Campo dorado

En matemáticas ,${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ , ^{[ 1 ]} a veces llamado campo dorado , ^{[ 2 ]} es un sistema numérico que consiste en el conjunto de todos los números ⁠${\displaystyle a+b{\sqrt {5}}}$, donde​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ son ambos números racionales y ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ es la raíz cuadrada de 5 , junto con las operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división). Esta aritmética comparte ciertas propiedades estructurales con la aritmética de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ , el campo de los números racionales , haciendo ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$También es un tipo de campo . Más específicamente, es un campo cuadrático real , el campo de extensión de${\displaystyle \mathbb {Q} }$generado mediante la combinación de números racionales y${\displaystyle {\sqrt {5}}}$Utilizando operaciones aritméticas. El nombre proviene de la proporción áurea .${\displaystyle \varphi }$, un número positivo que satisface la ecuación${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$⁠ , que es la unidad fundamental de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$.​

Los cálculos en el campo áureo pueden utilizarse para estudiar los números de Fibonacci y otros temas relacionados con la proporción áurea, en particular la geometría del pentágono regular y las formas de dimensiones superiores con simetría quíntuple .

Los elementos del campo dorado son aquellos números que se pueden escribir en la forma ⁠${\displaystyle a+b{\sqrt {5}}}$¿ Dónde ?${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ son números racionales determinados de forma única ^{[ 3 ]} , o en la forma ⁠${\displaystyle {\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\big /}c}$¿ Dónde ?${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle c}$son números enteros, que pueden reducirse de forma única a sus términos más bajos , y donde${\displaystyle {\sqrt {5}}=2.236\ldots }$⁠ es la raíz cuadrada de 5. [ ^{4 ] A} veces es más conveniente usar la forma ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$¿ Dónde ?${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$son racionales o de la forma${\displaystyle (a+b\varphi)/c}$¿ Dónde ?${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle c}$son números enteros, y donde${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={}\!}$${\displaystyle 1.618\ldots }$es la proporción áurea . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Convertir entre estas formas alternativas es sencillo :${\displaystyle a+b{\sqrt {5}}=(ab)+(2b)\varphi }$o , en la otra dirección ,${\displaystyle a+b\varphi ={\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}b{\bigr )}+{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}b{\bigr )}{\sqrt {5}}}$⁠ . ^{[ 7 ]}

To add or subtract two numbers, simply add or subtract the components separately:^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}+{\bigl (}a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2}){\sqrt {5}},\\[3mu](a_{1}+b_{1}\varphi )+(a_{2}+b_{2}\varphi )&=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varphi .\end{aligned}}}$$

To multiply two numbers, distribute:^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}{\bigl (}a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=(a_{1}a_{2}+5b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}){\sqrt {5}},\\[3mu](a_{1}+b_{1}\varphi )(a_{2}+b_{2}\varphi )&=(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})\varphi .\end{aligned}}}$$

To find the reciprocal of a number ${\displaystyle \alpha }$, rationalize the denominator: ${\displaystyle 1/\alpha ={}}$${\displaystyle {\overline {\alpha }}/\alpha {\overline {\alpha }}={}}$${\displaystyle {\overline {\alpha }}/\mathrm {N} (\alpha )}$, where ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$⁠ is the algebraic conjugate and ⁠${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$⁠ is the field norm, as defined below.^[9] Explicitly: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a+b{\sqrt {5}}}}&={\frac {1}{a+b{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {a-b{\sqrt {5}}}{a-b{\sqrt {5}}}}={\frac {a}{a^{2}-5b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}-5b^{2}}}{\sqrt {5}},\\[3mu]{\frac {1}{a+b\varphi }}&={\frac {1}{a+b\varphi }}\cdot {\frac {a+b-b\varphi }{a+b-b\varphi }}={\frac {a+b}{a^{2}+ab-b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+ab-b^{2}}}\varphi .\end{aligned}}}$$

To divide two numbers, multiply the first by second's reciprocal:^[9]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{1}+b_{1}{\sqrt {5}}}{a_{2}+b_{2}{\sqrt {5}}}}&={\frac {a_{1}a_{2}-5b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}-5b_{2}^{2}}}+{\frac {-a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}}{a_{2}^{2}-5b_{2}^{2}}}{\sqrt {5}},\\[6mu]{\frac {a_{1}+b_{1}\varphi }{a_{2}+b_{2}\varphi }}&={\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}-b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+a_{2}b_{2}-b_{2}^{2}}}+{\frac {-a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}}{a_{2}^{2}+a_{2}b_{2}-b_{2}^{2}}}\varphi .\end{aligned}}}$$

As in any field, addition and multiplication of numbers in ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ is associative and commutative; ⁠${\displaystyle 0}$⁠ is the additive identity and ⁠${\displaystyle 1}$⁠ is the multiplicative identity; every number ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ has an additive inverse⁠${\displaystyle -\alpha }$⁠ and a multiplicative inverse⁠${\displaystyle 1/\alpha }$⁠; and multiplication distributes over addition. Arithmetic between numbers in ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ is consistent with their arithmetic as real numbers; that is, ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ is a subfield of ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠.

The numbers ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ and ⁠${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$⁠ each solve the equation ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}=5}$⁠. Each number ⁠${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {5}}}$⁠ in ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ has an algebraic conjugate⁠${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$⁠ found by swapping these two square roots of 5, i.e., by changing the sign of ⁠${\displaystyle b}$⁠. The conjugate of ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ is ${\displaystyle {\overline {\varphi }}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={}}$${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}={}}$${\displaystyle 1-\varphi }$. A rational number is its own conjugate, ⁠${\displaystyle a={\overline {a}}}$⁠. In general, the conjugate is:^[10]$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {a+b{\sqrt {5}}}}&=a-b{\sqrt {5}},\\[3mu]{\overline {a+b\varphi }}&=a+b{\overline {\varphi }}=(a+b)-b\varphi .\end{aligned}}}$$ Conjugation in ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ is an involution, ⁠${\displaystyle {\overline {({\overline {\alpha }})}}=\alpha }$⁠, and it preserves the structure of arithmetic: ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha _{1}+\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}+{\overline {\alpha }}_{2}}$⁠; ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha _{1}\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}{\overline {\alpha }}_{2}}$⁠; and ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha _{1}/\alpha _{2}}}={\overline {\alpha }}_{1}/\,{\overline {\alpha }}_{2}}$⁠.^[11] Conjugation is the only ring homomorphism (function preserving the structure of addition and multiplication) from ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ a sí misma, aparte de la función identidad . ^{[ 12 ]}

La traza del campo es la suma de un número y sus conjugados (llamada así porque la multiplicación por un elemento del campo puede verse como una especie de transformación lineal, cuya traza de matriz es la traza del campo). ^{[ 13 ]} La traza de ⁠${\displaystyle \alpha }$en​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es​​${\displaystyle \mathrm {tr} (\alpha )=\alpha +{\overline {\alpha }}}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} {\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&={\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}+{\bigl (}a-b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=2a,\\[3mu]\mathrm {tr} (a+b\varphi )&=(a+b\varphi )+(a+b-b\varphi )=2a+b.\end{aligned}}}$$ Este es siempre un número racional (ordinario). ^{[ 11 ]}

La norma de cuerpo es una medida de la magnitud de un número, el producto del número y sus conjugados. ^{[ 14 ]} La norma de ⁠${\displaystyle \alpha }$en​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es​​${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\overline {\alpha }}}$: ^{[ 11 ]}​$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} {\bigl (}a+b{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}&=a^{2}-5b^{2},\\[3mu]\mathrm {N} (a+b\varphi )&=a^{2}+ab-b^{2}.\end{aligned}}}$$ Este también es siempre un número racional. ^{[ 11 ]}

La norma conserva la estructura de la multiplicación, como se espera de un concepto de magnitud. La norma de un producto es el producto de normas ,${\displaystyle \operatorname {N} (\alpha _{1}\alpha _{2})=\mathrm {N} (\alpha _{1})~\!\mathrm {N} (\alpha _{2})\!}$; y la norma de un cociente es el cociente de las normas ,${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha _{1}/\alpha _{2})=\mathrm {N} (\alpha _{1}){\big /}~\!\mathrm {N} (\alpha _{2})}$Un número y su conjugado tienen la misma norma .${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\mathrm {N} ({\overline {\alpha }})}$⁠ . ^{[ 11 ]}

Un número${\displaystyle \alpha }$en​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$y su conjugado${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$son las soluciones de la ecuación cuadrática ^{[ 11 ]}$${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})=x^{2}-\mathrm {tr} (\alpha )x+\mathrm {N} (\alpha )=0.}$$

En la teoría de Galois , el campo dorado puede considerarse de forma más abstracta como el conjunto de todos los números .${\displaystyle a+bu}$, donde​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ son ambos racionales, y todo lo que se sabe de ⁠${\displaystyle u}$es que satisface la ecuación${\displaystyle \textstyle u^{2}=5}$⁠ . Hay dos maneras de incrustar este conjunto en los números reales: mediante mapeo ⁠${\displaystyle u}$a la raíz cuadrada positiva${\displaystyle {\sqrt {5}}}$o alternativamente mediante mapeo${\displaystyle u}$a la raíz cuadrada negativa${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$La conjugación intercambia estas dos incrustaciones. El grupo de Galois del cuerpo dorado es, por lo tanto, el grupo con dos elementos, a saber, la identidad y un elemento que es su propio inverso. ^{[ 14 ]}

El anillo de enteros del campo dorado ,${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ , a veces llamados enteros dorados , ^{[ 15 ]} es el conjunto de todos los enteros algebraicos en el campo, es decir, aquellos elementos cuyo polinomio mínimo sobre ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ tiene coeficientes enteros. Este es el conjunto de números en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$cuya norma y traza son números enteros. Los números${\displaystyle 1}$y​​${\displaystyle \varphi }$⁠ forman una base integral para el anillo, lo que significa que cada número en el anillo se puede escribir en la forma${\displaystyle a+b\varphi }$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son enteros ordinarios . ^{[ 16 ]} Alternativamente, elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ se puede escribir en la forma ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {5}}}$, donde​${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$tienen la misma paridad . [ 17 ^{] Como} cualquier anillo ^,${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$Es cerrado bajo la suma y la multiplicación .${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ es el campo más pequeño que contiene ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ , su campo de fracciones .

Números primos y factorización prima

Un elemento primo de un anillo, análogo a un número primo entre los enteros, es un elemento${\displaystyle \gamma }$⁠ de tal manera que siempre que ⁠${\displaystyle \gamma \mid \alpha \beta }$⁠ , entonces o ⁠${\displaystyle \gamma \mid \alpha }$o​​${\displaystyle \gamma \mid \beta }$. En​${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$Los números primos son de tres tipos :${\displaystyle {\sqrt {5}}=-1+2\varphi }$⁠ , primos enteros de la forma ⁠${\displaystyle p=5n\pm 2}$⁠ ^{[ 24 ]} donde ⁠${\displaystyle n}$⁠ es un número entero, y los factores de los primos enteros de la forma ⁠${\displaystyle p=5n\pm 1}$⁠ ^{[ 25 ]} (un par de conjugados). ^{[ 26 ]} Por ejemplo, ⁠${\displaystyle 2}$,​​${\displaystyle 3}$y​​${\displaystyle 7}$son primos, pero${\displaystyle 11=(3+\varphi )(4-\varphi )}$es compuesto. Cualquiera de estos es un asociado de primos adicionales; por ejemplo${\displaystyle 2\varphi }$⁠ también es principal, un asociado de ⁠${\displaystyle 2}$⁠ . ^{[ 23 ]}

El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ es un dominio euclidiano con el valor absoluto de la norma como su función euclidiana, lo que significa que se puede utilizaruna versión del algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números. ^{[ 27 ]} Esto hace que ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ uno de los 21 campos cuadráticos que son norma-euclidianos . ^{[ 28 ]} Una forma del teorema fundamental de la aritmética se aplica en ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$: todo número entero áureo puede escribirse como un producto de elementos primos multiplicados por una unidad, y esta factorización es única salvo por el orden de los factores y la sustitución de cualquier factor primo por uno de sus asociados (lo que cambia el factor unitario en consecuencia).

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es un espacio vectorial bidimensionalsobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠ , y la multiplicación por cualquier elemento de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ es una transformación lineal de ese espacio vectorial. Dada una base ordenada de ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ , cada número en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ se puede asociar a la matriz de transformación correspondiente en esa base. Esto define un isomorfismo de cuerpo (una aplicación biyectiva que preserva la estructura ) desde ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$al espacio de${\displaystyle 2\times 2}$Matrices cuadradas con entradas racionales generadas porla matriz identidad .${\displaystyle \mathbf {I} }$⁠ , la imagen del número ⁠${\displaystyle 1}$y una matriz${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$⁠ , la imagen de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ . ^{[ 29 ]} Así, la aritmética de los números en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ puede representarse alternativamente mediante la aritmética de dichas matrices. ^{[ 30 ]} En este contexto, el número ⁠${\displaystyle \alpha =a+b\varphi }$⁠ está representada por la matriz ⁠${\displaystyle \mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } }$⁠ . ^{[ 31 ]} Una elección conveniente de base para ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$es​​${\displaystyle (1,\varphi )}$⁠ , en términos de los cuales ⁠${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$es una matriz simétrica : ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}a&b\\b&a+b\end{bmatrix}}.\quad \end{aligned}}}$$

La matriz adjugada${\displaystyle {\overline {\mathbf {\Phi } }}=\mathbf {I} -\mathbf {\Phi } }$⁠ representa el conjugado algebraico ⁠${\displaystyle {\overline {\varphi }}=1-\varphi }$, la matriz${\displaystyle \mathbf {R} =-\mathbf {I} +2\mathbf {\Phi } }$( satisfactorio )${\displaystyle \textstyle \mathbf {R} ^{2}=5\mathbf {I} }$) representa​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , ^{[ 33 ]} y el adjugado de un elemento arbitrario ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$⁠ , que denotaremos ⁠${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}=a\mathbf {I} +b{\overline {\mathbf {\Phi } }}}$⁠ , representa el número ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha }}=a+b{\overline {\varphi }}}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}-1&2\\2&1\end{bmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {\Phi } }}={\begin{bmatrix}~1&-1\\-1&\,0\end{bmatrix}},\quad {\overline {\mathbf {A} }}=a\mathbf {I} +b{\overline {\mathbf {\Phi } }}={\begin{bmatrix}a+b&-b~\\-b&~a\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Cada matriz${\displaystyle \mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } }$⁠ , excepto por la matriz cero , es invertible , y su inversa ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbf {A} ^{-1}={\bigl (}1/\mathrm {det} (\mathbf {A} ){\bigr )}{\overline {\mathbf {A} }}}$⁠ representa el inverso multiplicativo ⁠${\displaystyle \textstyle \alpha ^{-1}={\overline {\alpha }}/\mathrm {N} (\alpha )}$en​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ . ^{[ 34 ]}

Si​${\displaystyle \alpha =a+b\varphi }$es un elemento de${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ , con conjugado ⁠${\displaystyle {\overline {\alpha }}=a+b{\overline {\varphi }}}$⁠ , entonces la matriz ⁠${\displaystyle \mathbf {A} =a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } }$tiene los números${\displaystyle \alpha }$y ​​${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$como sus autovalores . Su traza es${\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )={}\!}$${\displaystyle 2a+b={}\!}$${\displaystyle \mathrm {tr} (\alpha )}$. ^{[ 35 ]} Su determinante es${\displaystyle \mathrm {det} (\mathbf {A} )={}\!}$${\displaystyle \textstyle a^{2}+ab-b^{2}={}\!}$${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )}$. El polinomio característico de ⁠${\displaystyle \mathbf {A} }$es​​${\displaystyle (x-\alpha )(x-{\overline {\alpha }})}$⁠ , que es el polinomio mínimo de ⁠${\displaystyle \alpha }$y​​${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$siempre que​${\displaystyle b}$⁠ no es cero. Estas propiedades son compartidas por la matriz adjunta .${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$Su producto es${\displaystyle \mathbf {A} {\overline {\mathbf {A} }}=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {I} }$⁠ . ^{[ 30 ] [ 29 ]}

Estas matrices se han estudiado especialmente en el contexto de los números de Fibonacci .${\displaystyle F_{n}}$y números de Lucas${\displaystyle L_{n}}$⁠ , que aparecen como las entradas de ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbf {\Phi } ^{n}}$y​​${\displaystyle \textstyle \mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R} }$, respectivamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } ^{n}&=F_{n-1}\mathbf {I} +F_{n}\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}F_{n-1}&F_{n}~\\F_{n}~&F_{n+1}\end{bmatrix}},&\mathrm {tr} (\mathbf {\Phi } ^{n})&=L_{n},\\[8mu]\mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R} &=L_{n-1}\mathbf {I} +L_{n}\mathbf {\Phi } ={\begin{bmatrix}L_{n-1}&L_{n}~\\L_{n}~&L_{n+1}\end{bmatrix}},&\mathrm {tr} (\mathbf {\Phi } ^{n}\mathbf {R} )&=5F_{n}.\end{aligned}}}$$ Poderes de${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$A veces se las llama matrices de Fibonacci . ^{[ 36 ]}

Toda matriz de la forma ⁠${\displaystyle a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } }$⁠ tiene autovectores que apuntan en las direcciones ⁠${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}1&\!\varphi \end{bmatrix}}{}^{\top }}$y​​${\displaystyle \textstyle {\begin{bmatrix}1&\!{\overline {\varphi }}\end{bmatrix}}{}^{\top }\!}$⁠ . ^{[ 37 ]} Cuando los números en ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ se representan gráficamente, como arriba , en un sistema de coordenadas donde sus valores como números reales son el eje horizontal y los valores de sus conjugados son el eje vertical, los autovectores apuntan a lo largo de esos dos ejes. (Cero es el único número ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$( directamente en cualquiera de los ejes.) Las matrices${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{2n}}$para entero​${\displaystyle n}$⁠ , que representan unidades, y más generalmente cualquier matriz con ⁠${\displaystyle a+b\varphi >0}$y determinante​${\displaystyle 1}$⁠ , son aplicaciones de compresión , que estiran el plano a lo largo de un eje y lo comprimen a lo largo del otro, fijando hipérbolas de norma constante. Las matrices ⁠${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{2n+1}}$y , más generalmente, matrices con${\displaystyle a+b\varphi >0}$y determinante​${\displaystyle -1}$⁠ , son la composición de un mapeo de compresión y una reflexión vertical . La matriz identidad negativa ⁠${\displaystyle -\mathbf {I} }$⁠ es una reflexión puntual respecto al origen. En general, cualquier otra matriz ⁠${\displaystyle a\mathbf {I} +b\mathbf {\Phi } }$⁠ puede descomponerse como el producto de un mapeo de compresión, posiblemente una reflexión, y un escalado uniforme por la raíz cuadrada del valor absoluto de su determinante.

El campo áureo es el campo cuadrático real con el discriminante más pequeño ,${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} \left(~\!\!{\sqrt {5}}\right)}=5}$⁠ . ^{[ 38 ]} Tiene clase número 1, lo que significa que el anillo de sus enteros algebraicos es un dominio de ideales principales y un dominio de factorización única . ^{[ 39 ]}

Cualquier elemento positivo del campo áureo puede escribirse como un tipo generalizado de fracción continua , en la que los cocientes parciales son sumas de potencias no negativas de${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 40 ]}

⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$Es una elección natural del sistema numérico para estudiar los números de Fibonacci .${\displaystyle F_{n}}$y los números de Lucas${\displaystyle L_{n}}$Estas secuencias numéricas se definen generalmente mediante relaciones de recurrencia similares a la que satisfacen las potencias de${\displaystyle \varphi }$y​​${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0}&=0,&F_{1}&=1,&F_{n+1}&=F_{n}+F_{n-1},\\[3mu]L_{0}&=2,&L_{1}&=1,&L_{n+1}&=L_{n}+L_{n-1},\\[3mu]\varphi ^{0}&=1,&\varphi ^{1}&=\varphi ,&\varphi ^{n+1}&=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1},\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{0}&=1,&{\overline {\varphi }}^{1}&={\overline {\varphi }},&{\overline {\varphi }}^{n+1}&={\overline {\varphi }}^{n}+{\overline {\varphi }}^{n-1}.\end{aligned}}}$$

Las secuencias${\displaystyle F_{n}}$y​​${\displaystyle L_{n}}$respectivamente comienzan: ^{[ 42 ]}

Ambas secuencias pueden extenderse de manera consistente a índices enteros negativos siguiendo la misma recurrencia en la dirección negativa. Satisfacen las identidades ^{[ 43 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{-n}&=(-1)^{n+1}F_{n},\\L_{-n}&=(-1)^{n}L_{n}.\end{aligned}}}$$

Los números de Fibonacci y Lucas pueden expresarse alternativamente como componentes .${\displaystyle b}$y​​${\displaystyle a}$cuando una potencia de la proporción áurea o su conjugado se escribe en la forma${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{2}}b{\sqrt {5}}}$: ^{[ 44 ]}​$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&={\tfrac {1}{2}}L_{n}+{\tfrac {1}{2}}F_{n}{\sqrt {5}},\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{n}&={\tfrac {1}{2}}L_{n}-{\tfrac {1}{2}}F_{n}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

La expresión de los números de Fibonacci en términos de${\displaystyle \varphi }$Se denomina fórmula de Binet : ^{[ 45 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}&={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\varphi -{\overline {\varphi }}}}={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\mathrm {tr} {\bigl (}\varphi ^{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}{5}},\\[5mu]L_{n}&={\frac {\varphi ^{n}+{\overline {\varphi }}^{n}}{\varphi +{\overline {\varphi }}}}=\varphi ^{n}+{\overline {\varphi }}^{n}=\mathrm {tr} {\izquierda(\varphi ^{n}\right)}.\end{aligned}}}$$

Los poderes de${\displaystyle \varphi }$o​​${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$⁠ , cuando se escribe en la forma ⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠ , se puede expresar en términos de números de Fibonacci, ^{[ 46 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=F_{n-1}+F_{n}\varphi ,\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{n}&=F_{n-1}+F_{n}{\overline {\varphi }}=F_{n+1}-F_{n}\varphi .\end{aligned}}}$$ Poderes de${\displaystyle \varphi }$o​​${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$veces​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$puede expresarse en términos de números de Lucas, $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}{\sqrt {5}}&=L_{n-1}+L_{n}\varphi ,\\[3mu]{\overline {\varphi }}^{n}{\sqrt {5}}&=-L_{n-1}-L_{n}{\overline {\varphi }}=-L_{n+1}+L_{n}\varphi .\end{aligned}}}$$ Las afirmaciones sobre los números enteros áureos pueden reformularse como afirmaciones sobre los números de Fibonacci o Lucas; por ejemplo, que toda potencia de ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ es una unidad de ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$,​​${\displaystyle \textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n})={\mathrm {N} (\varphi )}^{n}={(-1)}^{n}}$⁠ , cuando se expande, se convierte en la identidad de Cassini , y de igual manera ⁠${\displaystyle \textstyle \mathrm {N} (\varphi ^{n}{\sqrt {5}})={\mathrm {N} (\varphi )}^{n}\mathrm {N} {\bigl (}{\sqrt {5}}{\bigr )}={(-1)}^{n}5}$⁠ se convierte en la identidad análoga sobre los números de Lucas, $${\displaystyle {\begin{aligned}(F_{n-1}+F_{n}\varphi )(F_{n+1}-F_{n}\varphi )&=F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n},\\[3mu](L_{n-1}+L_{n}\varphi )(-L_{n+1}+L_{n}\varphi )&=L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5.\end{aligned}}}$$