3 colectores

Un espacio topológico${\displaystyle M}$es una 3-variedad si es un espacio de Hausdorff segundo numerable y si cada punto en${\displaystyle M}$tiene un vecindario que es homeomorfo al espacio euclidiano tridimensional .

Las categorías topológicas, lineales a trozos y suaves son todas equivalentes en tres dimensiones, por lo que no se hace mucha distinción entre si estamos tratando, por ejemplo, con 3-variedades topológicas o con 3-variedades suaves.

Los fenómenos en tres dimensiones pueden ser sorprendentemente diferentes de los fenómenos en otras dimensiones, por lo que prevalecen técnicas muy especializadas que no se generalizan a dimensiones mayores que tres. Este papel especial ha llevado al descubrimiento de estrechas conexiones con diversos campos, como la teoría de nudos , la teoría geométrica de grupos , la geometría hiperbólica , la teoría de números , la teoría de Teichmüller , la teoría cuántica de campos topológica , la teoría de gauge , la homología de Floer y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de 3-variedades se considera parte de la topología de baja dimensión o topología geométrica .

Una idea clave en la teoría es estudiar una 3-variedad considerando superficies especiales incrustadas en ella. Se puede elegir la superficie de manera que esté bien ubicada en la 3-variedad, lo que lleva a la idea de una superficie incompresible y a la teoría de las variedades de Haken , o se pueden elegir las piezas complementarias de la manera más armoniosa posible, lo que da lugar a estructuras como las divisiones de Heegaard , que son útiles incluso en el caso que no es de Haken.

Las contribuciones de Thurston a la teoría permiten considerar, en muchos casos, la estructura adicional que proporciona una geometría modelo de Thurston específica (de las cuales existen ocho). La geometría más común es la hiperbólica. El uso de una geometría, además de superficies especiales, suele resultar provechoso.

Los grupos fundamentales de las 3-variedades reflejan fielmente la información geométrica y topológica propia de una 3-variedad. Por lo tanto, existe una interacción entre la teoría de grupos y los métodos topológicos.

Las 3-variedades son un caso especial interesante de topología de baja dimensión porque sus invariantes topológicos dan mucha información sobre su estructura en general. Si dejamos${\displaystyle M}$ser un colector de 3 vías y${\displaystyle \pi =\pi _ {1}(M)}$Si se trata de su grupo fundamental, entonces se puede derivar mucha información de ellos. Por ejemplo, utilizando la dualidad de Poincaré y el teorema de Hurewicz , tenemos los siguientes grupos de homología :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

donde los dos últimos grupos son isomorfos a la homología y cohomología de grupo de${\displaystyle \pi }$, respectivamente; es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi$ ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi  ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}

A partir de esta información se puede encontrar una clasificación básica de teoría de homotopía de 3-variedades ^{[ 1 ]} . Nótese que de la torre de Postnikov hay un mapa canónico

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

Si tomamos el impulso hacia adelante de la clase fundamental${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$en${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$obtenemos un elemento${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$Resulta que el grupo${\displaystyle \pi }$junto con la clase de homología de grupo${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$proporciona una descripción algebraica completa del tipo de homotopía de${\displaystyle M}$.

El espacio euclidiano tridimensional es el ejemplo más importante de una variedad tridimensional, ya que todas las demás se definen en relación con él. Se trata simplemente del espacio vectorial tridimensional estándar sobre los números reales.

Una 3-esfera es un análogo de mayor dimensión de una esfera . Consiste en el conjunto de puntos equidistantes de un punto central fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Así como una esfera ordinaria (o 2-esfera) es una superficie bidimensional que forma el límite de una bola en tres dimensiones, una 3-esfera es un objeto con tres dimensiones que forma el límite de una bola en cuatro dimensiones. Muchos ejemplos de 3-variedades se pueden construir tomando cocientes de la 3-esfera por un grupo finito.${\displaystyle \pi }$actuando libremente en${\displaystyle S^{3}}$a través de un mapa${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$, entonces${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$. ^{[ 3 ]}

^El espacio proyectivo real tridimensional, o RP3 ^, es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en R4 . Es una variedad compacta y lisa de dimensión 3 , y es un caso especial Gr (1, R4 ⁾ de un espacio grassmanniano .

RP ³ es ( difeomorfo a) SO(3) , por lo tanto admite una estructura de grupo; el mapa de recubrimiento S ³ → RP ³ es un mapa de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo de Lie que es el recubrimiento universal de SO(3).

El toro tridimensional es el producto de 3 círculos. Es decir:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

El toro tridimensional, T₃ ^, puede describirse como un cociente de R₃ bajo traslaciones ^enteras en cualquier coordenada. Es decir, el toro tridimensional es ^R₃ módulo la acción de la red entera Z₃ (considerando dicha acción como una suma vectorial ^{) . De forma equivalente, el toro tridimensional se obtiene a partir del} cubo tridimensional uniendo sus caras opuestas.

Un toro tridimensional, en este sentido, es un ejemplo de variedad compacta tridimensional . También es un ejemplo de grupo de Lie abeliano compacto . Esto se deduce del hecho de que el círculo unitario es un grupo de Lie abeliano compacto (cuando se identifica con los números complejos unitarios mediante la multiplicación). La multiplicación de grupos en el toro se define entonces mediante la multiplicación coordenada a coordenada.

El espacio hiperbólico es un espacio homogéneo que se caracteriza por una curvatura negativa constante . Es el modelo de la geometría hiperbólica . Se distingue de los espacios euclidianos con curvatura cero que definen la geometría euclidiana , y de los modelos de geometría elíptica (como la 3-esfera ) que tienen una curvatura positiva constante. Al incrustarse en un espacio euclidiano (de mayor dimensión), cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla . Otra propiedad distintiva es la cantidad de espacio cubierto por la 3-bola en el espacio hiperbólico tridimensional: aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola, en lugar de polinómicamente.

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología. Al ser una 3-variedad esférica , es la única 3-esfera de homología (además de la propia 3-esfera ) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Esto demuestra que la conjetura de Poincaré no puede enunciarse únicamente en términos de homología.

En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo cósmico de microondas , observado durante un año por la nave espacial WMAP , llevó a la sugerencia, por Jean-Pierre Luminet del Observatorio de París y sus colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré. ^{[ 4 ] [ 5 ]} En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de sus predicciones, utilizando tres años de observaciones de la nave espacial WMAP. ^{[ 6 ]} Sin embargo, aún no hay un apoyo sólido para la corrección del modelo.

En matemáticas , el espacio de Seifert-Weber (introducido por Herbert Seifert y Constantin Weber) es una variedad hiperbólica tridimensional cerrada . También se le conoce como espacio dodecaédrico de Seifert-Weber o espacio dodecaédrico hiperbólico . Es uno de los primeros ejemplos descubiertos de variedades hiperbólicas tridimensionales cerradas.

Se construye pegando cada cara de un dodecaedro a su opuesta de manera que se produzca una 3-variedad cerrada. Hay tres maneras de hacer este pegado de forma consistente. Las caras opuestas están desalineadas en 1/10 de vuelta, por lo que para que coincidan deben rotarse 1/10, 3/10 o 5/10 de vuelta; una rotación de 3/10 da el espacio de Seifert-Weber. Una rotación de 1/10 da la esfera de homología de Poincaré , y una rotación de 5/10 da el espacio proyectivo real tridimensional .

Con el patrón de pegado de 3/10 vueltas, las aristas del dodecaedro original se pegan entre sí en grupos de cinco. Así, en el espacio de Seifert-Weber, cada arista está rodeada por cinco caras pentagonales, y el ángulo diedro entre estos pentágonos es de 72°. Esto no coincide con el ángulo diedro de 117° de un dodecaedro regular en el espacio euclidiano, pero en el espacio hiperbólico existen dodecaedros regulares con cualquier ángulo diedro entre 60° y 117°, y el dodecaedro hiperbólico con ángulo diedro de 72° puede usarse para dar al espacio de Seifert-Weber una estructura geométrica como una variedad hiperbólica. Es un espacio cociente del panal dodecaédrico de orden 5 , una teselación regular del espacio hiperbólico tridimensional mediante dodecaedros con este ángulo diedro.

En matemáticas , la variedad de Gieseking es una 3-variedad hiperbólica con cúspides y volumen finito. No es orientable y tiene el menor volumen entre las variedades hiperbólicas no compactas, con un volumen aproximado de 1,01494161. Fue descubierta por Hugo Gieseking ( 1912 ) . 

La variedad de Gieseking se puede construir eliminando los vértices de un tetraedro y luego pegando las caras de dos en dos usando aplicaciones afines lineales. Etiquete los vértices como 0, 1, 2, 3. Pegue la cara con vértices 0, 1, 2 a la cara con vértices 3, 1, 0 en ese orden. Pegue la cara 0, 2, 3 a la cara 3, 2, 1 en ese orden. En la estructura hiperbólica de la variedad de Gieseking, este tetraedro ideal es la descomposición poliédrica canónica de David BA Epstein y Robert C. Penner. ^{[ 7 ]} Además, el ángulo formado por las caras es${\displaystyle \pi /3}$La triangulación tiene un tetraedro, dos caras, una arista y ningún vértice, por lo que todas las aristas del tetraedro original están unidas.

Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera con complemento que tiene una métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante , es decir, tiene una geometría hiperbólica . Un nudo hiperbólico es un enlace hiperbólico con un componente .

Los siguientes ejemplos son particularmente conocidos y estudiados.

• Nudo en forma de ocho
• Enlace de Whitehead
• anillos borromeos

Las clases no son necesariamente mutuamente excluyentes.

La geometría de contacto estudia una estructura geométrica en variedades diferenciables, definida por una distribución de hiperplanos en el fibrado tangente y especificada por una 1-forma , las cuales satisfacen una condición de "máxima no degeneración" denominada "no integrabilidad completa". Del teorema de Frobenius se reconoce esta condición como la opuesta a la condición de que la distribución esté determinada por una foliación de codimensión uno en la variedad ("integrabilidad completa").

La geometría de contacto es, en muchos sentidos, la contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , que pertenece al mundo de dimensión par. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica se basan en el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fases de dimensión par de un sistema mecánico o el espacio de fases extendido de dimensión impar que incluye la variable tiempo.

Una variedad de Haken es una 3-variedad compacta , P²-irreducible , suficientemente grande , lo que significa que contiene una superficie incompresible de dos caras correctamente incrustada . A veces se consideran solo las variedades de Haken orientables, en cuyo caso una variedad de Haken es una 3-variedad compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie incompresible y orientable.

Se dice que una 3-variedad cubierta finitamente por una variedad de Haken es virtualmente de Haken . La conjetura de la virtualidad de Haken afirma que toda 3-variedad compacta e irreducible con grupo fundamental infinito es virtualmente de Haken.

Wolfgang Haken introdujo las variedades de Haken. Haken demostró que estas variedades poseen una jerarquía , donde pueden dividirse en 3-bolas a lo largo de superficies incompresibles. También demostró que existe un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la variedad de 3-variedad la posee. Jaco y Oertel propusieron un algoritmo para determinar si una variedad de 3-variedad es de Haken.

Una laminación esencial es aquella en la que cada hoja es incompresible y su extremo también, si las regiones complementarias de la laminación son irreductibles y si no hay hojas esféricas.

Las laminaciones esenciales generalizan las superficies incompresibles que se encuentran en las variedades de Haken.

Una escisión de Heegaard es una descomposición de una 3-variedad compacta orientada que resulta de dividirla en dos cuerpos de asa .

Toda variedad tridimensional cerrada y orientable puede obtenerse de esta manera; esto se deduce de los profundos resultados sobre la triangulación de variedades tridimensionales obtenidos por Moise . Esto contrasta notablemente con las variedades de dimensiones superiores, que no necesariamente admiten estructuras suaves o lineales a trozos. Suponiendo suavidad, la existencia de una descomposición de Heegaard también se deduce del trabajo de Smale sobre descomposiciones de asas de la teoría de Morse.

Una foliación tensa es una foliación de codimensión 1 de una 3-variedad con la propiedad de que existe un único círculo transversal que interseca cada hoja. Por círculo transversal se entiende un bucle cerrado que siempre es transversal al campo tangente de la foliación. De forma equivalente, según un resultado de Dennis Sullivan , una foliación de codimensión 1 es tensa si existe una métrica riemanniana que convierte cada hoja en una superficie mínima .

Las foliaciones tensas cobraron protagonismo gracias a la obra de William Thurston y David Gabai .

En topología geométrica , el teorema de Moise , demostrado por Edwin E. Moise en, establece que cualquier 3-variedad topológica tiene una estructura lineal a trozos esencialmente única y una estructura suave .

Como corolario, toda variedad tridimensional compacta tiene una división de Heegaard .

El teorema de descomposición prima para 3-variedades establece que toda 3-variedad compacta y orientable es la suma conexa de una colección única ( salvo homeomorfismo ) de 3-variedades primas .

Una variedad es prima si no puede representarse como una suma conexa de más de una variedad, ninguna de las cuales es una esfera de la misma dimensión.

La finitud de Kneser-Haken establece que para cada 3-variedad compacta, existe una constante C tal que cualquier colección de superficies incompresibles disjuntas incrustadas de cardinalidad mayor que C debe contener elementos paralelos.

El teorema del lazo es una generalización del lema de Dehn y debería llamarse más propiamente "teorema del disco". Fue demostrado por primera vez por Christos Papakyriakopoulos en 1956, junto con el lema de Dehn y el teorema de la esfera .

Una versión simple y útil del teorema del bucle establece que si hay un mapa

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

con${\displaystyle f|\partial D^{2}}$no nulo homotópico en${\displaystyle \partial M}$, entonces hay una incrustación con la misma propiedad.

El teorema de la esfera de Papakyriakopoulos ( 1957 ) da condiciones para que los elementos del segundo grupo de homotopía de una 3-variedad estén representados por esferas incrustadas. 

Un ejemplo es el siguiente:

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una 3-variedad orientable tal que${\displaystyle \pi _{2}(M)}$no es el grupo trivial. Entonces existe un elemento no nulo de ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$tener un representante que sea un integrador${\displaystyle S^{2}\to M}$.

El teorema del anillo establece que si un par de curvas cerradas simples disjuntas en la frontera de una variedad tridimensional son libremente homotópicas, entonces colimitan un anillo propiamente incrustado. Esto no debe confundirse con el teorema de alta dimensión del mismo nombre.

El teorema del toro es el siguiente: Sea M una 3-variedad compacta e irreducible con frontera no vacía. Si M admite una aplicación esencial de un toro, entonces M admite una inmersión esencial de un toro o de un anillo ^{[ 8 ].}

La descomposición JSJ , también conocida como descomposición toral , es una construcción topológica dada por el siguiente teorema:

Las 3-variedades irreducibles orientables cerradas (es decir, compactas y sin frontera) tienen una colección mínima única (salvo isotopía ) de toros incompresibles disjuntamente incrustados, de tal manera que cada componente de la 3-variedad obtenida al cortar a lo largo de los toros es atoroidal o fibrada de Seifert .

El acrónimo JSJ corresponde a William Jaco , Peter Shalen y Klaus Johannson . Los dos primeros trabajaron juntos y el tercero de forma independiente. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El teorema central de Scott es un teorema sobre la presentabilidad finita de grupos fundamentales de 3-variedades debido a G. Peter Scott . ^{[ 11 ]} El enunciado preciso es el siguiente:

Dada una 3-variedad (no necesariamente compacta ) con un grupo fundamental finitamente generado , existe una subvariedad tridimensional compacta , denominada núcleo compacto o núcleo de Scott , tal que su aplicación de inclusión induce un isomorfismo en los grupos fundamentales. En particular, esto significa que un grupo de 3-variedad finitamente generado es finitamente presentable .

^{En [ 12 ]} se presenta una demostración simplificada y en ^{[ 13 ]} se demuestra una afirmación de unicidad más fuerte.

El teorema de Lickorish-Wallace establece que cualquier 3-variedad cerrada , orientable y conexa puede obtenerse realizando una cirugía de Dehn en un enlace enmarcado en la 3-esfera con${\displaystyle \pm 1}$coeficientes de cirugía. Además, se puede suponer que cada componente del enlace no tiene nudos.

Los teoremas de Friedhelm Waldhausen sobre rigidez topológica establecen que ciertas 3-variedades (como aquellas con una superficie incompresible) son homeomorfas si existe un isomorfismo de grupos fundamentales que respeta la frontera.

Waldhausen conjeturó que toda variedad tridimensional cerrada y orientable tiene solo un número finito de descomposiciones de Heegaard (salvo homeomorfismo) de cualquier género dado.

La conjetura de Smith (ahora demostrada) afirma que si f es un difeomorfismo de la 3-esfera de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .

El teorema de la cirugía cíclica establece que, para una variedad tridimensional compacta , conexa , orientable e irreducible M cuyo límite es un toro T , si M no es un espacio fibrado de Seifert y r y s son pendientes en T tales que sus rellenos de Dehn tienen grupo fundamental cíclico, entonces la distancia entre r y s (el número mínimo de veces que dos curvas cerradas simples en T que representan a r y s deben intersecarse) es como máximo 1. En consecuencia, hay como máximo tres rellenos de Dehn de M con grupo fundamental cíclico.

El teorema de cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston establece: ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$es hiperbólica siempre que exista un conjunto finito de pendientes excepcionales.${\displaystyle E_{i}}$se evita para la i -ésima cúspide para cada i . Además,${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$converge a M en H como todo${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$a pesar de${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$correspondientes a rellenos de Dehn no vacíos${\displaystyle u_{i}}$.

Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las 3-variedades hiperbólicas. Demuestra que existen límites no triviales en H. El estudio de Troels Jorgensen sobre la topología geométrica muestra además que todos los límites no triviales surgen del relleno de Dehn, como en el teorema.

Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye bajo el llenado hiperbólico de Dehn. De hecho, el teorema afirma que el volumen disminuye bajo el llenado topológico de Dehn, suponiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La demostración se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov .

Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función continua y propia . Por lo tanto, según los resultados anteriores, los límites no triviales en H se convierten en límites no triviales en el conjunto de volúmenes. De hecho, se puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito tiene un tipo ordinal.${\displaystyle \omega ^{\omega }}$Este resultado se conoce como el teorema de Thurston-Jørgensen . Gromov realizó trabajos adicionales para caracterizar este conjunto .

Además, Gabai, Meyerhoff y Milley demostraron que la variedad de Weeks tiene el volumen más pequeño de cualquier variedad hiperbólica tridimensional cerrada y orientable.

Una forma del teorema de geometrización de Thurston establece: Si M es una variedad de Haken atoroidal compacta e irreducible cuyo límite tiene característica de Euler cero, entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.

El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.

Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas poseen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea de Haken es innecesariamente restrictiva. La conjetura de hiperbolización de Thurston afirma que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con grupo fundamental infinito es hiperbólica, lo cual se deduce de la demostración de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.

El teorema de mansedumbre establece que toda 3-variedad hiperbólica completa con grupo fundamental finitamente generado es topológicamente mansa , es decir, homeomorfa al interior de una 3-variedad compacta .

El teorema de mansedumbre fue conjeturado por Marden. Fue demostrado por Agol e, independientemente, por Danny Calegari y David Gabai . Es una de las propiedades fundamentales de las 3-variedades hiperbólicas geométricamente infinitas, junto con el teorema de densidad para grupos kleinianos y el teorema de laminación final . También implica la conjetura de la medida de Ahlfors .

El teorema de laminación final , conjeturado originalmente por William Thurston y demostrado posteriormente por Jeffrey Brock , Richard Canary y Yair Minsky, establece que las 3-variedades hiperbólicas con grupos fundamentales finitamente generados están determinadas por su topología junto con ciertos "invariantes finales", que son laminaciones geodésicas en algunas superficies en el límite de la variedad.

La 3-esfera es una 3-variedad especialmente importante debido a la conjetura de Poincaré, ahora demostrada . Originalmente conjeturada por Henri Poincaré , el teorema se refiere a un espacio que localmente se asemeja al espacio tridimensional ordinario, pero es conexo, de tamaño finito y carece de frontera (una 3-variedad cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio posee la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede estrecharse continuamente hasta un punto, entonces necesariamente es una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace tiempo en dimensiones superiores.

Tras casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una demostración de la conjetura en tres artículos publicados en arXiv en 2002 y 2003. La demostración se basó en el programa de Richard S. Hamilton para abordar el problema mediante el flujo de Ricci . Perelman introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, denominada flujo de Ricci con cirugía, para eliminar sistemáticamente las regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada. Varios equipos de matemáticos han verificado la veracidad de la demostración de Perelman.

La conjetura de geometrización de Thurston afirma que ciertos espacios topológicos tridimensionales poseen una estructura geométrica única. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a toda superficie de Riemann simplemente conexa se le puede asignar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización afirma que toda 3-variedad cerrada puede descomponerse de forma canónica en partes, cada una con uno de ocho tipos de estructura geométrica. Esta conjetura fue propuesta por William Thurston (1982) e implica otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .

El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una demostración en la década de 1980 y, desde entonces, se han publicado varias demostraciones completas.

En 2003, Grigori Perelman esbozó una demostración de la conjetura de geometrización completa utilizando el flujo de Ricci con cirugía . Actualmente existen varios manuscritos (véase más abajo) con detalles de la demostración. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de geometrización, si bien existen demostraciones más breves de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.

La conjetura virtualmente fibrada , formulada por el matemático estadounidense William Thurston , afirma que toda variedad tridimensional cerrada , irreducible y atoroidal con grupo fundamental infinito tiene una cubierta finita que es un fibrado de superficie sobre el círculo .

La conjetura de Haken virtual afirma que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con grupo fundamental infinito es virtualmente de Haken . Es decir, tiene un recubrimiento finito (un espacio de recubrimiento con una aplicación de recubrimiento finita a uno) que es una variedad de Haken .

En una publicación en ArXiv el 25 de agosto de 2009, ^{[ 14 ]} Daniel Wise implícitamente dio a entender (al referirse a un manuscrito más extenso aún no publicado) que había demostrado la conjetura virtualmente fibrada para el caso en que la 3-variedad es cerrada, hiperbólica y de Haken. A esto le siguió un artículo de revisión en Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. ^{[ 15 ]} Le siguieron varias preimpresiones más ^{[ 16 ] , incluido el mencionado manuscrito más extenso de Wise. [ 17 ]} En marzo de 2012, durante una conferencia en el Institut Henri Poincaré en París, Ian Agol anunció que podía demostrar la conjetura virtualmente de Haken para 3-variedades hiperbólicas cerradas. ^{[ 18 ]} La demostración se basa en los resultados de Kahn y Markovic ^{[ 19 ] [ 20 ]} en su demostración de la conjetura del subgrupo de superficie y en los resultados de Wise en la demostración del teorema del cociente especial malnormal ^{[ 17 ]} y en los resultados de Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. ^{[ 14 ]} Tomado junto con los resultados de Wise, esto implica la conjetura virtualmente fibrada para todas las 3-variedades hiperbólicas cerradas.

Si${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$es un mapa de superficies cerradas conectadas tal que${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$Si no es inyectiva, entonces existe una curva cerrada simple no contraíble.${\displaystyle \alpha \subset S}$de tal manera que${\displaystyle f|_{a}}$es homotópicamente trivial. Esta conjetura fue demostrada por David Gabai .

La conjetura del subgrupo de superficie de Friedhelm Waldhausen afirma que el grupo fundamental de toda 3-variedad cerrada e irreducible con grupo fundamental infinito tiene un subgrupo de superficie. Por "subgrupo de superficie" nos referimos al grupo fundamental de una superficie cerrada, no de la 2-esfera. Este problema figura como Problema 3.75 en la lista de problemas de Kirby . ^{[ 21 ]}

Suponiendo la conjetura de geometrización , el único caso abierto era el de las 3-variedades hiperbólicas cerradas. Jeremy Kahn y Vladimir Markovic anunciaron una demostración de este caso en el verano de 2009 y la expusieron en una charla el 4 de agosto de 2009 en la Conferencia FRG (Focused Research Group) organizada por la Universidad de Utah. Un preimpreso apareció en arxiv en octubre de 2009. ^{[ 22 ]} Su artículo fue publicado en los Annals of Mathematics en 2012. ^{[ 23 ]} En junio de 2012, Kahn y Markovic recibieron los Premios de Investigación Clay del Instituto Clay de Matemáticas en una ceremonia en Oxford . ^{[ 24 ]}

La conjetura del cableado afirma que si la cirugía de Dehn en un nudo en la 3-esfera produce una 3-variedad reducible, entonces ese nudo es una${\displaystyle (p,q)}$-cable en algún otro nudo, y la cirugía debe haberse realizado utilizando la pendiente${\displaystyle pq}$.