Panales uniformes en el espacio hiperbólico

Aquí se enumeran los nueve grupos compactos de Coxeter con sus diagramas de Coxeter , ^{[ 1 ]} en orden de los volúmenes relativos de sus dominios simples fundamentales . ^{[ 2 ]}

Estas 9 familias generan un total de 76 panales uniformes únicos. La lista completa de panales uniformes hiperbólicos no ha sido probada y existe un número desconocido de formas no wythoffianas. Dos ejemplos conocidos se citan con la familia {3,5,3} a continuación. Solo dos familias están relacionadas como una división por eliminación de espejo: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,3,4,1 ⁺ ].

Hay solo dos subgrupos radicales con dominios no simpliciales que se pueden generar eliminando un conjunto de dos o más espejos separados por todos los demás espejos por ramas de orden par. Uno es [(4,3,4,3 ^* )], representado por diagramas de Coxeter como un subgrupo de índice 6 con un dominio fundamental trapezoédrico trigonal ↔ , que se puede extender restaurando un espejo como . El otro es [4,(3,5) ^* ], de índice 120 con un dominio fundamental dodecaédrico .

También existen 23 grupos de Coxeter paracompactos de rango 4 que producen panales uniformes paracompactos con facetas o figuras de vértices infinitas o ilimitadas , incluyendo vértices ideales en el infinito.

Existen otros grupos de Coxeter paracompactos como dominios fundamentales de politopos de Vinberg , incluyendo estos dominios fundamentales de bipirámides triangulares (tetraedros dobles) como grafos de rango 5 que incluyen espejos paralelos. Existen panales uniformes como todas las permutaciones de anillos en estos grafos, con la restricción de que al menos un nodo debe estar anillado a través de ramas de orden infinito.

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [3,5,3] o

Una forma no wythoffiana relacionada se construye a partir de la figura de vértices {3,5,3} con 4 vértices (dispuestos tetraédricamente) eliminados, creando antiprismas pentagonales y dodecaedros que rellenan los huecos, llamado dodecaedro tetraédricamente disminuido. ^{[ 3 ]} Otra se construye eliminando 2 vértices antipodales. ^{[ 4 ]}

Las formas bitruncadas y runcinadas (5 y 6) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {4,10|3} y {10,4|3}.

Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [5,3,4] o .

Esta familia está relacionada con el grupo [5,3 ^1,1 ] por una semi-simetría [5,3,4,1 ⁺ ], o ↔ , cuando el último espejo después de la rama de orden 4 está inactivo, o como una alternancia si el tercer espejo está inactivo ↔ .

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [5,3,5] o

Las formas bitruncadas y runcinadas (29 y 30) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {4,6|5} y {6,4|5}.

Hay 11 formas (y solo 4 que no se comparten con la familia [5,3,4]), generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [5,3 ^1,1 ] o . Si los estados del anillo de ramificación coinciden, una simetría extendida puede duplicarse en la familia [5,3,4], ↔ .

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

Las formas bitruncadas y runcinadas (41 y 42) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {8,6|3} y {6,8|3}.

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

Las formas bitruncadas y runcinadas (50 y 51) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.

Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : . Hay 4 simetrías extendidas posibles basadas en la simetría de los anillos: , , , y .

Esta familia de simetría también está relacionada con un subgrupo radical, índice 6, ↔ , construido por [(4,3,4,3 ^* )], y representa un dominio fundamental de trapezoedro trigonal .

Las formas truncadas (57 y 58) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {6,6|4} y {8,8|3}.

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

Las formas truncadas (65 y 66) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.

Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : . Hay 4 simetrías extendidas posibles basadas en la simetría de los anillos: , , , y .

Las formas truncadas (72 y 73) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {6,6|5} y {10,10|3}.

Existen infinitos panales hiperbólicos compactos uniformes no wythoffianos conocidos, y es posible que haya muchos más por descubrir. Dos de ellos se han enumerado anteriormente como disminuciones del panal icosaédrico {3,5,3}. ^{[ 6 ]}

En 1997, Wendy Krieger descubrió una serie infinita de panales hiperbólicos uniformes con figuras de vértice pseudoicosaédricas , formados por 8 cubos y 12 prismas p -gonales en un vértice para cualquier entero p . En el caso p = 4 (un icosaedro regular), todas las celdas son cubos y el resultado es el panal cúbico de orden 5. El caso p = 2 (con el pseudoicosaedro degenerando en un octaedro regular) degenera en el panal cúbico euclidiano . ^{[ 6 ]}

Otros cuatro conocidos están relacionados con familias no compactas . La teselación consiste en cubos truncados y teselaciones triangulares de orden 8 infinito . Sin embargo, estas últimas intersecan la esfera en el infinito ortogonalmente, teniendo exactamente la misma curvatura que el espacio hiperbólico, y pueden ser reemplazadas por imágenes especulares del resto de la teselación, resultando en un panal uniforme compacto que consiste solo en los cubos truncados. (Por lo tanto, son análogos a las hemicaras de los hemipoliedros esféricos ). ^{[ 6 ] [ 7 ]} Algo similar puede hacerse con la teselación que consiste en pequeños rombicuboctaedros , teselaciones triangulares de orden 8 infinito y teselaciones cuadradas de orden 8 infinito . Los teselados cuadrados de orden 8 ya intersecan la esfera en el infinito ortogonalmente, y si los teselados triangulares de orden 8 se complementan con un conjunto de prismas triangulares , la superficie que pasa por sus centros también interseca la esfera en el infinito ortogonalmente. Tras sustituirlos por imágenes especulares, el resultado es un panal compacto que contiene los pequeños rombicuboctaedros y los prismas triangulares. ^{[ 8 ]}

En 2023, Daniel Sebald descubrió dos construcciones más de este tipo. La primera surge del hecho de que y tienen el mismo radio de circunferencia; la primera tiene octaedros truncados y teselaciones cuadradas de orden 6 , mientras que la segunda tiene cuboctaedros y teselaciones cuadradas de orden 6. Se obtiene un panal compacto y uniforme descartando las teselaciones cuadradas de orden 6 que tienen en común, utilizando solo los octaedros truncados y los cuboctaedros. La segunda surge de una construcción similar que involucra (que tiene pequeños rombicosidodecaedros , octaedros y teselaciones pentagonales de orden 4 ) y (que es el prisma de la teselación pentagonal de orden 4, que tiene prismas pentagonales y teselaciones pentagonales de orden 4 ). Estas dos también tienen el mismo radio de circunferencia, y se obtiene un panal compacto y uniforme tomando solo las celdas finitas de ambas, descartando las teselaciones pentagonales de orden 4 que tienen en común. ^{[ 9 ]} En 2025, Sebald descubrió una tercera construcción de este tipo, tomando la teselación que consiste en pequeños rombicuboctaedros , prismas octogonales y teselaciones tetraoctagonales , y notando que las teselaciones tetraoctagonales tienen la misma curvatura que todo el panal y, por lo tanto, pueden ser reemplazadas por imágenes especulares del resto de la teselación. Esto produce un panal compacto y uniforme que consiste solo en los pequeños rombicuboctaedros y los prismas octogonales. ^{[ 6 ]}

Otro no-Wythoffiano fue descubierto en 2021. Tiene como figura de vértice un cubo truncado con 8 vértices eliminados y contiene dos octaedros y ocho cubos truncados en cada vértice. ^{[ 6 ]} Posteriormente, Krieger encontró un no-Wythoffiano con un cubo truncado como figura de vértice, que contiene 32 tetraedros y 6 octaedros en cada vértice, y que las versiones truncadas y rectificadas de este panal siguen siendo uniformes. En 2022, Richard Klitzing generalizó esta construcción para usar cualquier truncado como figura de vértice: el resultado es compacto para p=4 o 5 (con un cubo truncado o un dodecaedro truncado como figura de vértice respectivamente), paracompacto para p=6 (con un teselado trihexagonal truncado como figura de vértice) e hipercompacto para p>6. Nuevamente, las versiones truncadas y rectificadas de estos panales siguen siendo uniformes. Los casos p=3 y p=2 son esféricos (son los de 600 y 16 celdas , respectivamente). ^{[ 6 ]}

También existen otras formas basadas en dominios paralelepipédicos . Dos formas conocidas generalizan el panal cúbico-octaédrico , presentando pequeñas figuras de vértice rombicuboctaédricas distorsionadas. Una forma tiene pequeños rombicuboctaedros, cuboctaedros y cubos; la otra tiene pequeños rombicosidodecaedros, icosidodecaedros y cubos. (La versión con poliedros de simetría tetraédrica es el panal cúbico-octaédrico, que utiliza cuboctaedros, octaedros y cubos). ^{[ 9 ]}

En 2025 se descubrió otro no-wythoffiano, cuya figura de vértice es la sección central de la celda rectificada de 600 (orientada para tener una celda icosaédrica en la parte superior). Sus celdas son tetraedros, icosidodecaedros y prismas pentagonales. ^{[ 6 ]}

No existen panales uniformes compactos no convexos regulares en el espacio hiperbólico: todas las formas con un poliedro estrellado regular como celda, figura de vértice o ambas terminan siendo esféricas. Pero esto no excluye los panales uniformes compactos no convexos. Un ejemplo conocido surge al tomar el panal icosaédrico y reemplazar cada icosaedro por un gran dodecaedro inscrito , cuyas caras pentagonales están conectadas por dodecaedros. Este panal tiene como figura de vértice un pequeño icosidodecaedro ditrigonal uniforme . Al tener una figura de vértice uniforme, puede además truncarse , produciendo un panal uniforme con dodecaedros truncados , grandes dodecaedros truncados y pequeños icosidodecaedros ditrigonales; o rectificarse , produciendo un panal uniforme con icosidodecaedros , dodecadodecaedros y pequeños icosidodecaedros ditrigonales. ^{[ 6 ]}

También es posible partir del panal icosaédrico truncado, que tiene dodecaedros e icosaedros truncados, y reemplazar los dodecaedros con pequeños icosidodecaedros ditrigonales con los mismos vértices y los icosaedros truncados con pequeños icosicosidodecaedros truncados con los mismos vértices. Las celdas se pueden conectar mediante tetraedros y el resultado se distorsiona ligeramente para recuperar la uniformidad. Algo similar se puede hacer con el panal dodecaédrico cantelado de orden 5, que tiene pequeños rombicosidodecaedros, prismas pentagonales e icosidodecaedros: los pequeños rombicosidodecaedros se reemplazan por pequeños icosicosidodecaedros , los huecos se rellenan con icosaedros truncados y se recupera la uniformidad volviendo a longitudes de arista unitarias. ^{[ 6 ]}

Esta es la enumeración completa de los 76 panales uniformes de Wythoff. Se incluyen las alternancias para mayor exhaustividad, pero la mayoría no son uniformes.