemplo puede ser la función L de Ramanujan relacionada con la forma modular llamada función eta de Dedekind . A pesar de que la función L de Ramanujan en sí no pertenece a la clase de Selberg y su línea crítica es $\operatorname {Re} (s)=6$ , función obtenida por traslación de ${\tfrac {11}{2}}$ está en la clase de Selberg.

Véase también

Referencias

↑ Davenport, Harold (2000). Teoría multiplicativa de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 74. Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 124. ISBN 0-387-95097-4.
↑ Rohrlich, David E. (2011). «Números raíz» (PDF) . Aritmética de las funciones $L.$ Serie de Matemáticas IAS/Park City. Vol. 18. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. págs. 353–448 . doi : 10.1090/pcms/018/13 . ISBN 978-0-8218-5320-7. MR 2882696 . Véase el Ejercicio 1.1, págs. 374–375 (pág. 23 de la versión preliminar).
↑ Bach, Eric (1990). "Límites explícitos para pruebas de primalidad y problemas relacionados" . Matemáticas de la Computación . 55 (191): 355–380 . doi : 10.2307/2008811 . JSTOR 2008811 .
↑ Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). "Esquemas para la factorización determinista de polinomios". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica (ISAAC) . págs. 191–198 . arXiv : 0804.1974 . doi : 10.1145/1576702.1576730 . ISBN 9781605586090. S2CID 15895636 .
↑ Shoup, Victor (1992). "Búsqueda de raíces primitivas en campos finitos" . Matemáticas de la Computación . 58 (197): 369– 380. doi : 10.2307/2153041 . JSTOR 2153041 .
↑ p5. Helfgott, Harald (2013). "Arcos principales para el teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].
↑ "Matemáticos de Caltech resuelven un enigma numérico del siglo XIX" . Instituto Tecnológico de California . 31 de octubre de 2022.
↑ Dunn, Alexander; Radziwiłł, Maksym (2021). "Sesgo en sumas gaussianas cúbicas: la conjetura de Patterson". arXiv : 2109.07463 [ math.NT ].
↑ Lagarias, JC; Odlyzko, AM (1977). "Versiones efectivas del teorema de Chebotarev". Campos numéricos algebraicos : 409–464 .

Ono, Ken ; Soundararajan, K. (1997), "Forma cuadrática ternaria de Ramanujan", Inventiones Mathematicae , 130 (3): 415– 454, Bibcode : 1997InMat.130..415O , doi : 10.1007/s002220050191 , S2CID 122314044
Odlyzko, AM (1990), "Límites para discriminantes y estimaciones relacionadas para números de clase, reguladores y ceros de funciones zeta: una revisión de resultados recientes" , Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux , Série 2, 2 (1): 119– 141, doi : 10.5802/jtnb.22 (inactivo el 17 de diciembre de 2025), MR 1061762 {{citation}}: CS1 maint: DOI inactivo desde diciembre de 2025 ( enlace )
Weinberger, Peter J. (1973), "Sobre anillos euclidianos de enteros algebraicos", Teoría analítica de números (Universidad de San Luis, 1972) , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol. 24, Providence, RI: Sociedad Matemática Americana, págs. 321–332 , MR 0337902
Selberg, Atle (1992), "Conjeturas y resultados antiguos y nuevos sobre una clase de series de Dirichlet", Actas de la Conferencia de Amalfi sobre Teoría Analítica de Números (Maiori, 1989) , Salerno: Univ. Salerno, pp. 367–385 , MR 1220477 , Zbl 0787.11037 Reimpreso en Collected Papers, vol . 2 , Springer-Verlag, Berlín (1991)

Lecturas adicionales

"Hipótesis de Riemann, generalizada" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Davenport, Harold (2000). Teoría multiplicativa de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 74. Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 124. ISBN 0-387-95097-4.

[2] Rohrlich, David E. (2011). «Números raíz» (PDF) . Aritmética de las funciones $L.$ Serie de Matemáticas IAS/Park City. Vol. 18. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. págs. 353–448 . doi : 10.1090/pcms/018/13 . ISBN 978-0-8218-5320-7. MR 2882696 . Véase el Ejercicio 1.1, págs. 374–375 (pág. 23 de la versión preliminar).

[3] Bach, Eric (1990). "Límites explícitos para pruebas de primalidad y problemas relacionados" . Matemáticas de la Computación . 55 (191): 355–380 . doi : 10.2307/2008811 . JSTOR 2008811 .

[4] Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). "Esquemas para la factorización determinista de polinomios". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica (ISAAC) . págs. 191–198 . arXiv : 0804.1974 . doi : 10.1145/1576702.1576730 . ISBN 9781605586090. S2CID 15895636 .

[5] Shoup, Victor (1992). "Búsqueda de raíces primitivas en campos finitos" . Matemáticas de la Computación . 58 (197): 369– 380. doi : 10.2307/2153041 . JSTOR 2153041 .

[6] 5. Helfgott, Harald (2013). "Arcos principales para el teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [ math.NT ].

[7] "Matemáticos de Caltech resuelven un enigma numérico del siglo XIX" . Instituto Tecnológico de California . 31 de octubre de 2022.

[Dunn_Radziwiłł_2021_Patterson-8] Dunn, Alexander; Radziwiłł, Maksym (2021). "Sesgo en sumas gaussianas cúbicas: la conjetura de Patterson". arXiv : 2109.07463 [ math.NT ].

[9] Lagarias, JC; Odlyzko, AM (1977). "Versiones efectivas del teorema de Chebotarev". Campos numéricos algebraicos : 409–464 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]