Álgebra de composición

En matemáticas , un álgebra de composición A sobre un cuerpo K es un álgebra no necesariamente asociativa sobre K junto con una forma cuadrática no degenerada N que satisface

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

para todo x e y en A.

Un álgebra de composición incluye una involución llamada conjugación :${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$La forma cuadrática${\displaystyle N(x)=xx^{*}}$se denomina norma del álgebra.

Un álgebra de composición ( A , ∗, N ) es un álgebra de división o un álgebra escindida , dependiendo de la existencia de un v distinto de cero en A tal que N ( v ) = 0, llamado vector nulo . ^{[ 1 ]} Cuando x no es un vector nulo, el inverso multiplicativo de x es${\estilo de texto {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$. Cuando hay un vector nulo distinto de cero, N es una forma cuadrática isotrópica y "el álgebra se divide".

Toda álgebra de composición unitaria sobre un cuerpo K puede obtenerse mediante la aplicación repetida de la construcción de Cayley-Dickson partiendo de K (si la característica de K es diferente de 2 ) o de una subálgebra de composición bidimensional (si char( K ) = 2 ). Las dimensiones posibles de un álgebra de composición son 1 , 2 , 4 y 8. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• Las álgebras de composición unidimensionales solo existen cuando char( K ) ≠ 2 .
• Las álgebras de composición de dimensión 1 y 2 son conmutativas y asociativas.
• Las álgebras de composición de dimensión 2 son extensiones de campo cuadráticas de K o isomorfas a K ⊕ K.
• Las álgebras de composición de dimensión 4 se denominan álgebras de cuaterniones . Son asociativas pero no conmutativas.
• Las álgebras de composición de dimensión 8 se denominan álgebras de octoniones . No son ni asociativas ni conmutativas.

Para una terminología consistente, las álgebras de dimensión 1 se han llamado unarion , y las de dimensión 2 binarion . ^{[ 5 ]}

Toda álgebra de composición es un álgebra alternativa . ^{[ 6 ]}

Utilizando la forma duplicada ( _  : _ ): A × A → K definida por${\displaystyle (a:b)=N(a+b)-N(a)-N(b)=ab^{*}+ba^{*},}$entonces la traza de a viene dada por ⁠${\displaystyle (a:1)=a+a^{*}}$y el conjugado por${\displaystyle a^{*}=(a:1)ea}$¿ Dónde ?${\displaystyle e}$⁠ es la identidad multiplicativa de ⁠${\displaystyle A}$Una serie de ejercicios demuestra que un álgebra de composición es siempre un álgebra alternativa ^. [ ^{7 ]}

Cuando el campo K se toma como los números complejos C y la forma cuadrática z ² , entonces cuatro álgebras de composición sobre C son C mismo , los números bicomplejos , los bicuaterniones (isomorfos al anillo de matriz compleja de 2 × 2 M(2, C ) ), y los bioctoniones C ⊗ O , que también se llaman octoniones complejos.

El anillo de matrices M(2, C ) ha sido durante mucho tiempo objeto de interés, primero como biquaterniones por Hamilton (1853), luego en la forma de matriz isomorfa, y especialmente como álgebra de Pauli .

La función de elevación al cuadrado N ( x ) = x² en el cuerpo ^de los números reales forma el álgebra de composición primordial. Cuando el cuerpo K se toma como los números reales R , entonces hay solo otras seis álgebras de composición reales. ^{[ 3 ] : 166} En dos, cuatro y ocho dimensiones hay tanto un álgebra de división como un álgebra de descomposición :

binarios: números complejos con forma cuadrática x ² + y ² y números complejos divididos con forma cuadrática x ² − y ² ,

cuaterniones y cuaterniones divididos ,

octoniones y octoniones divididos .

Cada álgebra de composición tiene asociada una forma bilineal B( x,y ) construida con la norma N y una identidad de polarización :

${\displaystyle B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}$^{[ 8 ]}

La composición de sumas de cuadrados fue observada por varios autores tempranos. Diofanto conocía la identidad que involucra la suma de dos cuadrados, ahora llamada identidad de Brahmagupta-Fibonacci , que también se articula como una propiedad de las normas euclidianas de números complejos cuando se multiplican. Leonhard Euler discutió la identidad de cuatro cuadrados en 1748, y esto llevó a WR Hamilton a construir su álgebra de cuatro dimensiones de cuaterniones . ^{[ 5 ] : 62} En 1848 se describieron las tessarinas, dando la primera luz sobre los números bicomplejos.

Hacia 1818, el erudito danés Ferdinand Degen demostró la identidad de ocho cuadrados de Degen , que posteriormente se relacionó con las normas de los elementos del álgebra de octoniones :

Históricamente, la primera álgebra no asociativa, los números de Cayley ... surgió en el contexto del problema de la teoría de números de las formas cuadráticas que permiten la composición... esta cuestión de la teoría de números puede transformarse en una que concierne a ciertos sistemas algebraicos, las álgebras de composición... ^{[ 5 ] : 61}

En 1919, Leonard Dickson impulsó el estudio del problema de Hurwitz con una revisión de los esfuerzos realizados hasta la fecha y al mostrar el método de duplicar los cuaterniones para obtener números de Cayley . Introdujo una nueva unidad imaginaria e , y para los cuaterniones q y Q escribe un número de Cayley q + Q e . Denotando el conjugado del cuaternión por q ′ , el producto de dos números de Cayley es ^{[ 9 ].}

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}$

El conjugado de un número de Cayley es q' – Q e , y la forma cuadrática es qq ′ + QQ ′ , que se obtiene multiplicando el número por su conjugado. El método de duplicación se conoce como la construcción de Cayley-Dickson .

En 1923, el caso de las álgebras reales con formas definidas positivas quedó delimitado por el teorema de Hurwitz (álgebras de composición) .

En 1931, Max Zorn introdujo una gamma (γ) en la regla de multiplicación en la construcción de Dickson para generar octoniones divididos . ^{[ 10 ]} Adrian Albert también utilizó la gamma en 1942 cuando demostró que la duplicación de Dickson podía aplicarse a cualquier cuerpo con la función de cuadratura para construir álgebras de binarion, cuaterniones y octoniones con sus formas cuadráticas. ^{[ 11 ]} Nathan Jacobson describió los automorfismos de las álgebras de composición en 1958. ^{[ 2 ]}

Las álgebras de composición clásicas sobre R y C son álgebras unitarias . HP Petersson ( álgebras de Petersson ), Susumu Okubo ( álgebras de Okubo ) y otros hallaron álgebras de composición sin identidad multiplicativa . ^{[ 12 ] : 463–81}

• Cuadrado mágico de Freudenthal
• Forma de Pfister
• Trialidad

• Faraut, Jacques; Korányi, Adam (1994). Análisis de conos simétricos . Monografías Matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York. pp. 81–86 . ISBN  0-19-853477-9. MR 1446489 . 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol.  67. Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• Harvey, F. Reese (1990). Espinores y calibraciones . Perspectivas en matemáticas. Vol.  9. San Diego: Academic Press . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .