Estructura J

En matemáticas, una estructura J es una estructura algebraica sobre un cuerpo relacionada con un álgebra de Jordan . El concepto fue introducido por Springer (1973) para desarrollar una teoría de álgebras de Jordan utilizando grupos algebraicos lineales y axiomas, tomando la inversión de Jordan como operación básica y la identidad de Hua como relación fundamental. Existe una clasificación de estructuras simples derivada de la clasificación de grupos algebraicos semisimples . Sobre cuerpos de característica distinta de 2, la teoría de las estructuras J es esencialmente la misma que la de las álgebras de Jordan.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K y j una aplicación racional de V en sí mismo, expresable en la forma n / N con n una aplicación polinómica de V en sí mismo y N un polinomio en K [ V ]. Sea H el subconjunto de GL( V ) × GL( V ) que contiene los pares ( g , h ) tales que g ∘ j = j ∘ h : es un subgrupo cerrado del producto y la proyección sobre el primer factor, el conjunto de g que aparecen, es el grupo de estructura de j , denotado G' ( j ).

Una J-estructura es una tripleta ( V , j , e ) donde V es un espacio vectorial sobre K , j es una aplicación birracional de V en sí mismo y e es un elemento no nulo de V que satisface las siguientes condiciones. ^{[ 1 ]}

• j es una involución birracional homogénea de grado −1
• j es regular en e y j ( e ) = e
• Si j es regular en x , e + x y e + j ( x ) entonces

${\displaystyle j(e+x)+j(e+j(x))=e}$

• La órbita G e de e bajo el grupo de estructura G = G ( j ) es un subconjunto abierto de Zariski de V .

La norma asociada a una J-estructura ( V , j , e ) es el numerador N de j , normalizado de modo que N ( e ) = 1. El grado de la J-estructura es el grado de N como una aplicación polinómica homogénea. ^{[ 2 ]}

El mapa cuadrático de la estructura es un mapa P de V a End( V ) definido en términos del diferencial d j en un x invertible . ^{[ 3 ]} Ponemos

${\displaystyle P(x)=-(dj)_{x}^{-1}.}$

El mapa cuadrático resulta ser un mapa polinómico cuadrático en V.

El subgrupo del grupo de estructura G generado por las aplicaciones cuadráticas invertibles es el grupo de estructura interna de la J-estructura. Es un subgrupo normal cerrado y conexo. ^{[ 4 ]}

Sea K una forma cuadrática en el espacio vectorial V sobre K con forma bilineal asociada Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) y elemento distinguido e tal que Q ( e , . ) no es trivial. Definimos una aplicación de reflexión x ^* por

${\displaystyle x^{*}=Q(x,e)ex}$

y un mapa de inversión j por

${\displaystyle j(x)=Q(x)^{-1}x^{*}.}$

Entonces ( V , j , e ) es una estructura J.

En característica distinta de 2, que es lo que asumimos en esta sección, la teoría de las J-estructuras es esencialmente la misma que la de las álgebras de Jordan.

Sea A un álgebra conmutativa no asociativa de dimensión finita sobre K con identidad e . Sea L ( x ) la multiplicación por la izquierda por x . Existe una única aplicación birracional i en A tal que i ( x ) · x = e si i es regular en x : es homogénea de grado −1 y una involución con i ( e ) = e . Se puede definir por i ( x ) = L ( x ) ^{−1 ·} e . Llamamos a i la inversión en A. [ ^{6 ]}

Un álgebra de Jordan se define mediante la identidad ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle x(x^{2}y)=x^{2}(xy).}$

Una caracterización alternativa es que para todo x invertible tenemos

${\displaystyle x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y).}$

Si A es un álgebra de Jordan, entonces ( A , i , e ) es una J-estructura. Si ( V , j , e ) es una J-estructura, entonces existe una única estructura de álgebra de Jordan en V con identidad e con inversión j .

En general, como se indica en esta sección, las estructuras J están relacionadas con las álgebras de Jordan cuadráticas . Tomamos un álgebra de Jordan cuadrática como un espacio vectorial V de dimensión finita con una aplicación cuadrática Q de V a End( V ) y un elemento distinguido e . También denotamos por Q la aplicación bilineal Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ). Las propiedades de un álgebra de Jordan cuadrática serán ^{[ 9 ] [ 10 ].}

• Q ( e ) = id _V , Q ( x , e ) y = Q ( x , y ) e
• Q ( Q ( x ) y ) = Q ( x ) Q ( y ) Q ( x )
• Q ( x ) Q ( y , z ) x = Q ( Q ( x ) y , x ) z

Llamamos Q ( x ) e al cuadrado de x . Si la elevación al cuadrado es dominante (tiene una imagen densa de Zariski ), entonces el álgebra se denomina separable . ^{[ 11 ]}

Existe una única involución birracional i tal que Q ( x ) i x = x si Q es regular en x . Como antes, i es la inversión , definible por i ( x ) = Q ( x ) ⁻¹ x .

Si ( V , j , e ) es una J-estructura con aplicación cuadrática Q, entonces ( V , Q , e ) es un álgebra de Jordan cuadrática. En sentido contrario, si ( V , Q , e ) es un álgebra de Jordan cuadrática separable con inversión i , entonces ( V , i , e ) es una J-estructura. ^{[ 12 ]}

Una estructura J tiene una descomposición de Peirce en subespacios determinados por elementos idempotentes. ^{[ 15 ]} Sea a un idempotente de la estructura J ( V , j , e ), es decir, a ² = a . Sea Q la aplicación cuadrática. Definir

${\displaystyle \phi _{a}(t,u)=Q(ta+u(ea)).}$

Esto es invertible para t y u distintos de cero en K , por lo que φ define un morfismo del toro algebraico GL ₁ × GL ₁ al grupo de estructura interna G _1. Hay subespacios

${\displaystyle V_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=t^{2}x}\right\rbrace }$

${\displaystyle V'_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=tux}\right\rbrace }$

${\displaystyle V_{ea}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=u^{2}x}\right\rbrace }$

y estos forman una descomposición de suma directa de V. Esta es la descomposición de Peirce para el idempotente a . ^{[ 16 ]}

Si eliminamos la condición sobre el elemento distinguido e , obtenemos "estructuras J sin identidad". ^{[ 17 ]} Estas están relacionadas con isótopos de álgebras de Jordan. ^{[ 18 ]}

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