Escuela italiana de geometría algebraica

En relación con la historia de las matemáticas , la escuela italiana de geometría algebraica se refiere a los matemáticos y su trabajo en geometría birracional , particularmente en superficies algebraicas , con centro en Roma aproximadamente entre 1885 y 1935. Hubo entre 30 y 40 matemáticos destacados que realizaron importantes contribuciones, de los cuales cerca de la mitad eran italianos. El liderazgo recayó en el grupo romano de Guido Castelnuovo , Federigo Enriques y Francesco Severi , quienes participaron en algunos de los descubrimientos más profundos, además de establecer el estilo.

El énfasis en las superficies algebraicas —variedades algebraicas de dimensión dos— surgió a partir de una teoría geométrica prácticamente completa de las curvas algebraicas (dimensión 1). Hacia 1870, se consideraba que la teoría de curvas había incorporado, junto con la teoría de Brill-Noether, el teorema de Riemann-Roch en todos sus refinamientos (a través de la geometría detallada del divisor theta ).

La clasificación de superficies algebraicas fue un intento audaz y exitoso de repetir la división de curvas algebraicas según su género g . La división de curvas corresponde a la clasificación aproximada en tres tipos: g = 0 ( línea proyectiva ); g = 1 ( curva elíptica ); y g > 1 ( superficies de Riemann con diferenciales holomorfas independientes). En el caso de las superficies, la clasificación de Enriques se dividió en cinco grandes clases similares, tres de las cuales eran análogas a los casos de curvas, y otras dos ( fibraciones elípticas y superficies K3 , como se las denominaría ahora) se encontraban en el territorio intermedio, junto con el caso de las variedades abelianas bidimensionales . Se trataba de un conjunto de ideas innovadoras y sólidas, recuperadas en el lenguaje moderno de las variedades complejas por Kunihiko Kodaira en la década de 1950, y refinadas para incluir fenómenos módulo p por Zariski , la escuela de Shafarevich y otros hacia 1960. También se desarrolló la formulación del teorema de Riemann-Roch en una superficie .

Algunas demostraciones presentadas por la escuela no se consideran satisfactorias debido a dificultades fundamentales. Entre ellas, el uso frecuente de modelos birracionales en la tercera dimensión de superficies que solo pueden tener modelos no singulares al estar incrustadas en un espacio proyectivo de dimensiones superiores . Para evitar estos problemas, se desarrolló una teoría sofisticada para el manejo de un sistema lineal de divisores (en efecto, una teoría de fibrados de líneas para secciones hiperplanas de supuestas incrustaciones en el espacio proyectivo). Se encontraron muchas técnicas modernas, en forma embrionaria, y en algunos casos la articulación de estas ideas superó el lenguaje técnico disponible.

Según Guerraggio y Nastasi (página 9, 2005), Luigi Cremona es "considerado el fundador de la escuela italiana de geometría algebraica". Más adelante explican que en Turín la colaboración de Enrico D'Ovidio y Corrado Segre "llevaría, ya sea por sus propios esfuerzos o por los de sus alumnos, la geometría algebraica italiana a su plena madurez". Un antiguo alumno de Segre, HF Baker escribió ^{[ 1 ]} que Corrado Segre "probablemente pueda decirse que es el padre de esa maravillosa escuela italiana que ha logrado tanto en la teoría birracional de los lugares algebraicos". Sobre este tema, Brigaglia y Ciliberto (2004) dicen que "Segre había dirigido y mantenido la escuela de geometría que Luigi Cremona había establecido en 1860". La referencia al Proyecto de Genealogía Matemática muestra que, en términos de doctorados italianos , la verdadera productividad de la escuela comenzó con Guido Castelnuovo y Federigo Enriques .

El cuadro de honor de la escuela incluye a los siguientes italianos: Giacomo Albanese , Eugenio Bertini , Luigi Campedelli, Oscar Chisini , Michele De Franchis , Pasquale del Pezzo , Beniamino Segre , Francesco Severi , Guido Zappa (con contribuciones también de Gino Fano , Carlo Rosati, Giuseppe Torelli, Giuseppe Veronese ).

En otros lugares participaron HF Baker y Patrick du Val (Reino Unido), Arthur Byron Coble (EE. UU.), Georges Humbert y Charles Émile Picard (Francia), Lucien Godeaux (Bélgica), Hermann Schubert y Max Noether , y más tarde Oscar Zariski (Estados Unidos), Erich Kähler (Alemania) y HG Zeuthen (Dinamarca).

Todas estas figuras estaban involucradas en la geometría algebraica, en lugar de la búsqueda de la geometría proyectiva como geometría sintética , que durante el período en cuestión era un tema enorme (en términos de volumen) pero secundario (si se juzga por su importancia como investigación).

En 1950, Henry Forder mencionó la escuela italiana en relación con las curvas algebraicas . ^{[ 2 ]}

El desarrollo de la teoría de curvas planas solo resulta fructífero cuando se relaciona con la teoría de superficies de Riemann y funciones abelianas . Este ha sido un tema de estudio predilecto de los geómetras italianos durante los últimos cincuenta años, quienes también han realizado valiosas contribuciones a una teoría similar de superficies y de variedades de dimensiones superiores. En este contexto, la combinación de la teoría de integrales sobre las variedades y su topología produce resultados decisivos. De este modo, la teoría de curvas y superficies se conecta con el álgebra y la topología modernas.

La nueva geometría algebraica que sucedió a la escuela italiana se caracterizó por el uso intensivo de la topología algebraica . El fundador de esta tendencia fue Henri Poincaré ; durante la década de 1930, Lefschetz , Hodge y Todd la desarrollaron . La síntesis moderna reunió sus trabajos, los de la escuela de Cartan y los de W. L. Chow y Kunihiko Kodaira , con el material tradicional.

En los primeros años de la escuela italiana bajo Castelnuovo, los estándares de rigor eran tan altos como en la mayoría de las áreas de las matemáticas. ^{[ 3 ]} Bajo Enriques, gradualmente se aceptó el uso de argumentos algo más informales en lugar de demostraciones rigurosas completas, ^{[ 3 ]} como el "principio de continuidad" que afirma que lo que es cierto hasta el límite es cierto en el límite, una afirmación que no tenía ni una demostración rigurosa ni siquiera una formulación precisa. A pesar de esto, muchas de las afirmaciones de Enriques resultaron ser correctas, y fue capaz de producir resultados espectaculares sobre superficies algebraicas. Desafortunadamente, a partir de 1930, bajo el liderazgo de Severi, los estándares de precisión disminuyeron aún más, hasta el punto de que algunos de los resultados afirmados no solo estaban insuficientemente demostrados, sino que eran incorrectos. Por ejemplo, en 1934 Severi afirmó que el espacio de clases de equivalencia racionales de ciclos en una superficie algebraica es de dimensión finita, pero Mumford (1968) demostró que esto es falso para superficies de género geométrico positivo. En 1946, Severi publicó un artículo en el que pretendía probar que una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional tiene como máximo 52 nodos, mientras que el sexto de Barth tiene 65 nodos. Severi no aceptó que sus argumentos fueran insuficientes, lo que dio lugar a acaloradas disputas sobre la validez de algunos resultados.

En la década de 1940, la comunidad matemática internacional comenzó a dudar de los fundamentos del razonamiento de la escuela italiana, y conceptos como la multiplicidad de intersección, que existían desde hacía varias décadas, comenzaron a ser cuestionados. ^{[ 4 ]} La geometría algebraica comenzó a evolucionar en una nueva dirección, siguiendo las ideas de Weil y Zariski, quienes desarrollaron nuevos fundamentos basados ​​en el álgebra conmutativa de Krull y Noether . ^{[ 5 ]} En particular, en la década de 1960, Kodaira y Shafarevich y sus estudiantes reescribieron la clasificación de Enriques de superficies algebraicas y también la extendieron a todas las superficies complejas compactas, mientras que en la década de 1970 Fulton y MacPherson establecieron los cálculos clásicos de la teoría de la intersección sobre fundamentos rigurosos.

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• Aldo Brigaglia (2001) "La creación y la persistencia de las escuelas nacionales: El caso de la geometría algebraica italiana", Capítulo 9 (páginas 187 – 206) de Changing Images in Mathematics , Umberto Bottazzini y Amy Delmedico editores, Routledge .
• Brigaglia, Aldo; Ciliberto, Ciro (2004). "Observaciones sobre las relaciones entre las escuelas italiana y americana de geometría algebraica en las primeras décadas del siglo XX" . Historia Mathematica . 31 (3): 310– 319. doi : 10.1016/j.hm.2003.09.003 .
• Brigaglia, Aldo; Ciliberto, Ciro; Pedrini, Claudio (2004), «La escuela italiana de geometría algebraica y el legado de Abel», El legado de Niels Henrik Abel , Berlín: Springer, pp. 295–347 , ISBN  3-540-43826-2, MR 2077577 
• Coolidge, JL (mayo-junio de 1927), "Corrado Segre" , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 33 (3): 352–357 , doi : 10.1090/S0002-9904-1927-04373-7 , JFM 53.0034.09 , MR 1561376  .
• Guerraggio, Angelo; Nastasi, Pietro (2005), Las matemáticas italianas entre las dos Guerras Mundiales , Science Networks. Historical Studies, vol.  29, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-6555-4, MR 2188015 
• Mumford, David (1968), "Equivalencia racional de 0-ciclos en superficies" , Journal of Mathematics of Kyoto University , 9 (2): 195–204 , doi : 10.1215/kjm/1250523940 , ISSN 0023-608X , MR 0249428  
• Vesentini, Edoardo (2005), "Beniamino Segre y la geometría italiana" (PDF) , Rediconti di Matematica e delle sue Applicazioni , 25 (2): 185– 193, SEÑOR 2197882 , Zbl 1093.01009  .

• Correo electrónico de David Mumford sobre los errores de la escuela italiana de geometría algebraica bajo Severi
• Kevin Buzzard, ¿qué errores cometieron realmente los geómetras algebraicos italianos?
• A. Brigaglia, C. Ciliberto y E. Sernesi Geometria algebraica italiana Archivado el 16 de mayo de 2005 en la Wayback Machine de la Universidad de Palermo .