Propiedad de Howson

En la disciplina matemática de la teoría de grupos , la propiedad de Howson , también conocida como propiedad de intersección finitamente generada (FGIP) , es la propiedad de un grupo que dice que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de este grupo es a su vez finitamente generada. La propiedad recibe su nombre de Albert G. Howson , quien en un artículo de 1954 estableció que los grupos libres tienen esta propiedad. ^[1]

Se dice que un grupo tiene la propiedad de Howson si para cada subgrupo finitamente generado de su intersección hay nuevamente un subgrupo finitamente generado de . ^[2]${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización H,K}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización H\cap K}$${\estilo de visualización G}$

• Todo grupo finito tiene la propiedad de Howson.
• El grupo no tiene la propiedad de Howson. En concreto, si es el generador del factor de , entonces para y , se tiene . Por lo tanto, no es finitamente generado. ^[3]${\displaystyle G=F(a,b)\times \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle H=F(a,b)}$${\displaystyle K=\langle a,tb\rangle \leq G}$${\displaystyle H\cap K=\nombre del operador {ncl} _{F(a,b)}(a)}$${\estilo de visualización H\cap K}$
• Si es una superficie compacta entonces el grupo fundamental de tiene la propiedad de Howson. ^[4]${\estilo de visualización \Sigma}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\Sigma )}$${\estilo de visualización \Sigma}$
• Un grupo cíclico infinito libre por (grupo cíclico infinito) , donde , nunca tiene la propiedad de Howson. ^[5]${\displaystyle F_{n}\rtimes \mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq 2}$
• En vista de la reciente prueba de la conjetura de Haken virtualmente y la conjetura de fibra virtualmente para 3-variedades, los resultados establecidos previamente implican que si M es una 3-variedad hiperbólica cerrada, entonces no tiene la propiedad de Howson. ^[6]$estilo de visualización {\pi _{1}(M)}$
• Entre los grupos 3-variedades, hay muchos ejemplos que tienen y no tienen la propiedad de Howson. Los grupos 3-variedades con la propiedad de Howson incluyen grupos fundamentales de 3-variedades hiperbólicas de volumen infinito, grupos 3-variedades basados ​​en geometrías Sol y Nil , así como grupos 3-variedades obtenidos por algunas construcciones de suma conectada y descomposición JSJ . ^[6]
• Para cada grupo Baumslag –Solitar se tiene la propiedad de Howson. ^[3]${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle BS(1,n)=\langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle }$
• Si G es un grupo en el que cada subgrupo finitamente generado es noetheriano , entonces G tiene la propiedad de Howson. En particular, todos los grupos abelianos y todos los grupos nilpotentes tienen la propiedad de Howson.
• Todo grupo policíclico por finito tiene la propiedad de Howson. ^[7]
• Si son grupos con la propiedad de Howson entonces su producto libre también tiene la propiedad de Howson. ^[8] De manera más general, la propiedad de Howson se conserva tomando productos libres amalgamados y extensión HNN de grupos con la propiedad de Howson sobre subgrupos finitos. ^[9]${\estilo de visualización A,B}$${\estilo de visualización A\ast B}$
• En general, la propiedad de Howson es bastante sensible a los productos amalgamados y a las extensiones HNN sobre subgrupos infinitos. En particular, para grupos libres y un grupo cíclico infinito , el producto libre amalgamado tiene la propiedad de Howson si y solo si es un subgrupo cíclico máximo tanto en como en . ^[10]${\estilo de visualización F,F'}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle R\ast_{C}F'}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F'}$
• Un grupo de Artin en ángulo recto tiene la propiedad de Howson si y sólo si cada componente conectado es un gráfico completo. ^[11]${\displaystyle A(\Gamma )}$${\estilo de visualización \Gamma}$
• Los grupos límite tienen la propiedad de Howson. ^[12]
• No se sabe si tiene la propiedad Howson. ^[13]${\displaystyle SL(3,\mathbb {Z} )}$
• Porque el grupo contiene un subgrupo isomorfo a y no tiene la propiedad de Howson. ^[13]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle F(a,b)\times F(a,b)}$
• Muchos grupos de cancelación pequeños y grupos de Coxeter , que satisfacen la condición de "reducción de perímetro" en su presentación, son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. ^{[14] [15]}
• Los grupos de un solo relator , donde también son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. ^[16]${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle }$${\displaystyle n\geq |r|}$
• El grupo Grigorchuk G de crecimiento intermedio no tiene la propiedad de Howson. ^[17]
• La propiedad de Howson no es una propiedad de primer orden , es decir, la propiedad de Howson no puede caracterizarse mediante una colección de fórmulas de lenguaje de grupo de primer orden . ^[18]
• Un grupo pro-p libre satisface una versión topológica de la propiedad de Howson: si son subgrupos cerrados de generados topológicamente de manera finita, entonces su intersección es generada topológicamente de manera finita. ^[19]${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización H,K}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización H\cap K}$
• Para cualquier número entero fijo, un grupo generador- relacionador "genérico" tiene la propiedad de que, para cualquier subgrupo generado, su intersección se genera nuevamente de manera finita. ^[20]${\displaystyle m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\dots,r_{n}\rangle }$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización H,K\leq G}$${\estilo de visualización H\cap K}$
• El producto de corona no tiene la propiedad de Howson. ^[21]${\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }$
• El grupo de Thompson no tiene la propiedad de Howson, ya que contiene . ^[22]${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z} }$

• Conjetura de Hanna Neumann