Forma cuadrática

En matemáticas , una forma cuadrática es un polinomio con términos todos de grado dos (la " forma " es otro nombre para un polinomio homogéneo ). Por ejemplo, $4x^{2}+2xy-3y^{2}$

es una forma cuadrática en las variables $x$ e $y$ . Los coeficientes generalmente pertenecen a un cuerpo fijo $K$ , como los números reales o complejos , y se habla de una forma cuadrática sobre $K.$ Sobre los números reales, se dice que una forma cuadrática es definida si toma el valor cero solo cuando todas sus variables son simultáneamente cero; de lo contrario, es isotrópica .

Las formas cuadráticas ocupan un lugar central en varias ramas de las matemáticas, incluyendo la teoría de números , el álgebra lineal , la teoría de grupos ( grupos ortogonales ), la geometría diferencial (la métrica riemanniana , la segunda forma fundamental ), la topología diferencial ( formas de intersección de variedades , especialmente las de cuatro dimensiones ), la teoría de Lie (la forma de Killing ) y la estadística (donde el exponente de $e$ de una distribución normal multivariada de media cero tiene la forma cuadrática $(-1/2) x T ‍ Σ -1 ‍ x$ ).

Las formas cuadráticas no deben confundirse con las ecuaciones cuadráticas , que tienen una sola variable y pueden incluir términos de grado menor que dos. Una forma cuadrática es un caso particular del concepto más general de formas .

Introducción

Las formas cuadráticas son polinomios cuadráticos homogéneos en $n$ variables. En los casos de una, dos y tres variables se denominan unarias , binarias y ternarias , y tienen la siguiente forma explícita: ${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unario)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binario)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternario)}}\end{aligned}}$

donde $a$ , ..., $f$ son los coeficientes . ^{[ 1 ]}

La teoría de las formas cuadráticas y los métodos utilizados en su estudio dependen en gran medida de la naturaleza de los coeficientes, que pueden ser números reales o complejos , números racionales o enteros . En álgebra lineal , geometría analítica y en la mayoría de las aplicaciones de las formas cuadráticas, los coeficientes son números reales o complejos. En la teoría algebraica de las formas cuadráticas, los coeficientes son elementos de un cierto cuerpo . En la teoría aritmética de las formas cuadráticas, los coeficientes pertenecen a un anillo conmutativo fijo , frecuentemente los enteros $Z$ o los enteros $p -ádicos$ $Z p$ . ^{[ 2 ]} Las formas cuadráticas binarias se han estudiado extensamente en teoría de números , en particular, en la teoría de cuerpos cuadráticos , fracciones continuas y formas modulares . La teoría de las formas cuadráticas integrales en $n$ variables tiene importantes aplicaciones a la topología algebraica .

Utilizando coordenadas homogéneas , una forma cuadrática no nula en $n$ variables define una cuádrica proyectiva $(n - 2)$ dimensional en el espacio proyectivo $($ $n$ $- 1)$ dimensional . De esta manera, se pueden visualizar las formas cuadráticas reales tridimensionales como secciones cónicas . Un ejemplo lo proporciona el espacio euclidiano tridimensional y el cuadrado de la norma euclidiana que expresa la distancia entre un punto con coordenadas $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ y el origen: $q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\left\|(x,y,z)\right\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Un concepto estrechamente relacionado, con connotaciones geométricas, es el de espacio cuadrático , que es un par $(V, q)$ , donde $V es$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$ y $q : V \to K$ es una forma cuadrática definida en $V.$ Véase la sección Definiciones a continuación para la definición de forma cuadrática en un espacio vectorial.

Historia

El estudio de las formas cuadráticas, en particular la cuestión de si un entero dado puede ser el valor de una forma cuadrática sobre los enteros, se remonta a muchos siglos atrás. Un ejemplo de ello es $el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados, que determina cuándo un entero puede expresarse en la forma x² +$ $y²$ , donde $x e y$ son $enteros$ . $Este$ problema está relacionado con el problema de hallar ternas pitagóricas , que apareció en el segundo milenio a. C. ^{[ 3 ]}

En 628, el matemático indio Brahmagupta escribió Brāhmasphuṭasiddhānta , que incluye, entre muchas otras cosas, un estudio de ecuaciones de la forma $x 2 - ny 2 = c$ . Consideró lo que ahora se llama la ecuación de Pell , $x 2 - ny 2 = 1$ , y encontró un método para su solución. ^{[ 4 ]} En Europa, este problema fue estudiado por Brouncker , Euler y Lagrange .

En 1801, Gauss publicó Disquisitiones Arithmeticae , una parte importante de la cual estaba dedicada a una teoría completa de las formas cuadráticas binarias sobre los números enteros . Desde entonces, el concepto se ha generalizado y se han dilucidado aún más las conexiones con los cuerpos numéricos cuadráticos , el grupo modular y otras áreas de las matemáticas.

Matriz simétrica asociada

Cualquier matriz $A$ $de n \times n$ determina una forma cuadrática $q$ $A$ en $n$ variables mediante $q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} ,$ donde $A = (a ij)$ y donde $\mathbf {x}$ es un vector columna $n \times 1 .$

Ejemplo

Consideremos el caso de formas cuadráticas en tres variables $x, y, z$ . La matriz $A$ tiene la forma $A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\end{bmatrix}}.$

La fórmula anterior da como resultado $q_{A}(x,y,z)=ax^{2}+ey^{2}+kz^{2}+(b+d)xy+(c+g)xz+(f+h)yz.$

Así pues, dos matrices diferentes definen la misma forma cuadrática si y solo si tienen los mismos elementos en la diagonal y los mismos valores para las sumas $b + d$ , $c + g$ y $f + h$ . En particular, la forma cuadrática $q A$ está definida por una única matriz simétrica. $A={\begin{bmatrix}a&{\frac {b+d}{2}}&{\frac {c+g}{2}}\\{\frac {b+d}{2}}&e&{\frac {f+h}{2}}\\{\frac {c+g}{2}}&{\frac {f+h}{2}}&k\end{bmatrix}}.$

Esto se generaliza a cualquier número de variables de la siguiente manera.

Caso general

Dada una forma cuadrática $q A$ sobre los números reales, definida por la matriz $A = [a ij] n, n i, j =1,1$ , con índices $i$ y $j$ que varían independientemente de $1$ a través de $n \geq 2$ , la matriz

B\equiv \left[{\frac {a_{\;\!ij}+a_{\;\!ji}}{2}}\right]_{i,j=1,1}^{n,n}={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)

es simétrica , define la misma forma cuadrática que A $,$ y es la única matriz simétrica que define $q A.$

Así pues, sobre los números reales (y, de forma más general, sobre un cuerpo de característica distinta de dos), existe una correspondencia biunívoca entre las formas cuadráticas y las matrices simétricas que las determinan.

Formas cuadráticas reales

Un problema fundamental es la clasificación de las formas cuadráticas reales bajo un cambio lineal de variables .

Jacobi demostró que, para cada forma cuadrática real, existe una diagonalización ortogonal ; es decir, un cambio ortogonal de variables que pone la forma cuadrática en una " forma diagonal ". $\lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},$ donde la matriz simétrica asociada es diagonal . Además, los coeficientes $λ 1, λ 2, ..., λ n$ se determinan de forma única salvo una permutación . ^{[ 5 ]}

Si el cambio de variables viene dado por una matriz invertible que no necesariamente es ortogonal, se puede suponer que todos los coeficientes $λ i$ son $0$ , $+1$ o $-1$ . La ley de inercia de Sylvester establece que la cantidad de $0$ , $+1$ y $-1$ es invariante de la forma cuadrática, en el sentido de que cualquier otra diagonalización contendrá la misma cantidad de cada uno. La signatura de la forma cuadrática es la terna $(n₀, n⁺, n⁻),$ donde estos componentes cuentan la cantidad de $0 ,$ $la$ cantidad de $+1$ y la cantidad de $-1$ , respectivamente. La ley de inercia de Sylvester $demuestra$ que esta es una cantidad bien definida asociada a la forma cuadrática.

El caso en que todos $los λ i$ tienen el mismo signo es especialmente importante: en este caso la forma cuadrática se llama definida positiva (todos $+1$ ) o definida negativa (todos $-1$ ). Si ninguno de los términos es $0$ , entonces la forma se llamano degenerada ; esto incluye la forma cuadráticadefinida positiva, la definida negativa y(una mezcla de $+1$ y $-1$ ); equivalentemente, una forma cuadrática no degenerada es aquella cuya forma simétrica asociada es unaforma bilineal no degenerada. Un espacio vectorial real con una forma cuadrática no degenerada indefinida de índice $(p, q)$ (con $p$ de $+1$ y $q$ de $-1$ ) se suele denotar como $ℝ p, q,$ particularmente en la teoría física delespacio-tiempo.

También se puede definir el discriminante de una forma cuadrática , concretamente la clase del determinante de una matriz representativa en $K / (K \times) 2$ (salvo cuadrados no nulos), y para una forma cuadrática real es un invariante más burdo que la signatura, que toma valores de "positivo, cero o negativo". Cero corresponde a degenerado, mientras que para una forma no degenerada es la paridad del número de coeficientes negativos, $(-1) n -$ .

Estos resultados se reformulan de forma diferente a continuación.

Sea $q$ una forma cuadrática definida en un espacio vectorial real $n$ -dimensional . Sea $A$ la matriz de la forma cuadrática $q$ en una base dada. Esto significa que $A$ es una matriz simétrica $n$ $\times$ $n$ tal que $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax,$ donde $x$ es el vector columna de coordenadas de $v$ en la base elegida. Bajo un cambio de base, la columna $x$ se multiplica por la izquierda por una matriz invertible $S$ $de n \times n$ , y la matriz cuadrada simétrica $A$ se transforma en otra matriz cuadrada simétrica $B$ del mismo tamaño según la fórmula $A\to B=S^{\mathsf {T}}AS~.$

Cualquier matriz simétrica $A$ puede transformarse en una matriz diagonal. $B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$ mediante una elección adecuada de una matriz ortogonal $S$ , y las entradas diagonales de $B$ están determinadas de forma única; este es el teorema de Jacobi ( véase matriz antisimétrica ). Si se permite que $S$ sea cualquier matriz invertible, entonces $B$ puede hacerse con solo $0$ , $+1$ y $-1$ en la diagonal, y el número de entradas de cada tipo ( $n 0$ para $0$ , $n +$ para $+1$ y $n -$ para $-1$ ) depende solo de $A.$ Esta es una de las formulaciones de la ley de inercia de Sylvester y los números $n$ $+$ y $n$ $-$ se denominan índices de inercia positivo y negativo . Aunque su definición implicaba una elección de base y la consideración de la matriz simétrica real correspondiente $A$ , la ley de inercia de Sylvester significa que son invariantes de la forma cuadrática $q$ .

La forma cuadrática $q$ es definida positiva si $q (v) > 0$ (de manera similar, definida negativa si $q (v) < 0$ ) para todo vector $v$ distinto de cero . ^{[ 6 ]} Cuando $q (v)$ toma valores tanto positivos como negativos, $q$ es una forma cuadrática isotrópica . Los teoremas de Jacobi y Sylvester muestran que cualquier forma cuadrática definida positiva en $n$ variables puede convertirse en la suma de $n$ cuadrados mediante una transformación lineal invertible adecuada: geométricamente, solo hay una forma cuadrática real definida positiva de cada dimensión. Su grupo de isometría es un grupo ortogonal compacto , convencionalmente denotado como $O($ $n$ $)$ . Esto contrasta con el caso de las formas isotrópicas, cuando el grupo correspondiente, el grupo ortogonal indefinido $O($ $p$ $,$ $q$ $)$ , no es compacto. Además, los grupos de isometría de $Q$ y $-$ $Q$ son los mismos ( $O($ $p$ $,$ $q$ $) \approx O($ $q$ $,$ $p$ $)$ ), pero las álgebras de Clifford asociadas (y por lo tanto los grupos pin ) son diferentes.

Definiciones

Una forma cuadrática sobre un cuerpo $K$ es una aplicación $q : V \to K$ $de un espacio vectorial K$ de dimensión finita a $K$ tal que $q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in K$ , $v \in V$ y la función $q (u + v) - q (u) - q (v)$ es una forma bilineal .

Más concretamente, una forma cuadrática $n$ -aria sobre un cuerpo $K$ es un polinomio homogéneo de grado 2 en $n$ variables con coeficientes en $K$ : $q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.$

Esta fórmula puede reescribirse usando matrices: sea $x$ el vector columna con componentes $x 1$ , ..., $x n$ y $A = (a ij)$ la matriz $n \times n$ sobre $K$ cuyas entradas son los coeficientes de $q$ . Entonces $q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax.$

Un vector $v = (x 1, ..., x n)$ es un vector nulo si $q (v) = 0$ .

Dos formas cuadráticas $n -arias$ $φ$ y $ψ$ sobre $K$ son equivalentes si existe una transformación lineal no singular $C \in GL (n, K)$ tal que $\psi (x)=\varphi (Cx).$

Sea la característica de $K$ diferente de $2.$ ^[ 7 ^] La matriz de coeficientes ^A $de$ q $puede$ ser reemplazada por la matriz simétrica $(A + A T)/2$ con la misma forma cuadrática, por lo que puede asumirse desde el principio que $A$ es simétrica. Además, una matriz simétrica $A$ está determinada unívocamente por la forma cuadrática correspondiente. Bajo una equivalencia $C$ , la matriz simétrica $A$ de $φ$ y la matriz simétrica $B$ de $ψ$ se relacionan de la siguiente manera: $B=C^{\mathsf {T}}AC.$

La forma bilineal asociada de una forma cuadrática $q$ se define por $b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

Por lo tanto, $b q$ es una forma bilineal simétrica sobre $K$ con matriz $A.$ Recíprocamente, cualquier forma bilineal simétrica $b$ define una forma cuadrática. $q(x)=b(x,x),$ y estos dos procesos son inversos entre sí. En consecuencia, sobre un cuerpo de característica distinta de 2, las teorías de las formas bilineales simétricas y de las formas cuadráticas en $n$ variables son esencialmente las mismas.

Espacio cuadrático

Dado un espacio vectorial $n$ -dimensional $V$ sobre un cuerpo $K$ , una forma cuadrática en $V$ es una función $Q$ $:$ $V$ $\to$ $K$ que tiene la siguiente propiedad: para alguna base, la función $q$ que mapea las coordenadas de $v$ $\in$ $V$ a $Q$ $($ $v$ $)$ es una forma cuadrática. En particular, si $V$ $=$ $K$ $n$ con su base estándar , se tiene $q(v_{1},\ldots ,v_{n})=Q([v_{1},\ldots ,v_{n}])\quad {\text{para}}\quad [v_{1},\ldots ,v_{n}]\in K^{n}.$

Las fórmulas de cambio de base muestran que la propiedad de ser una forma cuadrática no depende de la elección de una base específica en $V$ , aunque la forma cuadrática $q sí$ depende de la elección de la base.

Un espacio vectorial de dimensión finita con forma cuadrática se denomina espacio cuadrático .

La aplicación $Q$ es una función homogénea de grado 2, lo que significa que tiene la propiedad de que, para todo $a$ en $K$ y $v$ en $V$ : $Q(av)=a^{2}Q(v).$

Cuando la característica de $K$ no es 2, se define la aplicación bilineal $B : V \times V \to K$ sobre $K :$ $B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).$ Esta forma bilineal $B$ es simétrica. Es decir, $B (x, y) = B (y, x)$ para todo $x$ , $y$ en $V$ , y determina $Q$ : $Q (x) = B (x, x)$ para todo $x$ en $V$ .

Cuando la característica de $K$ es 2, de modo que 2 no es una unidad , todavía es posible usar una forma cuadrática para definir una forma bilineal simétrica $B'(x, y) = Q (x + y) - Q (x) - Q (y)$ . Sin embargo, $Q (x)$ ya no se puede recuperar de esta $B'$ de la misma manera, puesto que $B'(x, x) = 0$ para todo $x$ (y por lo tanto es alternante). ^{[ 8 ]} Alternativamente, siempre existe una forma bilineal $B ″$ (no en general única ni simétrica) tal que $B ″(x, x) = Q (x)$ .

El par $(V, Q) formado por un espacio vectorial$ $V$ de dimensión finita sobre $K$ y una aplicación cuadrática $Q$ de $V$ a $K$ se denomina espacio cuadrático , y $B,$ tal como se define aquí, es la forma bilineal simétrica asociada de $Q.$ La noción de espacio cuadrático es una versión independiente de coordenadas de la noción de forma cuadrática. A veces, $Q$ también se denomina forma cuadrática.

Dos espacios cuadráticos $n- dimensionales$ $(V, Q)$ y $(V', Q')$ son isométricos si existe una transformación lineal invertible $T : V \to V'$ ( isometría ) tal que $Q(v)=Q'(Tv){\text{ para todo }}v\in V.$

Las clases de isometría de espacios cuadráticos $n -dimensionales sobre$ $K$ corresponden a las clases de equivalencia de formas cuadráticas $n$ -arias sobre $K.$

Generalización

Sea $R$ un anillo conmutativo , $M$ un $R$ - módulo y $b : M \times M \to R$ una forma $R -bilineal.$ ^{[ 9 ]} Una aplicación $q : M \to R : v \mapsto b (v, v)$ es la forma cuadrática asociada de $b$ , y $B : M \times M \to R : (u, v) \mapsto q (u + v) - q (u) - q (v)$ es la forma polar de $q$ .

Una forma cuadrática $q : M \to R$ puede caracterizarse de las siguientes maneras equivalentes:

Existe una forma $R -bilineal$ $b : M \times M \to R$ tal que $q (v)$ es la forma cuadrática asociada.
$q (av) = a 2 q (v)$ para todo $a \in R$ y $v \in M$ , y la forma polar de $q$ es $R$ -bilineal.

Conceptos relacionados

Dos elementos $v$ y $w$ de $V$ se denominan ortogonales si $B (v, w) = 0.$ El núcleo de una forma bilineal $B$ consta de los elementos que son ortogonales a cada elemento de $V.$ $Q$ es no singular si el núcleo de su forma bilineal asociada es ${0}$ . Si existe un $v$ distinto de cero en $V$ tal que $Q (v) = 0$ , la forma cuadrática $Q$ es isotrópica ; de lo contrario, es definida . Esta terminología también se aplica a vectores y subespacios de un espacio cuadrático. Si la restricción de $Q$ a un subespacio $U$ de $V$ es idénticamente cero, entonces $U$ es totalmente singular .

El grupo ortogonal de una forma cuadrática no singular $Q$ es el grupo de los automorfismos lineales de $V$ que preservan $Q$ : es decir, el grupo de isometrías de $(V, Q)$ en sí mismo.

Si un espacio cuadrático $(A, Q)$ tiene un producto tal que $A$ es un álgebra sobre un cuerpo , y satisface $\forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),$ entonces es un álgebra de composición .

Equivalencia de formas

Toda forma cuadrática $q$ en $n$ variables sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es equivalente a una forma diagonal. $q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

Dicha forma diagonal se suele denotar por $⟨ a 1, ..., a n ⟩$ . Por lo tanto, la clasificación de todas las formas cuadráticas hasta la equivalencia se puede reducir al caso de las formas diagonales.

significado geométrico

Utilizando coordenadas cartesianas en tres dimensiones, sea $x \equiv [x, y, z] T$ , y sea $A$ una matriz simétrica de 3x3. Entonces, la naturaleza geométrica del conjunto solución de la ecuación $x T A x + b T x = 1$ depende de los valores propios de la matriz $A$ .

Si todos los valores propios de $A$ son distintos de cero, entonces el conjunto solución es un elipsoide o un hiperboloide . Si todos los valores propios son positivos, entonces es un elipsoide; si todos los valores propios son negativos, entonces es un elipsoide imaginario (obtenemos la ecuación de un elipsoide pero con radios imaginarios); si algunos valores propios son positivos y otros negativos, entonces es un hiperboloide; si todos los valores propios son iguales y positivos, entonces es una esfera (caso especial de un elipsoide con todos los ejes iguales, que corresponde a la presencia de valores propios iguales).

Si existen uno o más autovalores $λ i = 0$ , entonces la forma depende del correspondiente $b i$ . Si el correspondiente $b i \neq 0$ , entonces el conjunto de soluciones es un paraboloide (ya sea elíptico o hiperbólico); si el correspondiente $b i = 0$ , entonces la dimensión $i$ degenera y no entra en juego, y el significado geométrico estará determinado por otros autovalores y otros componentes de $b$ . Cuando el conjunto de soluciones es un paraboloide , si es elíptico o hiperbólico viene determinado por si todos los demás autovalores distintos de cero tienen el mismo signo: si lo tienen, entonces es elíptico; de lo contrario, es hiperbólico.

formas cuadráticas integrales

Las formas cuadráticas sobre el anillo de los enteros se denominan formas cuadráticas integrales , mientras que los módulos correspondientes son retículos cuadráticos (a veces, simplemente retículos ). Desempeñan un papel importante en la teoría de números y la topología .

Una forma cuadrática integral tiene coeficientes enteros, como $x² + xy + y²;$ equivalentemente, dada una red $Λ en$ $un$ espacio vectorial $V$ (sobre un campo con característica 0, como $Q$ o $R$ ), una forma cuadrática $Q$ es integral con respecto a $Λ$ si y solo si tiene valores enteros en $Λ$ , lo que significa que $Q (x, y) \in Z$ si $x, y \in Λ$ .

Este es el uso actual del término; en el pasado, a veces se utilizaba de forma diferente, como se detalla a continuación.

Uso histórico

Históricamente, hubo cierta confusión y controversia sobre si la noción de forma cuadrática integral debería significar:

dos en: la forma cuadrática asociada a una matriz simétrica con coeficientes enteros
dos fuera: un polinomio con coeficientes enteros (por lo que la matriz simétrica asociada puede tener coeficientes semi-enteros fuera de la diagonal).

Este debate se debió a la confusión entre las formas cuadráticas (representadas por polinomios) y las formas bilineales simétricas (representadas por matrices), y ahora la convención aceptada es "dos fuera"; "dos dentro" es, en cambio, la teoría de las formas bilineales simétricas integrales (matrices simétricas integrales).

$En "dos en uno", las formas cuadráticas binarias son de la forma ax² + 2bxy$ $+$ cy² $, representadas por la matriz$ simétrica ${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$ Ésta es la convención que utiliza Gauss en Disquisitiones Arithmeticae .

$En " dos fuera",$ $las$ formas cuadráticas binarias son de la forma $ax² + bxy + cy²$ , representadas por la matriz simétrica ${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.$

Existen varios puntos de vista que han llevado a la adopción de la convención estándar de "dos fuera" . Estos incluyen:

una mejor comprensión de la teoría 2-ádica de las formas cuadráticas, la fuente 'local' de la dificultad;
la capacidad de expresar cualquier forma cuadrática en característica 2 mediante una matriz (no necesariamente simétrica);
el punto de vista reticular , que fue generalmente adoptado por los expertos en la aritmética de formas cuadráticas durante la década de 1950;
las necesidades reales de la teoría de formas cuadráticas integrales en topología para la teoría de la intersección ;
los aspectos de grupo de Lie y grupo algebraico .

Formas cuadráticas universales

Una forma cuadrática integral cuya imagen consiste en todos los enteros positivos se denomina a veces universal . $El teorema$ $de$ $los$ cuatro cuadrados de Lagrange muestra que $w² + x² + y² + z²$ es universal. Ramanujan generalizó esto $aw² + bx² + cy² + dz² y$ encontró 54 multiconjuntos ${a, b, c,$ $d$ $}$ que pueden generar cada uno todos los enteros positivos $,$ $a$ $saber$ $:$

También existen formas cuya imagen está formada por todos los enteros positivos excepto uno. Por ejemplo, ${1, 2, 5, 5}$ tiene como excepción el 15. Recientemente, los teoremas 15 y 290 han caracterizado completamente las formas cuadráticas integrales universales: si todos los coeficientes son enteros, entonces representa a todos los enteros positivos si y solo si representa a todos los enteros hasta 290; si tiene una matriz entera, representa a todos los enteros positivos si y solo si representa a todos los enteros hasta 15.

Véase también

Notas

↑ Una tradición que se remonta a Gauss dicta el uso de coeficientes manifiestamente pares para los productos de variables distintas, es decir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias y $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f$ en formas ternarias. Ambas convenciones aparecen en la literatura.
↑ lejos de 2 , es decir, si 2 es invertible en el anillo, las formas cuadráticas son equivalentes a las formas bilineales simétricas (por las identidades de polarización ), pero en 2 son conceptos diferentes; esta distinción es particularmente importante para las formas cuadráticas sobre los enteros.
↑ Pitágoras babilónico
↑ Biografía de Brahmagupta
↑ Bôcher, M. (1907). "§ 45 Reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados" . Introducción al álgebra superior . (con EPR DuVal). Nueva York, NY: Macmillan. pág. 129 – vía HathiTrust .
↑ Si se cumple una desigualdad no estricta (con $\geq$ o $\leq$ ), entonces la forma cuadrática $q$ se denomina semidefinida.
↑ La teoría de las formas cuadráticas sobre un cuerpo de característica $2$ tiene algunos inconvenientes y muchas definiciones y teoremas deben reformularse con cuidado para aplicarlos en este contexto.
↑ Esta forma alternada asociada a una forma cuadrática en característica 2 es de interés en relación con el invariante de Arf – Kaplansky, Irving (1974), Álgebra lineal y geometría , pág. 27 .
↑ La forma bilineal a la que se asociauna forma cuadrática no está restringida a ser simétrica, lo cual es significativo cuando 2 no es una unidad en $R.$

Referencias

O'Meara, OT (2000), Introducción a las formas cuadráticas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66564-9
Conway, John Horton ; Fung, Francis YC (1997), La forma sensual (cuadrática) , Carus Mathematical Monographs, The Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-030-5
Shafarevich, IR ; Remizov, AO (2012). Álgebra lineal y geometría . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9.

Lecturas adicionales

Cassels, JWS (1978). Formas cuadráticas racionales . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 13. Academic Press . ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029 .
Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR 2104929 . Zbl 1068.11023 .
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Springer-Verlag . ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .
O'Meara, OT (1973). Introducción a las formas cuadráticas . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 117. Springer-Verlag . ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018 .
Pfister, Albrecht (1995). Formas cuadráticas con aplicaciones a la geometría algebraica y la topología . Serie de notas de clase de la London Mathematical Society. Vol. 217. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014 .

Enlaces externos

AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
AVMalyshev (2001) [1994], "Forma cuadrática binaria" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[1] Una tradición que se remonta a Gauss dicta el uso de coeficientes manifiestamente pares para los productos de variables distintas, es decir, $2 b$ en lugar de $b$ en formas binarias y $2 b$ , $2 d$ , $2 f$ en lugar de $b$ , $d$ , $f$ en formas ternarias. Ambas convenciones aparecen en la literatura.

[2] s de 2 , es decir, si 2 es invertible en el anillo, las formas cuadráticas son equivalentes a las formas bilineales simétricas (por las identidades de polarización ), pero en 2 son conceptos diferentes; esta distinción es particularmente importante para las formas cuadráticas sobre los enteros.

[3] Pitágoras babilónico

[4] Biografía de Brahmagupta

[5] Bôcher, M. (1907). "§ 45 Reducción de una forma cuadrática a una suma de cuadrados" . Introducción al álgebra superior . (con EPR DuVal). Nueva York, NY: Macmillan. pág. 129 – vía HathiTrust .

[6] Si se cumple una desigualdad no estricta (con $\geq$ o $\leq$ ), entonces la forma cuadrática $q$ se denomina semidefinida.

[7] La teoría de las formas cuadráticas sobre un cuerpo de característica $2$ tiene algunos inconvenientes y muchas definiciones y teoremas deben reformularse con cuidado para aplicarlos en este contexto.

[8] Esta forma alternada asociada a una forma cuadrática en característica 2 es de interés en relación con el invariante de Arf – Kaplansky, Irving (1974), Álgebra lineal y geometría , pág. 27 .

[9] La forma bilineal a la que se asociauna forma cuadrática no está restringida a ser simétrica, lo cual es significativo cuando 2 no es una unidad en $R.$

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]