Historia del álgebra

El álgebra no siempre utilizó el simbolismo que ahora es omnipresente en las matemáticas; en cambio, pasó por tres etapas distintas. Las etapas en el desarrollo del álgebra simbólica son aproximadamente las siguientes: ^{[ 3 ]}

• Álgebra retórica , en la que las ecuaciones se escriben en oraciones completas. Por ejemplo, la forma retórica de${\displaystyle x+1=2}$La frase es "Lo que se añade uno es igual a dos" o posiblemente "Lo que se añade 1 es igual a 2". El álgebra retórica fue desarrollada por primera vez por los antiguos babilonios y se mantuvo dominante hasta el siglo XVI.

• El álgebra sincopada utiliza simbolismo, pero no todas sus características. Por ejemplo, puede existir la restricción de que la resta solo se puede usar una vez en un lado de la ecuación, lo cual no ocurre en el álgebra simbólica. La expresión algebraica sincopada apareció por primera vez en la Aritmética de Diofanto (siglo III d. C.), seguida por el Brahma Sphuta Siddhanta de Brahmagupta (siglo VII).
• Álgebra simbólica , en la que se utiliza el simbolismo completo. Los primeros pasos hacia esto se pueden observar en la obra de varios matemáticos islámicos como Ibn al-Banna (siglos XIII-XIV) y al-Qalasadi (siglo XV), aunque el álgebra completamente simbólica fue desarrollada por François Viète (siglo XVI). Más tarde, René Descartes (siglo XVII) introdujo la notación moderna (por ejemplo, el uso de x — véase más adelante ) y demostró que los problemas que surgen en geometría pueden expresarse y resolverse en términos de álgebra ( geometría cartesiana ).

Tan importante como el uso o la ausencia de simbolismo en álgebra era el grado de las ecuaciones que se abordaban. Las ecuaciones cuadráticas desempeñaron un papel importante en el álgebra temprana; y durante la mayor parte de la historia, hasta principios de la Edad Moderna, todas las ecuaciones cuadráticas se clasificaban dentro de una de tres categorías.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

dónde${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son positivas. Esta tricotomía surge debido a ecuaciones cuadráticas de la forma${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$, con${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$positivo, no tienen raíces positivas . ^{[ 4 ]}

Entre las etapas retórica y sincopada del álgebra simbólica, los matemáticos clásicos griegos y védicos de la India desarrollaron un álgebra constructiva geométrica en la que las ecuaciones algebraicas se resolvían mediante la geometría. Por ejemplo, una ecuación de la forma${\displaystyle x^{2}=A}$se resolvió hallando el lado de un cuadrado de área${\displaystyle A.}$

Además de las tres etapas de expresión de ideas algebraicas, algunos autores reconocieron cuatro etapas conceptuales en el desarrollo del álgebra que ocurrieron junto con los cambios en la expresión. Estas cuatro etapas fueron las siguientes: ^{[ 5 ]}

• Etapa geométrica , donde los conceptos del álgebra son en gran medida geométricos. Esto se remonta a los babilonios y continuó con los griegos , y fue revivido posteriormente por Omar Khayyám .
• Etapa de resolución de ecuaciones estáticas , cuyo objetivo es encontrar números que satisfagan ciertas relaciones. El abandono de la etapa geométrica se remonta a Diofanto y Brahmagupta , pero el álgebra no se adentró definitivamente en la etapa de resolución de ecuaciones estáticas hasta que Al-Juarismi introdujo procesos algorítmicos generalizados para resolver problemas algebraicos.
• Etapa de función dinámica , donde el movimiento es una idea subyacente. La idea de una función comenzó a surgir con Sharaf al-Dīn al-Tūsī , pero el álgebra no pasó decisivamente a la etapa de función dinámica hasta Gottfried Leibniz .
• Etapa abstracta , donde la estructura matemática desempeña un papel central. El álgebra abstracta es en gran medida un producto de los siglos XIX y XX.

Jámblico, en su Introductio aritmatica, afirma que Timaridas (c. 400  a. C.  – c. 350  a. C.) trabajó con sistemas de ecuaciones lineales. ^{[ 18 ]} En particular, creó la entonces famosa regla conocida como la "flor de Timaridas", que establece que:

Si la suma de${\displaystyle n}$Si se dan cantidades y también la suma de cada par que contiene una cantidad particular, entonces esta cantidad particular es igual a${\displaystyle 1/(n-2)}$de la diferencia entre las sumas de estos pares y la primera suma dada. ^{[ 19 ]}

o utilizando notación moderna, la solución del siguiente sistema de${\displaystyle n}$ecuaciones lineales en${\displaystyle n}$desconocidos, ^{[ 18 ]}

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$${\displaystyle \vdots }$${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

es,

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Jámblico continúa describiendo cómo algunos sistemas de ecuaciones lineales que no están en esta forma pueden ser colocados en esta forma. ^{[ 18 ]}

Euclides ( griego : Εὐκλείδης ) fue un matemático griego que floreció en Alejandría , Egipto , casi con toda seguridad durante el reinado de Ptolomeo I (323-283  a. C.). ^{[ 20 ] [ 21 ]} Ni el año ni el lugar de su nacimiento ^{[ 20 ]} se han establecido, ni las circunstancias de su muerte.

Euclides es considerado el «padre de la geometría ». Sus Elementos son el libro de texto más exitoso en la historia de las matemáticas . ^{[ 20 ]} Aunque es uno de los matemáticos más famosos de la historia, no se le atribuyen nuevos descubrimientos; más bien se le recuerda por su gran capacidad explicativa. ^{[ 22 ]} Los Elementos no son, como a veces se cree, una recopilación de todo el conocimiento matemático griego hasta su fecha; más bien, son una introducción elemental al mismo. ^{[ 23 ]}

Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un cono con un plano . Existen tres tipos principales de secciones cónicas: elipses (incluidas las circunferencias ), parábolas e hipérbolas . Se cree que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menaechmus ^{[ 27 ]} (c. 380  a. C.  – c. 320  a. C.) y, dado que trabajar con secciones cónicas equivale a trabajar con sus respectivas ecuaciones, desempeñaron funciones geométricas equivalentes a las ecuaciones cúbicas y otras ecuaciones de orden superior.

Menaechmus sabía que en una parábola, la ecuación${\displaystyle y^{2}=lx}$sostiene, donde${\displaystyle l}$es una constante llamada lado recto , aunque desconocía que cualquier ecuación con dos incógnitas determina una curva. ^{[ 28 ]} Aparentemente, derivó estas propiedades de las secciones cónicas y otras también. Usando esta información, ahora era posible encontrar una solución al problema de la duplicación del cubo resolviendo los puntos de intersección de dos parábolas, una solución equivalente a resolver una ecuación cúbica. ^{[ 28 ]}

Eutocio nos informa que el método que utilizó para resolver la ecuación cúbica se debía a Dionisodoro (250  a. C.  – 190  a. C.). Dionisodoro resolvió la ecuación cúbica mediante la intersección de una hipérbola rectangular y una parábola. Esto estaba relacionado con un problema de la obra de Arquímedes , « Sobre la esfera y el cilindro ». Las secciones cónicas serían estudiadas y utilizadas durante miles de años por matemáticos griegos, y posteriormente islámicos y europeos. En particular, la famosa obra de Apolonio de Perga , «Cónicas », trata sobre secciones cónicas, entre otros temas.

El Chiu-chang suan-shu, o Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , escrito alrededor del año 250  a. C., es uno de los libros de matemáticas chinos más influyentes y consta de unos 246 problemas. El capítulo ocho trata sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, tanto determinadas como indeterminadas, utilizando números positivos y negativos, e incluye un problema para resolver cuatro ecuaciones con cinco incógnitas. ^{[ 29 ]}

Ts'e-yuan hai-ching , o Espejo Marino de las Medidas del Círculo , es una colección de unos 170 problemas escritos por Li Zhi (o Li Ye) (1192-1279  d. C.). Utilizó el método fan fa , o método de Horner , para resolver ecuaciones de grado hasta seis, aunque no describió su método de resolución de ecuaciones. ^{[ 30 ]}

Shu-shu chiu-chang , o Tratado matemático en nueve secciones , fue escrito por el acaudalado gobernador y ministro Ch'in Chiu-shao (c.  1202  – c.  1261). Con la introducción de un método para resolver congruencias simultáneas , ahora llamado teorema chino del resto , marca el punto culminante del análisis indeterminado chino . ^{[ 30 ]}

Los primeros cuadrados mágicos conocidos aparecieron en China. ^{[ 31 ]} En Nueve capítulos, el autor resuelve un sistema de ecuaciones lineales simultáneas colocando los coeficientes y los términos constantes de las ecuaciones lineales en un cuadrado mágico (es decir, una matriz) y realizando operaciones de reducción de columnas en el cuadrado mágico. ^{[ 31 ]} Los primeros cuadrados mágicos conocidos de orden mayor que tres se atribuyen a Yang Hui (activo c.  1261  – 1275), quien trabajó con cuadrados mágicos de orden hasta diez. ^{[ 32 ]}

El Ssy-yüan yü-chien (四元玉鑒), o Espejo Precioso de los Cuatro Elementos , fue escrito por Chu Shih-chieh en 1303 y marca la cúspide del desarrollo del álgebra china. Los cuatro elementos , llamados cielo, tierra, hombre y materia, representaban las cuatro incógnitas en sus ecuaciones algebraicas. El Ssy-yüan yü-chien trata sobre ecuaciones simultáneas y ecuaciones de grado hasta catorce. El autor utiliza el método de fan fa , hoy conocido como método de Horner , para resolver estas ecuaciones. ^{[ 33 ]}

El Espejo Precioso comienza con un diagrama del triángulo aritmético ( triángulo de Pascal ) que utiliza un símbolo de cero redondo, pero Chu Shih-chieh niega ser el autor. Un triángulo similar aparece en la obra de Yang Hui, pero sin el símbolo de cero. ^{[ 34 ]}

En el Espejo Precioso se dan muchas ecuaciones de sumatoria sin demostración . Algunas de las sumatorias son: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

Aryabhata (476–550) fue un matemático indio autor de Aryabhatiya . En él dio las reglas, ^{[ 49 ]}

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

y

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$

Brahmagupta (activo en 628) fue un matemático indio autor del Brahma Sphuta Siddhanta . En su obra, Brahmagupta resuelve la ecuación cuadrática general para raíces tanto positivas como negativas. ^{[ 50 ]} En análisis indeterminado, Brahmagupta proporciona las tríadas pitagóricas.${\displaystyle m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),}$pero esta es una forma modificada de una antigua regla babilónica con la que Brahmagupta pudo haber estado familiarizado. ^{[ 51 ]} Fue el primero en dar una solución general a la ecuación diofántica lineal.${\displaystyle ax+by=c,}$dónde${\displaystyle a,b,}$y${\displaystyle c}$son enteros . A diferencia de Diofanto, que solo dio una solución a una ecuación indeterminada, Brahmagupta dio todas las soluciones enteras; pero el hecho de que Brahmagupta utilizara algunos de los mismos ejemplos que Diofanto ha llevado a algunos historiadores a considerar la posibilidad de una influencia griega en la obra de Brahmagupta, o al menos una fuente babilónica común. ^{[ 52 ]}

Al igual que el álgebra de Diofanto, el álgebra de Brahmagupta era sincopada. La suma se indicaba colocando los números uno al lado del otro, la resta colocando un punto sobre el sustraendo y la división colocando el divisor debajo del dividendo, de forma similar a nuestra notación moderna pero sin la barra. La multiplicación, la evolución y las cantidades desconocidas se representaban mediante abreviaturas de los términos apropiados. ^{[ 52 ]} Se desconoce el alcance de la influencia griega en esta síncopa, si es que la hubo, y es posible que tanto la síncopa griega como la india deriven de una fuente babilónica común. ^{[ 52 ]}

Bhāskara II (1114 – c. 1185) fue el matemático más destacado del siglo XII. En álgebra, dio la solución general de la ecuación de Pell . ^{[ 52 ]} Es autor de Lilavati y Vija-Ganita , que contienen problemas relacionados con ecuaciones lineales y cuadráticas determinadas e indeterminadas, y ternas pitagóricas ^{[ 48 ]} y no distingue entre enunciados exactos y aproximados. ^{[ 53 ]} Muchos de los problemas de Lilavati y Vija-Ganita se derivan de otras fuentes hindúes, por lo que Bhaskara destaca especialmente en el análisis indeterminado. ^{[ 53 ]}

Bhaskara utiliza los símbolos iniciales de los nombres de los colores como símbolos de variables desconocidas. Por ejemplo, lo que hoy escribiríamos como

${\displaystyle (-x-1)+(2x-8)=x-9}$

Bhaskara habría escrito como

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

donde ya indica la primera sílaba de la palabra para negro , y ru se toma de la palabra especie . Los puntos sobre los números indican resta.

Izquierda: El manuscrito original impreso en árabe del Libro de Álgebra de Al-Juarismi . Derecha: Una página de El Álgebra de Al-Juarismi , de Fredrick Rosen, en inglés .

El matemático persa musulmán ^{[ 58 ]} Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī , descrito como el padre ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 61 ]} o fundador ^{[ 62 ] [ 63 ]} del álgebra , fue miembro de la facultad de la " Casa de la Sabiduría " ( Bait al-Hikma ) en Bagdad, que fue establecida por Al-Mamun. Al-Khwarizmi, quien murió alrededor del año 850 d. C., escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas . ^{[ 54 ]} Uno de los libros más famosos de al-Khwarizmi se titula Al-jabr wa'l muqabalah o El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y equilibrio , y ofrece una descripción exhaustiva de la resolución de polinomios hasta el segundo grado . ^{[ 64 ]} El libro también introdujo el concepto fundamental de « reducción » y «equilibrio», refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que Al-Juarismi describió originalmente como al-jabr . ^{[ 65 ]} El nombre «álgebra» proviene del « al-jabr » en el título de su libro. 

R. Rashed y Angela Armstrong escriben:

El texto de Al-Juarismi se distingue no solo de las tablillas babilónicas , sino también de la Aritmética de Diofanto . Ya no se trata de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos cuyas combinaciones deben dar lugar a todos los prototipos posibles de ecuaciones, las cuales, a partir de entonces, constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otro lado, la idea de una ecuación por sí misma aparece desde el principio y, podría decirse, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente al resolver un problema, sino que se recurre específicamente a ella para definir una clase infinita de problemas. ^{[ 66 ]}

Al-Jabr está dividido en seis capítulos, cada uno de los cuales trata un tipo diferente de fórmula. El primer capítulo de Al-Jabr trata sobre ecuaciones cuyos cuadrados son iguales a sus raíces.${\displaystyle \left(ax^{2}=bx\right),}$El segundo capítulo trata sobre cuadrados iguales a un número${\displaystyle \left(ax^{2}=c\right),}$El tercer capítulo trata sobre raíces iguales a un número.${\displaystyle \left(bx=c\right),}$El cuarto capítulo trata sobre cuadrados y raíces iguales a un número.${\displaystyle \left(ax^{2}+bx=c\right),}$El quinto capítulo trata sobre cuadrados y raíces numéricas iguales.${\displaystyle \left(ax^{2}+c=bx\right),}$y el sexto y último capítulo trata sobre raíces y números iguales a cuadrados.${\displaystyle \left(bx+c=ax^{2}\right).}$^{[ 67 ]}

En Al-Jabr , al-Juarismi utiliza demostraciones geométricas, ^{[ 17 ]} no reconoce la raíz${\displaystyle x=0,}$^{[ 67 ]} y solo trata con raíces positivas. ^{[ 68 ]} También reconoce que eldiscriminantedebe ser positivo y describe el método decompletar el cuadrado, aunque no justifica el procedimiento. ^{[ 69 ]} La influencia griega se muestra enlos fundamentos geométricos deAl-Jabr ^{[ 57 ] [ 70 ]} y en un problema tomado de Herón. ^{[ 71 ]} Utiliza diagramas con letras, pero todos los coeficientes en todas sus ecuaciones son números específicos, ya que no tenía forma de expresar con parámetros lo que podía expresar geométricamente; aunque se pretende la generalidad del método. ^{[ 17 ]}

Es muy probable que Al-Juarismi no conociera la Aritmética de Diofanto , ^{[ 72 ]} que llegó a conocimiento de los árabes en algún momento antes del siglo X. ^{[ 73 ]} Y aunque es muy probable que Al-Juarismi conociera la obra de Brahmagupta, Al-Jabr es completamente retórico, con los números incluso escritos con palabras. ^{[ 72 ]} Así, por ejemplo, lo que escribiríamos como

${\displaystyle x^{2}+10x=39}$

Diofanto habría escrito como ^{[ 74 ]}

${\displaystyle \Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;}$ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}}$

Y al-Juarismi habría escrito como ^{[ 74 ]}

Un cuadrado y diez raíces del mismo suman treinta y nueve dirhams ; es decir, ¿cuál debe ser el cuadrado que, al aumentarlo por diez de sus propias raíces, suma treinta y nueve?

'Abd al-Hamid ibn Turk escribió un manuscrito titulado Necesidades lógicas en ecuaciones mixtas , muy similar a Al- Jabr de al- Juarismi , publicado aproximadamente al mismo tiempo o incluso posiblemente antes . ^{[ 73 ]} El manuscrito ofrece la misma demostración geométrica que se encuentra en Al - Jabr , y en un caso el mismo ejemplo , e incluso va más allá al proporcionar una prueba geométrica de que si el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática no tiene solución. ^{[ 73 ]} La similitud entre estas dos obras ha llevado a algunos historiadores a concluir que el álgebra árabe podría haber estado bien desarrollada en la época de al-Juarismi y 'Abd al-Hamid. ^{[ 73 ]}

Los matemáticos árabes trataron los números irracionales como objetos algebraicos. ^{[ 75 ]} El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) fue el primero en aceptar los números irracionales en forma de raíz cuadrada o raíz cuarta como soluciones de ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. ^{[ 76 ]} También fue el primero en resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas . ^{[ 77 ]}

Al-Karaji (953–1029), también conocido como Al-Karkhi, fue el sucesor de Abū al-Wafā' al-Būzjānī (940–998) y descubrió la primera solución numérica a ecuaciones de la forma${\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}=c.}$^{[ 78 ]} Al-Karaji solo consideró raíces positivas. ^{[ 78 ]} También se le considera la primera persona en liberar el álgebra degeométricasy reemplazarlas con el tipo dearitméticasque constituyen el núcleo del álgebra actual. Su trabajo sobre álgebra y polinomios proporcionó las reglas para que las operaciones aritméticas manipularan polinomios. Elhistoriador de las matemáticasF. Woepcke, enExtrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi(París, 1853), elogió a Al-Karaji por ser "el primero en introducir la teoría del cálculo algebraico". A partir de esto, Al-Karaji investigólos coeficientes binomialesyel triángulo de Pascal. ^{[ 79 ]}

Omar Khayyám (c. 1050 – 1123) escribió un libro sobre álgebra que fue más allá de Al-Jabr para incluir ecuaciones de tercer grado. ^{[ 80 ]} Omar Khayyám proporcionó soluciones tanto aritméticas como geométricas para ecuaciones cuadráticas, pero solo dio soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas generales , ya que creía erróneamente que las soluciones aritméticas eran imposibles. ^{[ 80 ]} Su método para resolver ecuaciones cúbicas usando cónicas secantes había sido utilizado por Menaechmus , Arquímedes e Ibn al-Haytham (Alhazen) , pero Omar Khayyám generalizó el método para cubrir todas las ecuaciones cúbicas con raíces positivas. ^{[ 80 ]} Solo consideró raíces positivas y no fue más allá del tercer grado. ^{[ 80 ]} También vio una fuerte relación entre la geometría y el álgebra. ^{[ 80 ]}

En el siglo XII, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213) escribió el Al-Mu'adalat ( Tratado sobre ecuaciones ), que trataba sobre ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que podían no tener soluciones positivas. Utilizó lo que más tarde se conocería como el " método de Ruffini - Horner " para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También desarrolló los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que podían no tener soluciones positivas. ^{[ 81 ]} Comprendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica y utilizó una versión temprana de la fórmula de Cardano ^{[ 82 ]} para hallar soluciones algebraicas a ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. Algunos estudiosos, como Roshdi Rashed, sostienen que Sharaf al-Din descubrió la derivada de los polinomios cúbicos y comprendió su importancia, mientras que otros estudiosos relacionan su solución con las ideas de Euclides y Arquímedes. ^{[ 83 ]}

Sharaf al-Din también desarrolló el concepto de función . ^{[ 84 ]} En su análisis de la ecuación${\displaystyle x^{3}+d=bx^{2}}$por ejemplo, comienza cambiando la forma de la ecuación a${\displaystyle x^{2}(b-x)=d}$Luego afirma que la cuestión de si la ecuación tiene solución depende de si la "función" del lado izquierdo alcanza o no el valor${\displaystyle d}$Para determinar esto, encuentra un valor máximo para la función. Demuestra que el valor máximo se produce cuando${\displaystyle \textstyle x={\frac {2b}{3}}}$, lo que da el valor funcional${\displaystyle \textstyle {\frac {4b^{3}}{27}}}$. Sharaf al-Din afirma entonces que si este valor es menor que${\displaystyle d}$, no hay soluciones positivas; si es igual a${\displaystyle d}$, entonces hay una solución en${\displaystyle \textstyle x={\frac {2b}{3}}}$; y si es mayor que${\displaystyle d}$, entonces hay dos soluciones, una entre${\displaystyle 0}$y${\displaystyle \textstyle {\frac {2b}{3}}}$y uno entre${\displaystyle \textstyle {\frac {2b}{3}}}$y${\displaystyle b}$. ^{[ 85 ]}

A principios del siglo XV, Jamshīd al-Kāshī desarrolló una forma temprana del método de Newton para resolver numéricamente la ecuación.${\displaystyle x^{P}-N=0}$encontrar raíces de${\displaystyle N}$[ ^{86 ]} Al-Kāshī también desarrolló fracciones decimales y afirmó haberlas descubierto él mismo. Sin embargo, J. Lennart Berggrenn señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes por el ^matemático bagdadí Abu'l -Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. ^{[ 77 ]}

Al-Hassār , matemático marroquí especializado en jurisprudencia islámica sobre herencias durante el siglo XII, desarrolló la notación matemática simbólica moderna para fracciones , donde el numerador y el denominador están separados por una barra horizontal. Esta misma notación fraccionaria apareció poco después en la obra de Fibonacci en el siglo XIII. ^{[ 87 ]}

Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī (1412–1486) fue el último gran algebrista árabe medieval , quien realizó el primer intento de crear una notación algebraica desde Ibn al-Banna dos siglos antes, quien a su vez fue el primero en hacer tal intento desde Diofanto y Brahmagupta en la antigüedad. ^{[ 88 ]} Sin embargo, las notaciones sincopadas de sus predecesores carecían de símbolos para las operaciones matemáticas . ^{[ 42 ]} Al-Qalasadi "dio los primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico usando letras en lugar de números" ^{[ 88 ]} y usando "palabras árabes cortas, o solo sus letras iniciales, como símbolos matemáticos". ^{[ 88 ]}

El matemático italiano Fibonacci introdujo las ideas y técnicas de al-Juarismi en Europa en sus obras, sobre todo en Liber Abaci . ^{[ 90 ]} En 1545, el polímata italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que abarcaba muchos temas de álgebra, trataba sobre números imaginarios y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^{[ 91 ]}

Mientras el mundo islámico entraba en decadencia después del siglo XV, el mundo europeo emergía. Y fue allí donde el álgebra se desarrolló aún más.

Por tradición, la primera variable desconocida en un problema algebraico se representa hoy en día con el símbolo${\displaystyle {\mathit {x}}}$y si hay una segunda o tercera incógnita, entonces estas se etiquetan${\displaystyle {\mathit {y}}}$y${\displaystyle {\mathit {z}}}$respectivamente. Algebraico${\displaystyle x}$Se imprime convencionalmente en cursiva para distinguirlo del signo de multiplicación.

Los historiadores matemáticos ^{[ 95 ]} generalmente coinciden en que el uso de${\displaystyle x}$La introducción del álgebra por René Descartes se publicó por primera vez en su tratado La Géométrie (1637). ^{[ 96 ] [ 97 ]} En esa obra, utilizó letras del principio del alfabeto.${\displaystyle (a,b,c,\ldots )}$para cantidades conocidas y letras del final del alfabeto${\displaystyle (z,y,x,\ldots )}$para desconocidos. ^{[ 98 ]} Se ha sugerido que más tarde se decidió por${\displaystyle x}$(en lugar de${\displaystyle z}$) para el primero desconocido debido a su relativa mayor abundancia en las fuentes tipográficas francesas y latinas de la época. ^{[ 99 ]}

Tres teorías alternativas sobre el origen del algebraico${\displaystyle x}$Se sugirieron en el siglo XIX: (1) un símbolo utilizado por algebristas alemanes y que se creía derivado de una letra cursiva.${\displaystyle r,}$confundido con${\displaystyle x}$; ^{[ 100 ]} (2) el numeral 1 con tachado oblicuo ; ^{[ 101 ]} y (3) una fuente árabe/española (véase más abajo). Pero el historiador suizo-estadounidense de las matemáticas Florian Cajori examinó estas y encontró que las tres carecían de evidencia concreta; Cajori atribuyó a Descartes la autoría y describió su${\displaystyle x,y,}$y${\displaystyle z}$como "libres de tradición[], y su elección puramente arbitraria". ^{[ 102 ]}

Sin embargo, la hipótesis hispanoárabe sigue teniendo presencia en la cultura popular actual. ^{[ 103 ]} Es la afirmación de que algebraica${\displaystyle x}$es la abreviatura de un supuesto préstamo del árabe en español antiguo. La teoría se originó en 1884 con el orientalista alemán Paul de Lagarde , poco después de publicar su edición de un glosario bilingüe español/árabe de 1505 ^{[ 104 ]} en el que la palabra española cosa ("cosa") se emparejaba con su equivalente árabe, شىء ( shay ^ʔ ), transcrito como xei . (El sonido "sh" en español antiguo se escribía habitualmente${\displaystyle x.}$Evidentemente, Lagarde era consciente de que los matemáticos árabes, en la etapa "retórica" ​​del desarrollo del álgebra, a menudo usaban esa palabra para representar la cantidad desconocida. Supuso que "nada podría ser más natural" ("Nichts war also natürlicher...") que la inicial de la palabra árabe, romanizada como el antiguo español.${\displaystyle x}$—para ser adoptado para su uso en álgebra. ^{[ 105 ]} Un lector posterior reinterpretó la conjetura de Lagarde como si hubiera "probado" el punto. ^{[ 106 ]} Lagarde desconocía que los primeros matemáticos españoles usaban, no una transcripción de la palabra árabe, sino su traducción en su propio idioma, "cosa". ^{[ 107 ]} No hay ningún caso de xei o formas similares en varios vocabularios históricos compilados del español. ^{[ 108 ] [ 109 ]}

Aunque la noción matemática de función estaba implícita en las tablas trigonométricas y logarítmicas que existían en su época, Gottfried Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearla explícitamente para denotar cualquiera de varios conceptos geométricos derivados de una curva, como la abscisa , la ordenada , la tangente , la cuerda y la perpendicular . ^{[ 110 ]} En el siglo XVIII, "función" perdió estas asociaciones geométricas.

Leibniz se percató de que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían organizarse en una matriz , la cual podía manipularse para hallar la solución del sistema, si la hubiera. Este método se denominó posteriormente eliminación gaussiana . Leibniz también descubrió el álgebra booleana y la lógica simbólica , igualmente relevantes para el álgebra.