Dodecaedro

En geometría , un dodecaedro ^{[ a ]} o duodecaedro ^{[ 2 ]} es cualquier poliedro con doce caras planas . El dodecaedro más conocido es el dodecaedro regular con pentágonos regulares como caras, que es un sólido platónico . También existen tres dodecaedros estrellados regulares , que se construyen como estelaciones de la forma convexa. Todos ellos poseen simetría icosaédrica de orden 120.

Algunos dodecaedros tienen la misma estructura combinatoria que el dodecaedro regular (en términos del grafo formado por sus vértices y aristas), pero sus caras pentagonales no son regulares: el piritoedro , una forma cristalina común en la pirita , tiene simetría piritoédrica , mientras que el tetartoide tiene simetría tetraédrica .

El dodecaedro rómbico puede considerarse un caso límite del piritoedro y posee simetría octaédrica . Las variantes del dodecaedro alargado y del dodecaedro trapezoidal-rómbico , junto con los dodecaedros rómbicos, llenan el espacio . Existen numerosos otros dodecaedros .

Si bien el dodecaedro regular comparte muchas características con otros sólidos platónicos, una propiedad única del mismo es que se puede comenzar en una esquina de la superficie y trazar un número infinito de líneas rectas a través de la figura que regresan al punto original sin cruzar ninguna otra esquina. ^{[ 3 ]}

El dodecaedro regular es un poliedro convexo con caras pentagonales regulares, tres de las cuales convergen en cada vértice. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. ^{[ 4 ]} Es uno de los cinco sólidos platónicos regulares , nombrados en honor a Platón , quien los describió y consideró que los otros cuatro simbolizaban los elementos clásicos ; asignó el dodecaedro regular al cosmos. ^{[ 5 ]} Su dual es el icosaedro regular . ^{[ 6 ]}

De izquierda a derecha: Dodecaedro regular, dodecaedro estrellado pequeño, dodecaedro grande, dodecaedro estrellado grande.

El dodecaedro regular tiene tres estelaciones , todas las cuales son dodecaedros estrellados regulares. Forman tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . Son el dodecaedro estrellado pequeño , el dodecaedro grande y el dodecaedro estrellado grande . ^{[ 7 ]} El dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande son duales entre sí; el dodecaedro estrellado grande es dual al icosaedro grande . Todos estos dodecaedros estrellados regulares tienen caras pentagonales o pentagramáticas regulares . El dodecaedro regular convexo y el dodecaedro estrellado grande son realizaciones diferentes del mismo poliedro regular abstracto ; el dodecaedro estrellado pequeño y el dodecaedro grande son realizaciones diferentes de otro poliedro regular abstracto.

Si bien las tres formas estrelladas cumplen con los requisitos de regularidad y tienen doce caras, y por lo tanto cualquiera de ellas podría denominarse "dodecaedro regular", este término específico se reserva exclusivamente para la primera forma convexa. Una quinta forma que podría clasificarse como dodecaedro regular, a saber, el hosoedro dodecagonal , tampoco recibe este nombre, en parte porque solo existe como poliedro esférico y es degenerado en el espacio euclidiano.

En cristalografía , dos dodecaedros importantes pueden aparecer como formas cristalinas en algunas clases de simetría del sistema cristalino cúbico que son topológicamente equivalentes al dodecaedro regular pero menos simétricos: el piritoedro con simetría piritoédrica y el tetartoide con simetría tetraédrica :

Piritoedro

Un piritoedro (o dodecaedro pentagonal) es un dodecaedro con simetría piritoédrica T _h . Al igual que el dodecaedro regular , tiene doce caras pentagonales idénticas , con tres que convergen en cada uno de los 20 vértices. Sin embargo, los pentágonos no están obligados a ser regulares, y la disposición atómica subyacente no tiene un verdadero eje de simetría quíntuple. Sus 30 aristas se dividen en dos conjuntos, que contienen 24 y 6 aristas de la misma longitud. Los únicos ejes de simetría rotacional son tres ejes binarios mutuamente perpendiculares y cuatro ejes ternarios. ^{[ 8 ]}

Aunque los dodecaedros regulares no existen en los cristales, la forma piritoédrica aparece en los cristales del mineral pirita [ ^{8 ] y} puede servir de inspiración para el descubrimiento de la forma sólida platónica regular ^{[ 9 ]} . El verdadero dodecaedro regular puede presentarse como una forma para cuasicristales (como el cuasicristal de holmio-magnesio-zinc ) con simetría icosaédrica , que incluye ejes de rotación quíntuples ^{[ 10 ] .}

Pirita cristalina

El nombre pirita cristalina proviene de uno de los dos hábitos cristalinos comunes que presenta la pirita (el otro es el cubo ). En la pirita piritoédrica, las caras tienen un índice de Miller de (210), lo que significa que el ángulo diedro es 2·arctan(2) ≈ 126,87° y cada cara pentagonal tiene un ángulo de aproximadamente 121,6° entre dos ángulos de aproximadamente 106,6° y opuesto a dos ángulos de aproximadamente 102,6°. Las siguientes fórmulas muestran las medidas de la cara de un cristal perfecto (que rara vez se encuentra en la naturaleza).

${\displaystyle {\text{Altura}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot {\text{Lado largo}}}$

${\displaystyle {\text{Ancho}}={\frac {4}{3}}\cdot {\text{Lado largo}}}$

${\displaystyle {\text{Lados cortos}}={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot {\text{Lado largo}}}$

Coordenadas cartesianas

Los ocho vértices de un cubo tienen las coordenadas (±1, ±1, ±1).

Las coordenadas de los 12 vértices adicionales son

• ( 0, ±(1 + h ), ±(1 − h ² ) ) ,
• ( ±(1 + h ), ±(1 − h ² ), 0 ) y
• ( ±(1 − h ² ), 0, ±(1 + h ) ) .

h es la altura del "techo" en forma de cuña sobre las caras de ese cubo con longitud de arista 2.

Un caso importante es h = 1 / 2 (un cuarto de la longitud de la arista del cubo ) para la pirita natural perfecta (también el piritoedro en la estructura de Weaire-Phelan ).

Otro ejemplo es h = 1 / φ = 0,618... para el dodecaedro regular . Véase la sección Libertad geométrica para otros casos.

Dos piritoedros con coordenadas no nulas intercambiadas están en posiciones duales entre sí, como los dodecaedros en el compuesto de dos dodecaedros .

El cuerpo del dodecaedro también puede describirse como una intersección de doce semiplanos,

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid \|(x,y,z)\|_{D}\leq 1\}}$

dónde

${\displaystyle \|(x,y,z)\|_{D}=\max {\Big \{}|\alpha x+\beta z|,\ |\alpha x-\beta z|,\ |\alpha y+\beta x|,\ |\alpha y-\beta x|,\ |\alpha z+\beta y|,\ |\alpha z-\beta y|{\Big \}}}$

y

${\displaystyle \alpha ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \beta ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\frac {1}{\varphi }}.}$

libertad geométrica

El piritoedro posee un grado de libertad geométrico con casos límite de envolvente convexa cúbica en un extremo de aristas colineales, y un dodecaedro rómbico en el otro extremo cuando 6 aristas se reducen a longitud cero. El dodecaedro regular representa un caso intermedio especial donde todas las aristas y ángulos son iguales.

Es posible superar estos casos límite, creando piritoedros cóncavos o no convexos. El endododecaedro es cóncavo y equilátero; puede teselar el espacio con el dodecaedro regular convexo. Siguiendo desde ahí en esa dirección, pasamos por un caso degenerado donde doce vértices coinciden en el centro, y llegamos al gran dodecaedro estrellado regular donde todos los bordes y ángulos son iguales de nuevo, y las caras se han distorsionado en pentagramas regulares . Por otro lado, más allá del dodecaedro rómbico, obtenemos un dodecaedro equilátero no convexo con caras pentagonales equiláteras autointersecantes en forma de pez.

Tetartoide

Un tetartoide (también llamado dodecaedro pentagonal tetragonal , tritetraedro pentagonal y dodecaedro pentagonal tetraédrico ) es un dodecaedro con simetría tetraédrica quiral (T). Al igual que el dodecaedro regular , tiene doce caras pentagonales idénticas , tres de las cuales convergen en cada uno de los 20 vértices. Sin embargo, los pentágonos no son regulares y la figura carece de ejes de simetría quíntuple.

Aunque los dodecaedros regulares no existen en los cristales, la forma tetartoide sí. El nombre tetartoide proviene de la raíz griega que significa un cuarto, porque tiene un cuarto de simetría octaédrica completa y la mitad de simetría piritoédrica. ^{[ 11 ]} El mineral cobaltita puede tener esta forma de simetría. ^{[ 12 ]}

A partir del cubo y el tetraedro, se pueden crear abstracciones que comparten la topología y la simetría del sólido . En el cubo, cada cara está bisecada por una arista inclinada. En el tetraedro, cada arista está trisecada, y cada uno de los nuevos vértices se conecta al centro de una cara. (En la notación de poliedros de Conway, esto se denomina girotetraedro).

Coordenadas cartesianas

Los siguientes puntos son vértices de un pentágono tetartoide bajo simetría tetraédrica :

( a , b , c ); (− a , − b , c ); (− ⁠ n / d ₁ ⁠ , − ⁠ n / d ₁ ⁠ , ⁠ n / d ₁ ⁠ ); (− c , − a , b ); (− ⁠ n / d ₂ ⁠ , ⁠ n / d ₂ ⁠ , ⁠ n / d ₂ ⁠ ),

bajo las siguientes condiciones: ^{[ 13 ]}

0 ≤ a ≤ b ≤ c ,

n = a ² c − bc ² ,

re ₁ = una ² - ab + segundo ² + ca - 2 antes de Cristo ,

re ₂ = una ² + ab + segundo ² - ca - 2 antes de Cristo ,

nd ₁ d ₂ ≠ 0 .

libertad geométrica

El dodecaedro regular es un tetartoide con más simetría de la requerida. El tetraedro triakis es un caso degenerado con 12 aristas de longitud cero. (En términos de los colores utilizados anteriormente, esto significa que los vértices blancos y las aristas verdes son absorbidos por los vértices verdes).

El dodecaedro rómbico es un sólido catalán con doce caras rómbicas y simetría octaédrica. Es dual del cuboctaedro , un sólido arquimediano , ^{[ 14 ]} y se presenta en la naturaleza como una forma cristalina. El dodecaedro rómbico se empaqueta para llenar el espacio con caras de simetría central, formando un zonohedro . ^{[ 15 ]}

El dodecaedro rómbico puede considerarse como un piritoedro degenerado en el que las 6 aristas especiales se han reducido a longitud cero, transformando los pentágonos en caras rómbicas.

El dodecaedro rómbico tiene varias estelaciones , la primera de las cuales es también un relleno espacial paralelepípedo .

Otro dodecaedro rómbico importante, el dodecaedro de Bilinski , tiene doce caras congruentes con las del triacontaedro rómbico , es decir, las diagonales guardan la proporción áurea . También es un zonohedro y fue descrito por Bilinski en 1960. ^{[ 16 ]} Esta figura es otro relleno espacial y también puede aparecer en rellenos espaciales no periódicos junto con el triacontaedro rómbico, el icosaedro rómbico y los hexaedros rómbicos. ^{[ 17 ]}

Hay 6.384.634 dodecaedros convexos topológicamente distintos , excluyendo las imágenes especulares; el número de vértices varía de 8 a 20. ^{[ 18 ]} Dos poliedros son topológicamente distintos si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de tal manera que es imposible distorsionar uno en el otro simplemente cambiando las longitudes de las aristas o los ángulos entre aristas o caras.

Topológicamente, entre los dodecaedros notablemente distintos (excluyendo las formas pentagonales y rómbicas) se incluyen:

• 
  Prisma decagonal , un prisma que consta de diez cuadrados y dos bases decagonales. Su grupo de simetría es D _10h, simetría de orden 40. ^{[ 19 ]}
• 
  Antiprisma pentagonal : un antiprisma que consta de diez triángulos equiláteros y dos bases pentagonales. Tiene simetría D _{5d de orden 20.} ^{[ 19 ]}
• 
  Cúpula pentagonal : un sólido de Johnson con cinco triángulos, cinco cuadrados, un pentágono y un decágono. Tiene simetría C _5v de orden 10. ^{[ 20 ] [ 19 ]}
• 
  Disfenoides truncados : sólido de Johnson y deltaedro , consta de doce triángulos equiláteros. Es D _2d de orden 8, las mismas simetrías que un disfenoides tetragonal . ^{[ 19 ] [ 21 ]} Su dual es el girobifastigio alargado , un octaedro .
• 
  Bipirámide cuadrada alargada , un sólido ^de Johnson. Se obtiene al aumentar dos caras opuestas de un cubo con pirámides cuadradas equiláteras ; el poliedro resultante tiene ocho triángulos y cuatro cuadrados. Posee simetría D4h de orden 16. ^[ ₂₀ ^{] [ 19 ]}
• 
  Icosaedro metabidiminuido : un sólido de Johnson obtenido al eliminar dos ^pirámides pentagonales de un icosaedro regular , resultando en diez triángulos y dos pentágonos. Tiene simetría C2v de orden 4. ^[ ₂₀ ^{] [ 19 ]}
• 
  Bipirámide hexagonal : una bipirámide con doce triángulos isósceles , obtenida al unir dos pirámides hexagonales base con base. ^{[ 22 ]} Si ambas pirámides unidas tienen bases regulares y vértices perpendiculares al centro de su base, la bipirámide tiene simetría D _6h de orden 24. ^{[ 23 ]} Como cualquier otra bipirámide, la bipirámide hexagonal es transitiva en caras y dual del prisma hexagonal . ^{[ 24 ] [ 25 ]}
• 
  Trapezoedro hexagonal : un trapezoedro con doce cometas . Es transitivo en sus caras, el dual del antiprisma hexagonal y tiene simetría D _{6d de orden 24.}
• 
  Tetraedro de Triakis : un sólido catalán y el Kleetopo de un tetraedro regular . Obtenido al fijar cuatro pirámides triangulares en cada cara del tetraedro regular, el poliedro resultante tiene doce triángulos isósceles. ^{[ 14 ] [ 26 ]} Es transitivo en las caras y posee la propiedad de Rupert . ^{[ 27 ] [ 28 ]} Es el dual del tetraedro truncado , comparte la misma simetría que la simetría T _d de orden 24. ^{[ 14 ]}
• 
  Pirámide hendecagonal: las doce caras de triángulos isósceles y un endecago regular forman una pirámide. Posee simetría C _11v de orden 11. ^{[ 29 ]}
• 
  Dodecaedro trapezoidal-rómbico : un poliedro con seis rombos y seis trapecios . Es el dual de la ortobicúpula triangular ; ambos poseen simetría D3h de orden 12. Se le conoce por su capacidad de teselar mediante la traslación _de una copia de sí mismo. ^{[ 30 ]}
• 
  Dodecaedro rombohexagonal (también conocido como "dodecaedro alargado"): un poliedro con ocho rombos y cuatro hexágonos equiláteros . Tiene simetría D _4h de orden 16. Es uno de los cinco poliedros o paralelepípedos de Federov, generados para crear su estructura de panal . ^{[ 31 ]}

Armand Spitz utilizó un dodecaedro como equivalente de "globo" para su proyector de planetario Digital Dome , ^{[ 32 ]} basándose en una sugerencia de Albert Einstein .

• El cuarto sólido de Platón y el "piritoedro" , por Paul Stephenson, 1993, The Mathematical Gazette, vol. 77, n.º 479 (julio de 1993), págs.  220-226.
• Estelación del piritoedro: modelos VRML y animaciones del piritoedro y sus estelaciones.
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3o5x – doe" .
• Red plana editable e imprimible de un dodecaedro con vista 3D interactiva.
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de origami : modelos hechos con origami modular.
• Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros
• KJM MacLean, Un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
• Visualización 3D del dodecaedro
• Stella: Polyhedron Navigator : Software utilizado para crear algunas de las imágenes de esta página.
• Cómo hacer un dodecaedro a partir de un cubo de poliestireno expandido.