Teorema de Hurwitz (álgebras de composición)

En matemáticas , el teorema de Hurwitz es un teorema de Adolf Hurwitz , publicado póstumamente en 1923, que resuelve el problema de Hurwitz para álgebras reales no asociativas unitarias de dimensión finita dotadas de una forma cuadrática definida positiva no degenerada . El teorema establece que si la forma cuadrática define un homomorfismo en los números reales positivos en la parte no nula del álgebra, entonces el álgebra debe ser isomorfa a los números reales , los números complejos , los cuaterniones o los octoniones , y que no existen otras posibilidades. Dichas álgebras, a veces llamadas álgebras de Hurwitz , son ejemplos de álgebras de composición .

La teoría de las álgebras de composición se ha generalizado posteriormente a formas cuadráticas arbitrarias y cuerpos arbitrarios . ^{[ 1 ]} El teorema de Hurwitz implica que las fórmulas multiplicativas para sumas de cuadrados solo pueden aparecer en 1, 2, 4 y 8 dimensiones, un resultado demostrado originalmente por Hurwitz en 1898. Es un caso especial del problema de Hurwitz , resuelto también en Radon (1922) . Demostraciones posteriores de las restricciones en la dimensión han sido dadas por Eckmann (1943) utilizando la teoría de representación de grupos finitos y por Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizando álgebras de Clifford . El teorema de Hurwitz se ha aplicado en topología algebraica a problemas sobre campos vectoriales en esferas y los grupos de homotopía de los grupos clásicos ^{[ 2 ]} y en mecánica cuántica a la clasificación de álgebras de Jordan simples . ^{[ 3 ]}

Las demostraciones de Lee (1948) y Chevalley (1954) utilizan álgebras de Clifford para mostrar que la dimensión N de A debe ser 1, 2, 4 u 8. De hecho, los operadores L ( a ) con ( a , 1) = 0 satisfacen L ( a ) ² = −‖ a ‖ ² y, por lo tanto, forman un álgebra de Clifford real. Si a es un vector unitario, entonces L ( a ) es antisimétrico-adjunto con cuadrado − I . Por lo tanto, N debe ser par o 1 (en cuyo caso A no contiene vectores unitarios ortogonales a 1). El álgebra de Clifford real y su complejización actúan sobre la complejización de A , un espacio complejo N -dimensional. Si N es par, N − 1 es impar , por lo que el álgebra de Clifford tiene exactamente dos representaciones irreducibles complejas de dimensión 2 ^{N /2 − 1} . Por lo tanto, esta potencia de 2 debe dividir a N . Es fácil ver que esto implica que N solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

La demostración de Eckmann (1943) utiliza la teoría de representación de grupos finitos , o la teoría de representación proyectiva de 2-grupos abelianos elementales , que se sabe que es equivalente a la teoría de representación de álgebras de Clifford reales. De hecho, tomar una base ortonormal e _i del complemento ortogonal de 1 da lugar a operadores U _i = L ( e _i ) que satisfacen

${\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}$

Esta es una representación proyectiva de un producto directo de N − 1 grupos de orden 2. ( Se supone que N es mayor que 1). Los operadores U _i por construcción son antisimétricos y ortogonales. De hecho, Eckmann construyó operadores de este tipo de una manera ligeramente diferente pero equivalente. De hecho, es el método seguido originalmente en Hurwitz (1923) . ^{[ 6 ]} Supongamos que existe una ley de composición para dos formas

${\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}$

donde z _i es bilineal en x e y . Por lo tanto

${\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}$

donde la matriz T ( x ) = ( a _ij ) es lineal en x . Las relaciones anteriores son equivalentes a

${\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}$

Escribiendo

${\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}$

las relaciones se convierten

${\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}$

Ahora definimos V _i = ( T _N ) ^t T _i . Por lo tanto, V _N = I y los V ₁ , ... , V _{N − 1} son antisimétricos, ortogonales y satisfacen exactamente las mismas relaciones que los U _i :

${\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}$

Dado que V _i es una matriz ortogonal con cuadrado − I en un espacio vectorial real , N es par.

Sea G el grupo finito generado por elementos v _i tales que

${\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}$

donde ε es central de orden 2. El subgrupo conmutador [ G , G ] está formado solo por 1 y ε . Si N es impar, esto coincide con el centro, mientras que si N es par, el centro tiene orden 4 con elementos adicionales γ = v ₁ ... v _{N − 1} y ε γ . Si g en G no está en el centro, su clase de conjugación es exactamente g y εg . Por lo tanto, hay 2 ^{N − 1} + 1 clases de conjugación para N impar y 2 ^{N − 1} + 2 para N par. G tiene | G / [ G , G ] | = 2 ^{N − 1} representaciones complejas unidimensionales. El número total de representaciones complejas irreducibles es el número de clases de conjugación. Entonces, como N es par, hay dos representaciones complejas irreducibles más. Como la suma de los cuadrados de las dimensiones es igual a | G | y las dimensiones dividen | G | , los dos irreducibles deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . Cuando N es par, hay dos y su dimensión debe dividir el orden del grupo, por lo que es una potencia de dos, por lo que ambos deben tener dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . El espacio en el que actúan los V _i se puede complejizar. Tendrá dimensión compleja N . Se divide en algunas representaciones irreducibles complejas de G , todas con dimensión 2 ^{( N − 2)/2} . En particular, esta dimensión es ≤ N , por lo que N es menor o igual que 8. Si N = 6 , la dimensión es 4, que no divide a 6. Por lo tanto, N solo puede ser 1, 2, 4 u 8.

Sea A un álgebra de Hurwitz euclidiana y sea M _n ( A ) el álgebra de matrices n × n sobre A . Es un álgebra unitaria no asociativa con una involución dada por

${\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}$

La traza Tr( X ) se define como la suma de los elementos diagonales de X y la traza de valor real mediante Tr _R ( X ) = Re Tr( X ) . La traza de valor real satisface:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}$

Estas son consecuencias inmediatas de las identidades conocidas para n = 1 .

En A defina el asociador por

${\displaystyle \displaystyle {[a,b,c]=a(bc)-(ab)c.}}$

Es trilineal y se anula idénticamente si A es asociativa. Dado que A es un álgebra alternativa , [ a , a , b ] = 0 y [ b , a , a ] = 0. Polarizándola, se deduce que el asociador es antisimétrico en sus tres entradas. Además, si a , b o c están en R, _entonces [ a , b , c ] = 0. Estos hechos implican que M3 ( A ) tiene ciertas propiedades de conmutación. De hecho, si X es una matriz en M3 ( A ) con entradas reales en la diagonal, _entonces

${\displaystyle \displaystyle {[X,X^{2}]=aI,}}$

con a en A. De hecho, si Y = [ X , X ² ] , entonces

${\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }[x_{ik},x_{k\ell },x_{\ell j}].}}$

Dado que los elementos diagonales de X son reales, los elementos fuera de la diagonal de Y se anulan. Cada elemento diagonal de Y es una suma de dos asociadores que involucran solo términos fuera de la diagonal de X. Como los asociadores son invariantes bajo permutaciones cíclicas , los elementos diagonales de Y son todos iguales.

Sea H _n ( A ) el espacio de elementos autoadjuntos en M _n ( A ) con producto X ∘ Y = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( X Y + Y X ) y producto interno ( X , Y ) = Tr _R ( X Y ) .

Teorema. H _n ( A ) es un álgebra de Jordan euclidiana si A es asociativa (los números reales, los números complejos o los cuaterniones) y n ≥ 3 o si A no es asociativa (los octoniones) y n = 3 .

El excepcional álgebra de Jordan H ₃ ( O ) se llama álgebra de Albert en honor a AA Albert .

Para comprobar que H _n ( A ) satisface los axiomas de un álgebra de Jordan euclidiana, la traza real define una forma bilineal simétrica con ( X , X ) = Σ ‖ x _ij ‖ ² . Por lo tanto, es un producto interno. Satisface la propiedad de asociatividad ( Z ∘ X , Y ) = ( X , Z ∘ Y ) debido a las propiedades de la traza real. El axioma principal a comprobar es la condición de Jordan para los operadores L ( X ) definidos por L ( X ) Y = X ∘ Y :

${\displaystyle \displaystyle {[L(X),L(X^{2})]=0.}}$

Esto es fácil de comprobar cuando A es asociativa, ya que M _n ( A ) es un álgebra asociativa, por lo que es un álgebra de Jordan con X ∘ Y = 1 / 2 ( X Y + Y X ) . Cuando A = O y n = 3 se requiere un argumento especial, uno de los más cortos debido a Freudenthal (1951) . ^{[ 7 ]}

De hecho, si T está en H ₃ ( O ) con Tr T = 0 , entonces

${\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}$

define una derivación sesgada adjunta de H ₃ ( O ) . De hecho,

${\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}$

de modo que

${\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}$

Rendimientos polarizantes:

${\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}$

Si se establece Z = 1, se demuestra que D es antisimétrico-adjunto. La propiedad de derivación D ( X ∘ Y ) = D ( X )∘ Y + X ∘ D ( Y ) se deduce de esto y de la propiedad asociativa del producto interno en la identidad anterior.

Con A y n como en el enunciado del teorema, sea K el grupo de automorfismos de E = H _n ( A ) que deja invariante el producto interno. Es un subgrupo cerrado de O ( E ) por lo que es un grupo de Lie compacto . Su álgebra de Lie consiste en derivaciones sesgadas-adjuntas. Freudenthal (1951) demostró que dado X en E hay un automorfismo k en K tal que k ( X ) es una matriz diagonal . (Por autoadjuntividad las entradas diagonales serán reales.) El teorema de diagonalización de Freudenthal implica inmediatamente la condición de Jordan, ya que los productos de Jordan por matrices diagonales reales conmutan en M _n ( A ) para cualquier álgebra no asociativa A .

Para demostrar el teorema de diagonalización, tomemos X en E. Por compacidad, k puede elegirse en K minimizando las sumas de los cuadrados de las normas de los términos fuera de la diagonal de k ( X ) . Dado que K conserva las sumas de todos los cuadrados, esto es equivalente a maximizar las sumas de los cuadrados de las normas de los términos diagonales de k ( X ) . Reemplazando X por k X , se puede suponer que el máximo se alcanza en X . Dado que el grupo simétrico S _n , actuando mediante la permutación de las coordenadas, se encuentra en K , si X no es diagonal, se puede suponer que x ₁₂ y su adjunto x ₂₁ son distintos de cero. Sea T la matriz sesgada adjunta con entrada (2, 1) a , entrada (1, 2) − a * y 0 en el resto y sea D la derivación ad T de E . Sea k _t = exp tD en K . Entonces, solo las dos primeras entradas diagonales en X ( t ) = k _t X difieren de las de X . Las entradas diagonales son reales. La derivada de x ₁₁ ( t ) en t = 0 es la coordenada (1, 1) de [ T , X ] , es decir a * x ₂₁ + x ₁₂ a = 2( x ₂₁ , a ) . Esta derivada es distinta de cero si a = x ₂₁ . Por otro lado, el grupo k _t conserva la traza de valor real. Como solo puede cambiar x ₁₁ y x ₂₂ , conserva su suma. Sin embargo, en la recta x + y = constante, x ² + y ² no tiene máximo local (solo un mínimo global), una contradicción. Por lo tanto, X debe ser diagonal.

• Forma cuadrática multiplicativa
• Número de Radon-Hurwitz
• Teorema de Frobenius

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