Vector propio generalizado

En álgebra lineal , un vector propio generalizado de una matriz es un vector que satisface ciertos criterios que son más relajados que los de un vector propio (ordinario) . ^[1]${\displaystyle n\veces n}$ ${\estilo de visualización A}$

Sea un espacio vectorial -dimensional y sea la representación matricial de una función lineal de a con respecto a alguna base ordenada . ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$

Puede que no siempre exista un conjunto completo de vectores propios linealmente independientes de que formen una base completa para . Es decir, la matriz puede no ser diagonalizable . ^{[2] [3]} Esto sucede cuando la multiplicidad algebraica de al menos un valor propio es mayor que su multiplicidad geométrica (la nulidad de la matriz , o la dimensión de su espacio nulo ). En este caso, se denomina valor propio defectuoso y se denomina matriz defectuosa . ^[4]${\estilo de visualización n}$ ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\estilo de visualización A}$

Un vector propio generalizado correspondiente a , junto con la matriz, genera una cadena de Jordan de vectores propios generalizados linealmente independientes que forman una base para un subespacio invariante de . ^{[5] [6] [7]}$Estilo de visualización x_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\estilo de visualización V}$

Utilizando vectores propios generalizados, un conjunto de vectores propios linealmente independientes de se puede extender, si es necesario, a una base completa para . ^[8] Esta base se puede utilizar para determinar una "matriz casi diagonal" en forma normal de Jordan , similar a , que es útil para calcular ciertas funciones matriciales de . ^[9] La matriz también es útil para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales donde no es necesario que sea diagonalizable. ^{[10] [11]}${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización J}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización J}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$${\estilo de visualización A}$

La dimensión del espacio propio generalizado correspondiente a un valor propio dado es la multiplicidad algebraica de . ^[12]${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización \lambda}$

Hay varias formas equivalentes de definir un vector propio ordinario . ^{[13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]} Para nuestros propósitos, un vector propio asociado con un valor propio de una matriz × es un vector distinto de cero para el cual , donde es la matriz identidad × y es el vector cero de longitud . ^[21] Es decir, está en el núcleo de la transformación . Si tiene vectores propios linealmente independientes, entonces es similar a una matriz diagonal . Es decir, existe una matriz invertible tal que es diagonalizable a través de la transformación de similitud . ^{[22] [23]} La matriz se llama matriz espectral para . La matriz se llama matriz modal para . ^[24] Las matrices diagonalizables son de particular interés ya que las funciones matriciales de ellas se pueden calcular fácilmente. ^[25]${\displaystyle \mathbf {u}}$${\estilo de visualización \lambda}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle I}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$ ${\displaystyle \mathbf {0}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \mathbf {u}}$ ${\displaystyle (A-\lambda I)}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización D}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle D=M^{-1}AM}$${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización A}$

Por otra parte, si no tiene vectores propios linealmente independientes asociados a él, entonces no es diagonalizable. ^{[26] [27]}${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización A}$

Definición: Un vector es un vector propio generalizado de rango m de la matriz y correspondiente al valor propio si ${\displaystyle \mathbf {x}_{m}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

pero

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$ ^[28]

Claramente, un vector propio generalizado de rango 1 es un vector propio ordinario. ^[29] Cada matriz × tiene vectores propios generalizados linealmente independientes asociados con ella y se puede demostrar que es similar a una matriz "casi diagonal" en forma normal de Jordan. ^[30] Es decir, existe una matriz invertible tal que . ^[31] La matriz en este caso se llama matriz modal generalizada para . ^[32] Si es un valor propio de multiplicidad algebraica , entonces tendrá vectores propios generalizados linealmente independientes correspondientes a . ^[33] Estos resultados, a su vez, proporcionan un método sencillo para calcular ciertas funciones matriciales de . ^[34]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización J}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \lambda}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$

Nota: Para que una matriz sobre un cuerpo se exprese en forma normal de Jordan, todos los valores propios de deben estar en . Es decir, el polinomio característico debe factorizarse completamente en factores lineales; debe ser un cuerpo algebraicamente cerrado. Por ejemplo, si tiene elementos de valor real , entonces puede ser necesario que los valores propios y los componentes de los vectores propios tengan valores complejos . ^{[35] [36] [37]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

El conjunto abarcado por todos los vectores propios generalizados para un determinado forma el espacio propio generalizado para . ^[38]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

A continuación se presentan algunos ejemplos para ilustrar el concepto de vectores propios generalizados. Algunos de los detalles se describirán más adelante.

Este ejemplo es simple pero ilustra claramente el punto. Este tipo de matriz se utiliza con frecuencia en los libros de texto. ^{[39] [40] [41]} Supongamos

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Entonces sólo hay un valor propio, , y su multiplicidad algebraica es . ${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle m=2}$

Nótese que esta matriz está en forma normal de Jordan pero no es diagonal . Por lo tanto, esta matriz no es diagonalizable. Dado que hay una entrada superdiagonal , habrá un vector propio generalizado de rango mayor que 1 (o se podría notar que el espacio vectorial es de dimensión 2, por lo que puede haber como máximo un vector propio generalizado de rango mayor que 1). Alternativamente, se podría calcular la dimensión del espacio nulo de to be , y por lo tanto hay vectores propios generalizados de rango mayor que 1. ${\displaystyle V}$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle m-p=1}$

El vector propio ordinario se calcula de la forma habitual (consulte la página de vectores propios para ver ejemplos). Utilizando este vector propio, calculamos el vector propio generalizado resolviendo ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Escribiendo los valores:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Esto se simplifica a

${\displaystyle v_{22}=1.}$

El elemento no tiene restricciones. El vector propio generalizado de rango 2 es entonces , donde a puede tener cualquier valor escalar. La elección de a = 0 suele ser la más sencilla. ${\displaystyle v_{21}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

De modo que es un vector propio generalizado, porque ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

de modo que es un vector propio ordinario, y que y son linealmente independientes y, por lo tanto, constituyen una base para el espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle V}$

Este ejemplo es más complejo que el Ejemplo 1. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden bajo. ^[42] La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

tiene valores propios y con multiplicidades algebraicas y , pero multiplicidades geométricas y . ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ ${\displaystyle \mu _{1}=2}$${\displaystyle \mu _{2}=3}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

Los espacios propios generalizados de se calculan a continuación. es el vector propio ordinario asociado con . es un vector propio generalizado asociado con . es el vector propio ordinario asociado con . y son vectores propios generalizados asociados con . ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

Esto da como resultado una base para cada uno de los espacios propios generalizados de . Juntas, las dos cadenas de vectores propios generalizados abarcan el espacio de todos los vectores columna de cinco dimensiones. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Una matriz "casi diagonal" en forma normal de Jordan , similar a se obtiene de la siguiente manera: ${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

donde es una matriz modal generalizada para , las columnas de son una base canónica para , y . ^[43]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$

Definición: Sea un vector propio generalizado de rango m correspondiente a la matriz y al valor propio . La cadena generada por es un conjunto de vectores dados por ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$

donde siempre es un vector propio ordinario con un valor propio dado . Por lo tanto, en general, ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \lambda }$

El vector , dado por ( 2 ), es un vector propio generalizado de rango j correspondiente al valor propio . Una cadena es un conjunto linealmente independiente de vectores. ^[44]${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$${\displaystyle \lambda }$

Definición: Un conjunto de n vectores propios generalizados linealmente independientes es una base canónica si está compuesto enteramente de cadenas de Jordan.

Por lo tanto, una vez que hemos determinado que un vector propio generalizado de rango m está en una base canónica, se deduce que los m − 1 vectores que están en la cadena de Jordan generada por también están en la base canónica. ^[45]${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

Sea un valor propio de de multiplicidad algebraica . Primero, encuentre los rangos (rangos de matriz) de las matrices . Se determina que el entero es el primer entero para el cual tiene rango ( siendo n el número de filas o columnas de , es decir, es n × n ). ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle n-\mu _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Ahora defina

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

La variable designa el número de vectores propios generalizados linealmente independientes de rango k correspondientes al valor propio que aparecerá en una base canónica para . Nótese que ${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}$. ^[46]

En las secciones anteriores hemos visto técnicas para obtener los vectores propios generalizados linealmente independientes de una base canónica para el espacio vectorial asociado a una matriz . Estas técnicas se pueden combinar en un procedimiento: ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

Resolver la ecuación característica de para valores propios y sus multiplicidades algebraicas ;${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$

Para cada uno${\displaystyle \lambda _{i}:}$

Determinar ;${\displaystyle n-\mu _{i}}$

Determinar ;${\displaystyle m_{i}}$

Determinar para ;${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$

Determinar cada cadena de Jordan para ;${\displaystyle \lambda _{i}}$

La matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

tiene un valor propio de multiplicidad algebraica y un valor propio de multiplicidad algebraica . También tenemos . Porque tenemos . ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle \mu _{1}=3}$${\displaystyle \lambda _{2}=4}$${\displaystyle \mu _{2}=1}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

El primer entero para el cual tiene rango es . ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$${\displaystyle m_{1}=3}$

Ahora definimos

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

En consecuencia, habrá tres vectores propios generalizados linealmente independientes; uno de cada uno de los rangos 3, 2 y 1. Como corresponde a una sola cadena de tres vectores propios generalizados linealmente independientes, sabemos que hay un vector propio generalizado de rango 3 correspondiente a tal que ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

pero

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) representan sistemas lineales que pueden resolverse para . Sea ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Por lo tanto, para satisfacer las condiciones ( 3 ) y ( 4 ), debemos tener y . No se imponen restricciones sobre y . Al elegir , obtenemos ${\displaystyle x_{34}=0}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

como un vector propio generalizado de rango 3 correspondiente a . Nótese que es posible obtener una infinidad de otros vectores propios generalizados de rango 3 eligiendo diferentes valores de , y , con . Nuestra primera opción, sin embargo, es la más simple. ^[47]${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{33}}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$

Ahora, utilizando las ecuaciones ( 1 ), obtenemos y como vectores propios generalizados de rango 2 y 1, respectivamente, donde ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

El valor propio simple se puede manejar utilizando técnicas estándar y tiene un vector propio ordinario. ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Una base canónica para es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$y son vectores propios generalizados asociados con , mientras que es el vector propio ordinario asociado con . ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

Este es un ejemplo bastante simple. En general, la cantidad de vectores propios generalizados linealmente independientes de rango no siempre será igual. Es decir, puede haber varias cadenas de diferentes longitudes correspondientes a un valor propio particular. ^[48]${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle k}$

Sea una matriz n × n . Una matriz modal generalizada para es una matriz n × n cuyas columnas, consideradas como vectores, forman una base canónica para y aparecen en según las siguientes reglas: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• Todas las cadenas de Jordan que constan de un vector (es decir, un vector de longitud) aparecen en las primeras columnas de .${\displaystyle M}$
• Todos los vectores de una cadena aparecen juntos en columnas adyacentes de .${\displaystyle M}$
• Cada cadena aparece en orden de rango creciente (es decir, el vector propio generalizado de rango 1 aparece antes del vector propio generalizado de rango 2 de la misma cadena, que aparece antes del vector propio generalizado de rango 3 de la misma cadena, etc.). ^[49]${\displaystyle M}$

Sea un espacio vectorial n -dimensional; sea una función lineal en L ( V ) , el conjunto de todas las funciones lineales de en sí misma; y sea la representación matricial de con respecto a alguna base ordenada. Se puede demostrar que si el polinomio característico de se factoriza en factores lineales, de modo que tiene la forma ${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(\lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

donde son los valores propios distintos de , entonces cada uno es la multiplicidad algebraica de su valor propio correspondiente y es similar a una matriz en forma normal de Jordan , donde cada uno aparece veces consecutivas en la diagonal, y la entrada directamente encima de cada uno (es decir, en la superdiagonal ) es 0 o 1: en cada bloque la entrada encima de la primera aparición de cada uno es siempre 0 (excepto en el primer bloque); todas las demás entradas en la superdiagonal son 1. Todas las demás entradas (es decir, fuera de la diagonal y superdiagonal) son 0. (Pero no se impone ningún orden entre los valores propios, o entre los bloques para un valor propio dado). La matriz es lo más cercano que se puede llegar a una diagonalización de . Si es diagonalizable, entonces todas las entradas sobre la diagonal son cero. ^[50] Nótese que algunos libros de texto tienen los de la subdiagonal , es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los valores propios siguen estando en la diagonal principal. ^{[51] [52]}${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Toda matriz n × n es similar a una matriz en forma normal de Jordan, obtenida a través de la transformación de similitud , donde es una matriz modal generalizada para . ^[53] (Ver nota anterior). ${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

Encuentre una matriz en forma normal de Jordan que sea similar a

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Solución: La ecuación característica de es , por lo tanto, es un valor propio de multiplicidad algebraica tres. Siguiendo los procedimientos de las secciones anteriores, encontramos que ${\displaystyle A}$${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$${\displaystyle \lambda =2}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

y

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

Por lo tanto, y , lo que implica que una base canónica para contendrá un vector propio generalizado linealmente independiente de rango 2 y dos vectores propios generalizados linealmente independientes de rango 1, o equivalentemente, una cadena de dos vectores y una cadena de un vector . Designando , encontramos que ${\displaystyle \rho _{2}=1}$${\displaystyle \rho _{1}=2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

donde es una matriz modal generalizada para , las columnas de son una base canónica para , y . ^[54] Nótese que dado que los vectores propios generalizados en sí mismos no son únicos, y dado que algunas de las columnas de ambos y pueden intercambiarse, se deduce que ambos y no son únicos. ^[55]${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$

En el Ejemplo 3, encontramos una base canónica de vectores propios generalizados linealmente independientes para una matriz . Una matriz modal generalizada para es ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Una matriz en forma normal de Jordan, similar a es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

de modo que . ${\displaystyle AM=MJ}$

Tres de las operaciones más fundamentales que se pueden realizar en matrices cuadradas son la suma de matrices, la multiplicación por un escalar y la multiplicación de matrices. ^[56] Estas son exactamente las operaciones necesarias para definir una función polinómica de una matriz n × n . ^[57] Si recordamos del cálculo básico que muchas funciones se pueden escribir como una serie de Maclaurin , entonces podemos definir funciones más generales de matrices con bastante facilidad. ^[58] Si es diagonalizable, es decir ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

con

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

entonces

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

y la evaluación de la serie de Maclaurin para funciones de se simplifica enormemente. ^[59] Por ejemplo, para obtener cualquier potencia k de , solo necesitamos calcular , premultiplicar por , y postmultiplicar el resultado por . ^[60]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{-1}}$

Utilizando vectores propios generalizados, podemos obtener la forma normal de Jordan para y estos resultados pueden generalizarse a un método sencillo para calcular funciones de matrices no diagonalizables. ^[61] (Ver Función matricial#Descomposición de Jordan ). ${\displaystyle A}$

Consideremos el problema de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

dónde

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$     y     ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

Si la matriz es una matriz diagonal tal que para , entonces el sistema ( 5 ) se reduce a un sistema de n ecuaciones que toman la forma ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{ij}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

En este caso, la solución general viene dada por

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

En el caso general, tratamos de diagonalizar y reducir el sistema ( 5 ) a un sistema como ( 6 ) de la siguiente manera. Si es diagonalizable, tenemos , donde es una matriz modal para . Sustituyendo , la ecuación ( 5 ) toma la forma , o ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=MDM^{-1}}$${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$

dónde

La solución de ( 7 ) es

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

La solución de ( 5 ) se obtiene entonces utilizando la relación ( 8 ). ^[62]${\displaystyle \mathbf {x} }$

Por otra parte, si no es diagonalizable, elegimos que sea una matriz modal generalizada para , tal que es la forma normal de Jordan de . El sistema tiene la forma ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$

donde son los valores propios de la diagonal principal de y son los unos y ceros de la superdiagonal de . El sistema ( 9 ) suele resolverse más fácilmente que ( 5 ). Podemos resolver la última ecuación en ( 9 ) para , obteniendo . Luego sustituimos esta solución para en la penúltima ecuación en ( 9 ) y resolvemos para . Continuando con este procedimiento, trabajamos a través de ( 9 ) desde la última ecuación hasta la primera, resolviendo todo el sistema para . La solución se obtiene entonces utilizando la relación ( 8 ). ^[63]${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \epsilon _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

Lema:

Dada la siguiente cadena de vectores propios generalizados de longitud${\displaystyle r,}$

${\displaystyle X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}}$

${\displaystyle X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}}$,

Estas funciones resuelven el sistema de ecuaciones,

${\displaystyle X'=AX.}$

Prueba:

Definir

${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.}$

Entonces, como y , ${\displaystyle {t^{0}}=1}$${\displaystyle 1'=0}$

${\displaystyle X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$.

Por otra parte tenemos, y así ${\displaystyle v_{0}=0}$

${\displaystyle AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=2}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}}$

${\displaystyle =X'_{j}(t)}$

según sea necesario.

• Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Axler, Sheldon (1997). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8.
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