invariante de Casson

Kevin Walker encontró una extensión del invariante de Casson a las 3-esferas de homología racional . Un invariante de Casson-Walker es una aplicación sobreyectiva λ _CW de las 3-esferas de homología racional orientadas a Q que satisface las siguientes propiedades:

1. λ( S ³ ) = 0.

2. Para cada presentación de cirugía de Dehn de 1 componente ( K , μ) de una esfera de homología racional orientada M ′ en una esfera de homología racional orientada M :

${\displaystyle \lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu$ ;\nu )}

dónde:

• m es un meridiano orientado de un nudo K y μ es la curva característica de la cirugía.
• ν es un generador del núcleo del mapa natural H ₁ (∂ N ( K ), Z ) → H ₁ ( M − K , Z ).
• ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es la forma de intersección en el vecindario tubular del nudo, N ( K ).
• Δ es el polinomio de Alexander normalizado de modo que la acción de t corresponda a una acción del generador de${\displaystyle H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}}$en la cubierta cíclica infinita de M − K , y es simétrica y se evalúa a 1 en 1.
• ${\displaystyle \tau _{W}(m,\mu$ ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}}

donde x , y son generadores de H ₁ (∂ N ( K ), Z ) tales que${\displaystyle \langle x,y\rangle =1}$, v = δ y para un entero δ y s ( p , q ) es la suma de Dedekind .

Nótese que, para las esferas de homología entera, la normalización de Walker es el doble que la de Casson:${\displaystyle \lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)}$.

Christine Lescop definió una extensión λ _CWL del invariante de Casson-Walker para 3-variedades compactas orientadas . Se caracteriza de forma única por las siguientes propiedades:

• Si el primer número de Betti de M es cero,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)}$.

• Si el primer número de Betti de M es uno,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}$

donde Δ es el polinomio de Alexander normalizado para ser simétrico y tomar un valor positivo en 1.

• Si el primer número de Betti de M es dos,

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })}$

donde γ es la curva orientada dada por la intersección de dos generadores${\displaystyle S_{1},S_{2}}$de${\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$y${\displaystyle \gamma ^{\prime }}$es la curva paralela a γ inducida por la trivialización del vecindario tubular de γ determinado por${\displaystyle S_{1},S_{2}}$.

• Si el primer número de Betti de M es tres, entonces para a , b , c una base para${\displaystyle H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$, entonces

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}$.

• Si el primer número de Betti de M es mayor que tres,${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0}$.

El invariante de Casson-Walker-Lescop tiene las siguientes propiedades:

• Cuando la orientación de M cambia el comportamiento de${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)}$depende del primer número de Betti${\displaystyle b_{1}(M)=\operatorname {rank} H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$de M : si${\displaystyle {\overline {M}}}$es M con la orientación opuesta, entonces

${\displaystyle \lambda _{CWL}({\overline {M}})=(-1)^{b_{1}(M)+1}\lambda _{CWL}(M).}$

Es decir, si el primer número de Betti de M es impar, el invariante de Casson-Walker-Lescop no cambia, mientras que si es par cambia de signo.

• Para sumas conexas de variedades

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})}$

En 1990, C. Taubes demostró que el invariante de Casson SU(2) de una esfera de 3-homología M tiene una interpretación teórica de gauge como la característica de Euler de${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es el espacio de conexiones SU(2) en M y${\displaystyle {\mathcal {G}}}$es el grupo de transformaciones de gauge. Consideró el invariante de Chern-Simons como un${\displaystyle S^{1}}$Función Morse con valor en${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$y utilizó la invariancia bajo perturbaciones para definir un invariante que igualó con el invariante de Casson SU(2). ( Taubes (1990) )

H. Boden y C. Herald (1998) utilizaron un enfoque similar para definir un invariante de Casson SU(3) para 3-esferas de homología integral.