Teorema de la raqueta de tenis

El teorema de la raqueta de tenis , o teorema del eje intermedio , es un fenómeno cinético de la mecánica clásica que describe el movimiento de un cuerpo rígido con tres momentos principales de inercia distintos . También se le conoce como el efecto Dzhanibekov , en honor al cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov , quien observó una de las consecuencias lógicas del teorema mientras estaba en el espacio en 1985. ^[¹^] El efecto era conocido desde hacía al menos 150 años, ya que fue descrito por Louis Poinsot en 1834 ^[²^]^[³^] e incluido en libros de texto de física estándar como Mecánica Clásica de Herbert Goldstein a lo largo del siglo XX.

El teorema describe el siguiente efecto: la rotación de un objeto alrededor de su primer y tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es.

Esto se puede demostrar con el siguiente experimento: Sujete una raqueta de tenis por el mango, con la cara en posición horizontal, y láncela al aire de manera que gire completamente sobre su eje horizontal perpendicular al mango (ê ₂ en el diagrama). A continuación, sujétela por el mango. En casi todos los casos, durante esa rotación, la cara también habrá completado media rotación, quedando la otra cara hacia arriba. Por el contrario, es fácil lanzar la raqueta de manera que gire sobre el eje del mango (ê ₁ ) sin media rotación sobre otro eje; también es posible hacerla girar sobre el eje vertical perpendicular al mango (ê ₃ ) sin ninguna media rotación.

El experimento puede realizarse con cualquier objeto que tenga tres momentos de inercia diferentes, por ejemplo, con un libro (rectangular), un control remoto o un teléfono inteligente. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} El efecto se produce siempre que el eje de rotación difiera —aunque sea ligeramente— del segundo eje principal del objeto; no es necesaria la resistencia del aire ni la gravedad. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Teoría

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

El teorema de la raqueta de tenis puede analizarse cualitativamente con la ayuda de las ecuaciones de Euler . En condiciones de torsión nula, adoptan la siguiente forma:

${\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}$

Aquí $I_{1},I_{2},I_{3}$ denotamos los momentos principales de inercia del objeto y asumimos $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ . Las velocidades angulares alrededor de los tres ejes principales del objeto son $\omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}$ y sus derivadas temporales se denotan por ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$ .

Rotación estable alrededor del primer y tercer eje principal.

Consideremos la situación en la que el objeto gira alrededor del eje con momento de inercia. $I_{1}$ Para determinar la naturaleza del equilibrio, supongamos pequeñas velocidades angulares iniciales a lo largo de los otros dos ejes. Como resultado, según la ecuación (1), $~{\dot {\omega }}_{1}$ es muy pequeño. Por lo tanto, la dependencia del tiempo de $~\omega _{1}$ puede ser descuidado.

Ahora, diferenciando la ecuación (2) y sustituyendo ${\dot {\omega }}_{3}$ de la ecuación (3),

${\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{es decir }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(cantidad negativa)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}$

porque $I_{2}-I_{1}>0$ y $I_{1}-I_{3}<0$ .

Tenga en cuenta que $\omega _{2}$ Se encuentra en oposición, por lo que la rotación alrededor de este eje es estable para el objeto.

Un razonamiento similar da como resultado que la rotación alrededor del eje con momento de inercia $I_{3}$ También es estable.

Rotación inestable alrededor del segundo eje principal.

Ahora aplique el mismo análisis al eje con momento de inercia. $I_{2}.$ Esta vez ${\dot {\omega }}_{2}$ es muy pequeño. Por lo tanto, la dependencia del tiempo de $~\omega _{2}$ puede ser descuidado.

Ahora, diferenciando la ecuación (1) y sustituyendo ${\dot {\omega }}_{3}$ de la ecuación (3),

${\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}$

Tenga en cuenta que $\omega _{1}$ no se opone (y por lo tanto crecerá) y por lo tanto la rotación alrededor del segundo eje es inestable . Por lo tanto, incluso una pequeña perturbación, en forma de un valor inicial muy pequeño de $\omega _{1}$ o $\omega _{3}$ , provoca que el objeto 'voltee'.

Análisis matricial

Si el objeto gira principalmente alrededor de su tercer eje, entonces $|\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|$ podemos asumir $\omega _{3}$ no varía mucho, y escribimos las ecuaciones de movimiento como una ecuación matricial: ${\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}$ que tiene traza cero y determinante positivo , lo que implica el movimiento de $(\omega _{1},\omega _{2})$ es una rotación estable alrededor del origen—por lo tanto $(0,0,\omega _{3})$ es un punto de equilibrio neutral. De manera similar, el punto $(\omega _{1},0,0)$ es un punto de equilibrio neutral, pero $(0,\omega _{2},0)$ es un punto de silla.

Análisis geométrico

Visualización de la inestabilidad del eje intermedio. Tanto la magnitud del momento angular como la energía cinética de un objeto en rotación se conservan. Como resultado, el vector de velocidad angular permanece en la intersección de dos elipsoides. Aquí, el elipsoide amarillo representa el momento angular, y el elipsoide azul en expansión representa la energía.

Durante el movimiento, tanto la energía como el momento angular al cuadrado se conservan, por lo que tenemos dos cantidades conservadas: ${\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}$ y así para cualquier condición inicial $\omega (0)$ , la trayectoria de $\omega (t)$ debe permanecer en la curva de intersección entre dos elipsoides definidos por ${\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}$ Esto se muestra en la animación de la derecha.

Al examinar las ecuaciones de Euler, vemos que ${\dot {\omega }}(t)=0$ implica que dos componentes de $\omega (t)$ son cero, es decir, el objeto está girando exactamente alrededor de uno de los ejes principales. En todas las demás situaciones, $\omega (t)$ debe permanecer en movimiento.

Según las ecuaciones de Euler, si $\omega (t)$ Si es una solución, entonces también lo es. $c\omega (ct)$ para cualquier constante $c>0$ . En particular, el movimiento del cuerpo en el espacio libre (obtenido mediante la integración $c\omega (ct)dt$ ) es exactamente lo mismo , solo que se completa más rápido en una proporción de $c$ .

En consecuencia, podemos analizar la geometría del movimiento con un valor fijo de $L^{2}$ y varían $\omega (0)$ sobre el elipsoide fijo de momento angular cuadrático constante. Como $\omega (0)$ varía, el valor de $2E$ También varía, lo que nos da un elipsoide variable de energía constante. Esto se muestra en la animación como un elipsoide naranja fijo y un elipsoide azul creciente.

Para mayor concreción, considere $I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3$ , entonces los ejes mayores del elipsoide de momento angular están en proporciones de $1:1/2:1/3$ y los ejes principales del elipsoide de energía están en proporciones de $1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}$ Por lo tanto, el elipsoide de momento angular es más plano y a la vez más agudo, como se puede apreciar en la animación. En general, el elipsoide de momento angular siempre es más "exagerado" que el elipsoide de energía.

Ahora inscriba en un elipsoide fijo de $L^{2}$ sus curvas de intersección con el elipsoide de $2E$ , como $2E$ aumenta de cero a infinito. Podemos ver que las curvas evolucionan de la siguiente manera:

Para energías pequeñas, no hay intersección, ya que necesitamos una energía mínima para permanecer en el elipsoide de momento angular.
El elipsoide de energía interseca por primera vez el elipsoide de momento cuando $2E=L^{2}/I_{3}$ , en los puntos $(0,0,\pm L/I_{3})$ . Esto ocurre cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el mayor momento de inercia.
Se intersecan en dos ciclos alrededor de los puntos $(0,0,\pm L/I_{3})$ . Dado que cada ciclo no contiene ningún punto en el que ${\dot {\omega }}=0$ , el movimiento de $\omega (t)$ Debe existir un movimiento periódico alrededor de cada ciclo.
Se intersecan en dos curvas "diagonales" que se intersecan en los puntos $(0,\pm L/I_{2},0)$ , cuando $2E=L^{2}/I_{2}$ . Si $\omega (t)$ Si se inicia en cualquier punto de las curvas diagonales, se aproximaría a uno de los puntos, disminuyendo la distancia exponencialmente, pero sin llegar a alcanzarlo. En otras palabras, tenemos cuatro órbitas heteroclínicas entre los dos puntos de silla.
Se intersecan en dos ciclos alrededor de los puntos $(\pm L/I_{1},0,0)$ . Dado que cada ciclo no contiene ningún punto en el que ${\dot {\omega }}=0$ , el movimiento de $\omega (t)$ Debe existir un movimiento periódico alrededor de cada ciclo.
El elipsoide de energía interseca por última vez el elipsoide de momento cuando $2E=L^{2}/I_{1}$ , en los puntos $(\pm L/I_{1},0,0)$ . Esto ocurre cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el menor momento de inercia.

El efecto de la raqueta de tenis se produce cuando $\omega (0)$ está muy cerca de un punto de silla. El cuerpo se quedaría cerca del punto de silla, luego se movería rápidamente al otro punto de silla, cerca $\omega (T/2)$ , persistir de nuevo durante mucho tiempo, y así sucesivamente. El movimiento se repite con período $T$ .

El análisis anterior se realiza desde la perspectiva de un observador que gira con el cuerpo. Un observador que ve el movimiento del cuerpo en el espacio libre verá su vector de momento angular. ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ conservado, mientras que su vector de velocidad angular se conserva, mientras que ambos vectores de velocidad angular ${\vec {\omega }}(t)$ y su momento de inercia $I(t)$ experimentar movimientos complicados en el espacio. Al principio, el observador vería ambos ${\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}$ mayormente alineado con el segundo eje principal de $I(0)$ Después de un rato, el cuerpo realiza un movimiento complicado y termina con $I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)$ y de nuevo ambos ${\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)$ están mayormente alineados con el segundo eje principal de $I(T/2)$ .

En consecuencia, existen dos posibilidades: o bien el segundo eje mayor del cuerpo rígido está en la misma dirección, o bien tiene dirección invertida. Si aún está en la misma dirección, entonces ${\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)$ vistos en el sistema de referencia del cuerpo rígido también están mayormente en la misma dirección. Sin embargo, acabamos de ver que $\omega (0)$ y $\omega (T/2)$ están cerca de puntos de silla opuestos $(0,\pm L/I_{2},0)$ Contradicción.

Cualitativamente, entonces, esto es lo que observaría un observador que mira en el espacio libre:

El cuerpo gira alrededor de su segundo eje principal durante un tiempo.
El cuerpo experimenta rápidamente un movimiento complejo, hasta que su segundo eje principal invierte su dirección.
El cuerpo vuelve a girar sobre su segundo eje principal durante un rato. Repetir.

Esto se puede apreciar fácilmente en la demostración en vídeo en condiciones de microgravedad.

Con disipación

Cuando un cuerpo no es completamente rígido, sino que puede flexionarse o contener un líquido que se mueve libremente, puede disipar energía a través de sus grados de libertad internos. En este caso, el cuerpo conserva un momento angular constante, pero su energía disminuye hasta alcanzar el punto mínimo. Como se analizó geométricamente anteriormente, esto ocurre cuando la velocidad angular del cuerpo se alinea exactamente con su eje de máximo momento de inercia.

Esto le sucedió al Explorer 1 , el primer satélite lanzado por Estados Unidos en 1958. El cuerpo alargado de la nave espacial había sido diseñado para girar sobre su eje longitudinal (de menor inercia ), pero se negó a hacerlo y, en cambio, comenzó a precesar debido a la disipación de energía de los elementos estructurales flexibles. También influyó en la casi pérdida del Observatorio Solar y Heliosférico conjunto de la NASA y la ESA en 1998, cuando un giro involuntario sobre el eje de la nave espacial hacia el Sol desestabilizó las leyes de control, lo que provocó que la nave espacial girara sin control hasta que la disipación interna (en sus tanques de hidracina líquida) la hizo estabilizarse alrededor de su eje de máximo momento, de modo que el Sol permaneció en el plano del panel solar.

En general, los cuerpos celestes, grandes o pequeños, convergen a una rotación constante alrededor de su eje de máximo momento de inercia. Cuando un cuerpo celeste se encuentra en un estado de rotación complejo, se debe a un impacto o interacción de marea reciente, o bien es un fragmento de un progenitor recientemente desintegrado. ^{[ 8 ]}

Véase también

Ángulos de Euler : descripción de la orientación de un cuerpo rígido.
Momento de inercia : medida escalar de la inercia rotacional con respecto a un eje de rotación fijo.
Elipsoide de Poinsot : método geométrico para visualizar un cuerpo rígido en rotación.
Polhode – Curva producida por el vector de velocidad angular sobre el elipsoide de inercia.

Referencias

↑ Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова) , 23 de julio de 2009 (en ruso) . El software se puede descargar desde aquí Archivado el 13 de noviembre de 2020 en Wayback Machine .
↑ Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París
↑ Blinder, SM (2011). "Rotación libre de un cuerpo rígido: construcciones de Poinsot" . wolfram.com . Proyecto de demostraciones de Wolfram . Consultado el 28 de diciembre de 2025. Poinsot también propuso en 1834 una construcción geométrica que proporciona una elegante representación visual del movimiento de un cuerpo rígido. El elipsoide de Poinsot rueda sobre el plano invariable que es perpendicular al vector de momento angular constante.
↑ Murua, Joseba; Palacios, Rafael; Graham, J. Michael R. (2012). "Aplicaciones del método de celosía de vórtices inestables en la aeroelasticidad y dinámica de vuelo de aeronaves". Progress in Aerospace Sciences . 55 : 46–72 . doi : 10.1016/j.paerosci.2012.06.001 .
^ Wheatland, Michael S.; Murphy, Tara; Naoumenko, Daniel; Schijndel, Daan van; Katsifis, Georgio (abril de 2021). "El teléfono móvil como laboratorio de libre rotación". Revista Estadounidense de Física . 89 (4): 342– 348. arXiv : 2011.02024 . doi : 10.1119/10.0003380 .
↑ Levi, Mark (2014). Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva . American Mathematical Society. pp. 151–152 . ISBN 9781470414443.
↑ Abrams, Julia (1 de septiembre de 2020). "¿Por qué se caen las raquetas de tenis? Explicación del efecto Dzhanibekov…" . comsol.com . COMSOL AB . Consultado el 28 de diciembre de 2025 .
↑ Efroimsky, Michael (marzo de 2002). "Euler, Jacobi y las misiones a cometas y asteroides". Advances in Space Research . 29 (5): 725– 734. arXiv : astro-ph/0112054 . Bibcode : 2002AdSpR..29..725E . doi : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0 . S2CID 1110286 .

Enlaces externos

Dan Russell (5 de marzo de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov en cámara lenta con raquetas de tenis de mesa" . Recuperado el 2 de febrero de 2017 a través de YouTube.
zapadlovsky (16 de junio de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.en la Estación Espacial Internacional Mir
Viacheslav Mezentsev (7 de septiembre de 2011). "Efecto Djanibekov modelado en Mathcad 14" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotación des corps , París, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC 457954839 : históricamente, la primera descripción matemática de este efecto.
"Elipsoides y el comportamiento extraño de los cuerpos en rotación" . YouTube . 24 de julio de 2020.- Explicación en vídeo intuitiva de Matt Parker
El "efecto Dzhanibekov": ¿un ejercicio de mecánica o ficción? Explique matemáticamente un video de una estación espacial.
El comportamiento extraño de los cuerpos en rotación ( Derek Muller en YouTube, septiembre de 2019)

[1] Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова) , 23 de julio de 2009 (en ruso) . El software se puede descargar desde aquí Archivado el 13 de noviembre de 2020 en Wayback Machine .

[2] Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París

[3] Blinder, SM (2011). "Rotación libre de un cuerpo rígido: construcciones de Poinsot" . wolfram.com . Proyecto de demostraciones de Wolfram . Consultado el 28 de diciembre de 2025. Poinsot también propuso en 1834 una construcción geométrica que proporciona una elegante representación visual del movimiento de un cuerpo rígido. El elipsoide de Poinsot rueda sobre el plano invariable que es perpendicular al vector de momento angular constante.

[4] Murua, Joseba; Palacios, Rafael; Graham, J. Michael R. (2012). "Aplicaciones del método de celosía de vórtices inestables en la aeroelasticidad y dinámica de vuelo de aeronaves". Progress in Aerospace Sciences . 55 : 46–72 . doi : 10.1016/j.paerosci.2012.06.001 .

[5] Wheatland, Michael S.; Murphy, Tara; Naoumenko, Daniel; Schijndel, Daan van; Katsifis, Georgio (abril de 2021). "El teléfono móvil como laboratorio de libre rotación". Revista Estadounidense de Física . 89 (4): 342– 348. arXiv : 2011.02024 . doi : 10.1119/10.0003380 .

[6] Levi, Mark (2014). Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva . American Mathematical Society. pp. 151–152 . ISBN 9781470414443.

[7] Abrams, Julia (1 de septiembre de 2020). "¿Por qué se caen las raquetas de tenis? Explicación del efecto Dzhanibekov…" . comsol.com . COMSOL AB . Consultado el 28 de diciembre de 2025 .

[8] Efroimsky, Michael (marzo de 2002). "Euler, Jacobi y las misiones a cometas y asteroides". Advances in Space Research . 29 (5): 725– 734. arXiv : astro-ph/0112054 . Bibcode : 2002AdSpR..29..725E . doi : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0 . S2CID 1110286 .

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