Coordenadas isotérmicas

La existencia de coordenadas isotérmicas puede probarse ^{[ 6 ]} aplicando teoremas de existencia conocidos para la ecuación de Beltrami , que se basan en estimaciones L ^{p para} operadores integrales singulares de Calderón y Zygmund . ^{[ 7 ] [ 8 ]} Un enfoque más simple para la ecuación de Beltrami ha sido presentado más recientemente por Adrien Douady . ^{[ 9 ]}

Si la métrica riemanniana se da localmente como

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

luego en el sistema de coordenadas complejo${\displaystyle z=x+iy}$, toma la forma

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |\,dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

dónde${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$son suaves con${\displaystyle \lambda >0}$y${\displaystyle \left\vert \mu \right\vert <1}$. De hecho

${\displaystyle \lambda ={1 \over 4}(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}),\,\,\,{\displaystyle \mu ={(E-G+2iF) \over 4\lambda }}.}$

En coordenadas isotérmicas${\displaystyle (u,v)}$La métrica debería tomar la forma

${\displaystyle ds^{2}=e^{\rho }(du^{2}+dv^{2})}$

con ρ suave. La coordenada compleja${\displaystyle w=u+iv}$Satisface

${\displaystyle e^{\rho }\,|dw|^{2}=e^{\rho }|w_{z}|^{2}|\,dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}$

de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas si se cumple la ecuación de Beltrami.

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

tiene una solución difeomorfa. Se ha demostrado que dicha solución existe en cualquier entorno donde${\displaystyle \lVert \mu \rVert _{\infty }<1}$.

La existencia de coordenadas isotérmicas en una variedad riemanniana bidimensional suave es un corolario del resultado estándar de solubilidad local en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . En este contexto, la ecuación elíptica relevante es la condición para que una función sea armónica con respecto a la métrica riemanniana. La solubilidad local establece entonces que cualquier punto p tiene un entorno U en el que existe una función armónica u con derivada que no se anula en ningún punto. ^{[ 10 ]}

Las coordenadas isotérmicas se construyen a partir de dicha función de la siguiente manera. ^{[ 11 ]} La armonicidad de u es idéntica a la condición de cierre de la 1-forma diferencial.${\displaystyle \star du,}$definido mediante el operador estrella de Hodge${\displaystyle \star }$asociado a la métrica riemanniana. El lema de Poincaré implica, por lo tanto, la existencia de una función v en U con${\displaystyle dv=\star du.}$Por definición de la estrella de Hodge,${\displaystyle du}$y${\displaystyle dv}$son ortogonales entre sí y, por lo tanto, linealmente independientes, y entonces se deduce del teorema de la función inversa que u y v forman un sistema de coordenadas en algún entorno de p . Este sistema de coordenadas es automáticamente isotérmico, ya que la ortogonalidad de${\displaystyle du}$y${\displaystyle dv}$implica la diagonalidad de la métrica, y la propiedad de preservación de la norma de la estrella de Hodge implica la igualdad de las dos componentes diagonales.

En las coordenadas isotérmicas${\displaystyle (u,v)}$, la curvatura gaussiana toma la forma más simple

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2}}e^{-\rho }\left({\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial v^{2}}}\right).}$