Cuaternio

En matemáticas , los cuaterniones forman un sistema numérico similar a los números complejos , con las operaciones aritméticas habituales de suma , resta , multiplicación y división , pero con cuatro componentes reales en lugar de dos. A diferencia de los números complejos, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa , lo que significa que el resultado de multiplicar dos cuaterniones depende de su orden. Los cuaterniones se pueden usar para representar vectores en el espacio tridimensional , lo que proporciona una definición del cociente de dos vectores. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los cuaterniones fueron descritos por primera vez por el matemático y físico irlandés William Rowan Hamilton en 1843, ^{[ 3 ] [ 4 ]} y en su honor el conjunto de todos los cuaterniones se denota convencionalmente por${\displaystyle \mathbb {H} }$o H. Un cuaternión genérico se suele representar de la forma $${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$ donde los coeficientes a , b , c , d son números reales, y 1, i , j , k son los vectores base o elementos base . ^{[ 5 ]}

Los cuaterniones se utilizan en matemáticas puras , pero también tienen aplicaciones prácticas en matemáticas aplicadas , particularmente en cálculos que involucran rotaciones tridimensionales , como en gráficos por computadora tridimensionales , visión por computadora , robótica, imágenes por resonancia magnética ^{[ 6 ]} y análisis de textura cristalográfica ^{[ 7 ]} . Se pueden usar junto con otros métodos de rotación, como ángulos de Euler y matrices de rotación , o como alternativa a ellos, según la aplicación.

Como estructura matemática abstracta, los cuaterniones forman un álgebra de división normada asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales y, por lo tanto, un anillo, también un anillo de división y un dominio . Debido a su multiplicación no conmutativa, no forman un cuerpo . Los cuaterniones son también un caso especial de un álgebra de Clifford , clasificada como${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

Según el teorema de Frobenius , el álgebra${\displaystyle \mathbb {H} }$es uno de los dos únicos anillos de división de dimensión finita que contienen un subanillo propio isomorfo a los números reales; el otro son los números complejos. Estos anillos son también álgebras de Hurwitz euclidianas , de las cuales los cuaterniones son el álgebra asociativa más grande (y por lo tanto el anillo más grande). Una extensión adicional de los cuaterniones produce los octoniones no asociativos , que es la última álgebra de división normada sobre los números reales. La siguiente extensión da los sedeniones , que tienen divisores cero y por lo tanto no pueden ser un álgebra de división normada. ^{[ 8 ]}

Los cuaterniones unitarios dan una estructura de grupo en la 3-esfera S ³ isomorfa a los grupos Spin(3) y SU(2) , es decir, el grupo de recubrimiento universal de SO(3) . Los vectores base positivos y negativos forman el grupo de cuaterniones de ocho elementos .

Hamilton introdujo los cuaterniones en 1843. ^{[ 9 ]} Entre los precursores importantes de este trabajo se encuentran la identidad de cuatro cuadrados de Euler (1748) y la parametrización de rotaciones generales por cuatro parámetros de Olinde Rodrigues (1840), pero ninguno de estos autores trató las rotaciones de cuatro parámetros como un álgebra. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ a ]} ​​Gauss había descubierto los cuaterniones en 1819, pero este trabajo no se publicó hasta 1900. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

Hamilton sabía que los números complejos podían interpretarse como puntos en un plano , y buscaba la manera de hacer lo mismo con puntos en el espacio tridimensional . Los puntos en el espacio pueden representarse mediante sus coordenadas, que son ternas de números, y durante muchos años supo sumar y restar ternas de números. Sin embargo, durante mucho tiempo se encontró atascado en el problema de la multiplicación y la división. No lograba calcular el cociente de las coordenadas de dos puntos en el espacio. De hecho, Ferdinand Georg Frobenius demostró posteriormente en 1877 que, para que un álgebra de división sobre los números reales sea finita y asociativa, no puede ser tridimensional, y solo existen tres álgebras de división de este tipo:${\displaystyle \mathbb {R,C} }$(números complejos) y${\displaystyle \mathbb {H} }$(cuaterniones) que tienen dimensión 1, 2 y 4 respectivamente.

El gran avance en el estudio de los cuaterniones llegó finalmente el lunes 16  de octubre de 1843 en Dublín , cuando Hamilton se dirigía a la Real Academia Irlandesa para presidir una reunión del consejo. Mientras caminaba por el camino de sirga del Canal Real con su esposa, los conceptos de los cuaterniones empezaron a tomar forma en su mente. Cuando finalmente encontró la respuesta, Hamilton no pudo resistir la tentación de grabar la fórmula definitiva de los cuaterniones en la piedra del puente Brougham con su navaja de bolsillo.

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\;j\;k} =-1}$$

Aunque la escultura se ha desvanecido con el tiempo, desde 1989 se celebra una peregrinación anual, llamada Hamilton Walk , en la que científicos y matemáticos recorren el camino desde el Observatorio de Dunsink hasta el puente del Canal Real en recuerdo del descubrimiento de Hamilton.

Al día siguiente, Hamilton escribió una carta a su amigo y colega matemático, J.T. Graves , describiendo el hilo de pensamiento que lo llevó a su descubrimiento. La carta fue publicada posteriormente en una carta a la revista Philosophical Magazine ; ^{[ 3 ]} Hamilton afirma:

Y entonces se me ocurrió la idea de que debíamos admitir, en cierto sentido, una cuarta dimensión del espacio para poder calcular con triples... Parecía cerrarse un circuito eléctrico y saltó una chispa. ^{[ 3 ]}

Hamilton denominó cuaternión a una cuádrupla con estas reglas de multiplicación , y dedicó la mayor parte del resto de su vida a estudiarlas y enseñarlas. El enfoque de Hamilton es más geométrico que el moderno, que enfatiza las propiedades algebraicas de los cuaterniones . Fundó una escuela de «cuaternionistas» e intentó popularizar los cuaterniones en varios libros. El último y más extenso de ellos, Elementos de cuaterniones , ^{[ 14 ]} tenía 800  páginas; fue editado por su hijo y publicado poco después de su muerte.

Tras la muerte de Hamilton, el físico matemático escocés Peter Tait se convirtió en el principal exponente de los cuaterniones. En aquella época, los cuaterniones eran un tema de examen obligatorio en Dublín. Temas de física y geometría que ahora se describirían mediante vectores, como la cinemática espacial y las ecuaciones de Maxwell , se describían íntegramente en términos de cuaterniones. Incluso existía una asociación de investigación profesional, la Asociación de Cuaterniones , dedicada al estudio de los cuaterniones y otros sistemas de números hipercomplejos . ^{[ 15 ]}

Desde mediados de la década de 1880, los cuaterniones comenzaron a ser reemplazados por el análisis vectorial , desarrollado por Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside y Hermann von Helmholtz . El análisis vectorial describía los mismos fenómenos que los cuaterniones, por lo que tomó prestadas muchas ideas y terminología de la literatura sobre estos últimos. Sin embargo, el análisis vectorial era conceptualmente más simple y su notación más clara, y finalmente los cuaterniones quedaron relegados a un papel secundario en matemáticas y física . Una consecuencia de esta transición es que la obra de Hamilton resulta difícil de comprender para muchos lectores modernos. Las definiciones originales de Hamilton son desconocidas y su estilo de escritura era prolijo y difícil de seguir.

Sin embargo, los cuaterniones han experimentado un resurgimiento desde finales del  siglo XX, principalmente debido a su utilidad para describir rotaciones espaciales . Las representaciones de rotaciones mediante cuaterniones son más compactas y rápidas de calcular que las representaciones mediante matrices . Además, a diferencia de los ángulos de Euler, no son susceptibles al " bloqueo de cardán ". Por esta razón, los cuaterniones se utilizan en gráficos por computadora , ^{[ 16 ] [ b ]} visión por computadora , robótica , ^{[ 18 ]} muestreo de imágenes de resonancia magnética nuclear , ^{[ 6 ]} teoría de control , procesamiento de señales , control de actitud , física , bioinformática , dinámica molecular , simulaciones por computadora y mecánica orbital . Por ejemplo, es común que los sistemas de control de actitud de las naves espaciales se controlen en términos de cuaterniones. Los cuaterniones también han contribuido a la teoría de números , debido a sus relaciones con las formas cuadráticas . ^{[ 19 ]}

Un cuaternión es una expresión de la forma

$${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} ,}$$

donde a , b , c , d son números reales, e i , j , k son símbolos que pueden interpretarse como vectores unitarios que apuntan a lo largo de los tres ejes espaciales. En la práctica, si uno de a , b , c , d es 0, el término correspondiente se omite; si a , b , c , d son todos cero, el cuaternión es el cuaternión cero , denotado 0; si uno de b , c , d es igual a 1, el término correspondiente se escribe simplemente i , j o ​​k .

Un cuaternión${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$, puede descomponerse en su parte escalar ⁠${\displaystyle a}$( a veces la parte real ) y su parte vectorial.${\displaystyle qa=b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$(a veces parte imaginaria ). Un cuaternión que es igual a su parte real (es decir, su parte vectorial es cero) se llamacuaternión escalar (a vecescuaternión realo simplementeescalar), y se identifica con el número real correspondiente. Es decir, los números reales estánincrustadosen los cuaterniones. ^{[ d ]} Un cuaternión que es igual a su parte vectorial se llamacuaternión vectorial (a vecescuaternión derecho).

Los cuaterniones forman un espacio vectorial de 4 dimensiones sobre los números reales, con${\displaystyle \left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}}$como base , mediante la adición componente por componente

$${\displaystyle {\begin{alineado}&(a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\mathbf {k} ,\end{aligned}}}$$

y la multiplicación escalar componente a componente

$${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\mathbf {i} +(\lambda c)\mathbf {j} +(\lambda d)\mathbf {k} .}$$

Una estructura de grupo multiplicativa, llamada producto hamiltoniano , denotada por yuxtaposición, se puede definir en los cuaterniones de la siguiente manera:

• El cuaternión escalar 1 es el elemento identidad .
• Los cuaterniones escalares conmutan con todos los demás cuaterniones; es decir, aq = qa para todo cuaternión q y todo cuaternión escalar a . En terminología algebraica, esto significa que el cuerpo de los cuaterniones escalares es el centro del álgebra de cuaterniones.
• El producto se define primero para los elementos base y luego se extiende a todos los cuaterniones mediante la propiedad distributiva y la propiedad del centro de los cuaterniones escalares (véase más abajo para más detalles). El producto hamiltoniano no es conmutativo , pero sí asociativo ; por lo tanto, los cuaterniones forman un álgebra asociativa sobre los números reales.
• Además, cada cuaternión no nulo tiene un inverso con respecto al producto hamiltoniano:$${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(ab\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$$

De este modo, los cuaterniones forman un álgebra de división .

La conjugación de cuaterniones es análoga a la conjugación de números complejos y a la transposición (también conocida como inversión) de elementos de álgebras de Clifford. Para definirla, sea${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$Sea un cuaternión. El conjugado de q es el cuaternión.${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$Se denota por q ^∗ , q ^t ,${\displaystyle {\tilde {q}}}$, o q . ^{[ 9 ]} La conjugación es una involución , lo que significa que es su propio inverso , por lo que conjugar un elemento dos veces devuelve el elemento original. El conjugado de un producto de dos cuaterniones es el producto de los conjugados en orden inverso . Es decir, si p y q son cuaterniones, entonces ( pq ) ^∗ = q ^∗ p ^∗ , no p ^∗ q ^∗ .

La conjugación de un cuaternión, a diferencia del contexto complejo, se puede expresar mediante la multiplicación y la suma de cuaterniones:

$${\displaystyle q^{*}=-{\tfrac {1}{2}}(q+\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} ).}$$

La conjugación se puede utilizar para extraer las partes escalar y vectorial de un cuaternión. La parte escalar de p es ⁠ 1 / 2 ⁠ ( p + p ^∗ ) , y la parte vectorial de p es ⁠ 1 / 2 ⁠ ( p − p ^∗ ) .

La raíz cuadrada del producto de un cuaternión con su conjugado se llama norma y se denota por ‖ q ‖ (Hamilton la denominó tensor de q , pero esto entra en conflicto con el significado moderno de " tensor "). En fórmulas, se expresa de la siguiente manera:

$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$$

Este es siempre un número real no negativo, y es el mismo que la norma euclidiana en${\displaystyle \mathbb {H} }$considerado como el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Multiplicar un cuaternión por un número real escala su norma por el valor absoluto del número. Es decir, si α es real, entonces

$${\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert .}$$

Este es un caso especial del hecho de que la norma es multiplicativa , lo que significa que

$${\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }$$

para cualesquiera dos cuaterniones p y q . La multiplicatividad es una consecuencia de la fórmula para el conjugado de un producto. Alternativamente, se deduce de la identidad.

$${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}$$

(donde i denota la unidad imaginaria usual ) y por lo tanto, a partir de la propiedad multiplicativa de los determinantes de matrices cuadradas.

Esta norma permite definir la distancia d ( p , q ) entre p y q como la norma de su diferencia:

$${\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert .}$$

Esto hace que${\displaystyle \mathbb {H} }$un espacio métrico . La suma y la multiplicación son continuas con respecto a la topología métrica asociada . Esto se deduce exactamente con la misma demostración que para los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$del hecho de que${\displaystyle \mathbb {H} }$es un álgebra normada.

El conjunto${\displaystyle \mathbb {H} }$de todos los cuaterniones es un espacio vectorial sobre los números reales con dimensión  4. ^{[ f ]} La multiplicación de cuaterniones es asociativa y distributiva sobre la suma de vectores , pero no es conmutativa . Por lo tanto, los cuaterniones,${\displaystyle \mathbb {H} ,}$son un álgebra asociativa no conmutativa sobre los números reales . Aunque${\displaystyle \mathbb {H} }$aunque incorpora múltiples copias de los números complejos, no es en sí misma un álgebra asociativa sobre los números complejos .

Debido a que es posible dividir cuaterniones, forman un álgebra de división. Esta es una estructura similar a un cuerpo, excepto que admite multiplicación no conmutativa. Las álgebras de división asociativas de dimensión finita sobre los números reales son muy raras: el teorema de Frobenius afirma que hay exactamente tres. Esas son${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$y${\displaystyle \mathbb {H} .}$La norma convierte los cuaterniones en un álgebra normada , y las álgebras de división normadas sobre los números reales también son muy raras: el teorema de Hurwitz dice que solo hay cuatro:${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$y${\displaystyle \mathbb {O} }$(los octoniones ). Los cuaterniones son también un ejemplo de álgebra de composición y de álgebra de Banach unitaria .

Debido a que el producto de dos vectores base cualesquiera es más o menos otro vector base, el conjunto {±1, ± i , ± j , ± k } forma un grupo bajo la multiplicación. Este _grupo no abeliano se llama grupo de cuaterniones y se denota Q8 . ^{[ 39 ]} El anillo de grupo _real de Q8 es un anillo${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$que también es un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre${\displaystyle \mathbb {R} .}$Tiene un vector base para cada elemento de${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}.}$Los cuaterniones son isomorfos al anillo cociente de${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$por el ideal generado por los elementos 1 + (−1) , i + (− i ) , j + (− j ) , y k + (− k ) . Aquí el primer término en cada una de las sumas es uno de los elementos base 1, i , j , y k , y el segundo término es uno de los elementos base −1, − i , − j , y − k , no los inversos aditivos de 1, i , j , y k .

La parte vectorial de un cuaternión puede interpretarse como un vector de coordenadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$Por lo tanto, las operaciones algebraicas de los cuaterniones reflejan la geometría de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$Operaciones como el producto escalar y el producto vectorial pueden definirse en términos de cuaterniones, lo que permite aplicar técnicas de cuaterniones siempre que aparezcan vectores espaciales. Una aplicación útil de los cuaterniones ha sido la interpolación de las orientaciones de los fotogramas clave en gráficos por computadora. ^{[ 16 ]}

Para el resto de esta sección, i , j y k denotarán los tres vectores base imaginarios ^{[ 40 ] de}${\displaystyle \mathbb {H} }$y una base para${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$Sustituir i por −i , j por −j y k por −k transforma un vector en su inverso aditivo , de modo que el inverso aditivo de un vector es igual a su conjugado como cuaternión. Por esta razón, a la conjugación a veces se la denomina inversa espacial .

Para dos cuaterniones vectoriales p = b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k y q = b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k su producto escalar , por analogía con los vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$es

$${\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}.}$$

También se puede expresar de forma independiente de los componentes como

$${\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}$$

Esto es igual a las partes escalares de los productos pq ^∗ , qp ^∗ , p ^∗ q , y q ^∗ p . Nótese que sus partes vectoriales son diferentes.

El producto vectorial de p y q con respecto a la orientación determinada por la base ordenada i , j y k es

$${\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} .}$$

(Recuerde que la orientación es necesaria para determinar el signo). Esto es igual a la parte vectorial del producto pq (como cuaterniones), así como a la parte vectorial de − q ^∗ p ^∗ . También tiene la fórmula

$${\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}$$

Para el conmutador , [ p , q ] = pq − qp , de dos cuaterniones vectoriales se obtiene

$${\displaystyle [p,q]=2p\times q,}$$

lo que da la relación de conmutación

$${\displaystyle qp=pq-2p\times q.}$$

En general, sean p y q cuaterniones y escribamos

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},\\[5mu]q&=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},\end{aligned}}}$$

donde p _s y q _s son las partes escalares, y p _v y q _v son las partes vectoriales de p y q . Entonces tenemos la fórmula

$${\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}$$

Esto demuestra que la no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones proviene de la multiplicación de cuaterniones vectoriales. También demuestra que dos cuaterniones conmutan si y solo si sus partes vectoriales son colineales. Hamilton ^{[ 41 ]} demostró que este producto calcula el tercer vértice de un triángulo esférico a partir de dos vértices dados y sus longitudes de arco asociadas, lo cual también es un álgebra de puntos en geometría elíptica .

Los cuaterniones unitarios pueden identificarse con rotaciones en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y Hamilton los denominó versores . ^{[ 41 ]} Véase también Cuaterniones y rotación espacial para obtener más información sobre el modelado de rotaciones tridimensionales mediante cuaterniones.

Véase Hanson (2005) ^{[ 42 ]} para la visualización de cuaterniones.

Así como los números complejos pueden representarse como matrices , también pueden representarse los cuaterniones. Existen al menos dos maneras de representar los cuaterniones como matrices de tal forma que la suma y la multiplicación de cuaterniones correspondan a la suma y la multiplicación de matrices . Una consiste en utilizar matrices complejas de 2 × 2, y la otra en utilizar matrices reales de 4 × 4. En cada caso, la representación dada pertenece a una familia de representaciones linealmente relacionadas. Estas son homomorfismos inyectivos de${\displaystyle \mathbb {H} }$a los anillos de matriz M(2, C ) y M(4, R ) , respectivamente.

Los cuaterniones también se utilizan en una de las demostraciones del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange en teoría de números , que establece que todo entero no negativo es la suma de cuatro cuadrados enteros. Además de ser un teorema elegante en sí mismo, el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange tiene aplicaciones útiles en áreas de las matemáticas fuera de la teoría de números, como la teoría del diseño combinatorio . La demostración basada en cuaterniones utiliza cuaterniones de Hurwitz , un subanillo del anillo de todos los cuaterniones para el cual existe un análogo del algoritmo euclidiano .

Los cuaterniones pueden representarse como pares de números complejos. Desde esta perspectiva, los cuaterniones son el resultado de aplicar la construcción de Cayley-Dickson a los números complejos. Esta es una generalización de la construcción de los números complejos como pares de números reales.

Dejar${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$Sea un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Elija una base que consta de dos elementos 1 y j . Un vector en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$se puede escribir en términos de los elementos base 1 y j como

$${\displaystyle (a+b\,i)1+(c+d\,i)\mathbf {j} .}$$

Si definimos j ² = −1 e i j = − j i , entonces podemos multiplicar dos vectores usando la propiedad distributiva. Usando k como notación abreviada para el producto i j se obtienen las mismas reglas de multiplicación que los cuaterniones usuales. Por lo tanto, el vector anterior de números complejos corresponde al cuaternión a + bi + c j + d k . Si escribimos los elementos de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$como pares ordenados y cuaterniones como cuádruples, entonces la correspondencia es

$${\displaystyle (a+bi,\,c+di)\leftrightarrow (a,\,b,\,c,\,d).}$$

Al igual que las funciones de una variable compleja , las funciones de una variable cuaternión sugieren modelos físicos útiles. Por ejemplo, los campos eléctricos y magnéticos originales descritos por Maxwell eran funciones de una variable cuaternión. Otros ejemplos de funciones incluyen la extensión del conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia al espacio de cuatro dimensiones. ^{[ 49 ]}

La palabra " conjugación ", además del significado dado anteriormente, también puede significar tomar un elemento a como r a r ⁻¹ donde r es algún cuaternión distinto de cero. Todos los elementos que son conjugados a un elemento dado (en este sentido de la palabra conjugado) tienen la misma parte real y la misma norma de la parte vectorial. (Por lo tanto, el conjugado en el otro sentido es uno de los conjugados en este sentido). ^{[ 53 ]}

Así, el grupo multiplicativo de cuaterniones no nulos actúa por conjugación sobre la copia de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Consisten en cuaterniones con parte real igual a cero. La conjugación mediante un cuaternión unitario (un cuaternión de valor absoluto 1) con parte real cos( φ ) es una rotación de un ángulo 2φ , cuyo eje de rotación coincide con la dirección de la parte vectorial. Las ventajas de los cuaterniones son: ^{[ 54 ]}

• Evitar el bloqueo de cardán , un problema común en sistemas como los ángulos de Euler.
• Más rápido y más compacto que las matrices.
• Representación no singular (en comparación con los ángulos de Euler, por ejemplo).
• Los pares de cuaterniones unitarios representan una rotación en el espacio 4D (véase Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones: Álgebra de  rotaciones 4D ).

El conjunto de todos los cuaterniones unitarios ( versores ) forma una 3-esfera S ³ y un grupo (un grupo de Lie ) bajo la multiplicación, doble recubrimiento del grupo.${\displaystyle {\text{SO}}(3,\mathbb {R} )}$de matrices ortogonales reales de 3×3 de determinante 1 ya que dos cuaterniones unitarios corresponden a cada rotación bajo la correspondencia anterior. Véase el truco de la placa .  

La imagen de un subgrupo de versores es un grupo puntual , y a la inversa, la preimagen de un grupo puntual es un subgrupo de versores. La preimagen de un grupo puntual finito se denomina con el mismo nombre, con el prefijo binario . Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico es el grupo icosaédrico binario .

El grupo de versores es isomorfo a SU(2) , el grupo de matrices unitarias complejas de 2 × 2 de determinante 1.

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + b i + c j + d k donde a, b, c y d son todos enteros o todos semi-enteros . El conjunto A es un anillo (de hecho, un dominio ) y una red , y se denomina anillo de cuaterniones de Hurwitz. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo, y son los vértices de una celda regular de 24  con símbolo de Schläfli {3,4,3} . Corresponden a la doble cubierta del grupo de simetría rotacional del tetraedro regular . De manera similar, los vértices de una celda regular de 600 con símbolo de Schläfli {3,3,5} pueden tomarse como los icosianos unitarios , que corresponden a la doble cubierta del grupo de simetría rotacional del icosaedro regular . La doble cubierta del grupo de simetría rotacional del octaedro regular corresponde a los cuaterniones que representan los vértices de la celda disfenoidal de 288 elementos . ^{[ 55 ]}

Los cuaterniones se pueden generalizar en álgebras adicionales llamadas álgebras de cuaterniones . Tomemos F como cualquier cuerpo con característica distinta de 2, y a y b como elementos de F ; se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F con base 1, i , j e ij , donde i² = ^a , j² = b e ij = −ji ( de modo que ⁽ ij ) ^² = −ab ) .

Las álgebras de cuaterniones son isomorfas al álgebra de matrices de 2×2 sobre F o a las álgebras de división de formas sobre F , dependiendo de la elección de a y b .

La utilidad de los cuaterniones para los cálculos geométricos puede generalizarse a otras dimensiones identificando los cuaterniones como la parte par.${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$del álgebra de Clifford${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}$Se trata de un álgebra multivectorial asociativa construida a partir de elementos base fundamentales σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ utilizando las reglas del producto.

$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,}$$$${\displaystyle \sigma _{m}\sigma _{n}=-\sigma _{n}\sigma _{m}\qquad (m\neq n).}$$

Si se toman estos elementos básicos fundamentales para representar vectores en el espacio 3D, entonces resulta que la reflexión de un vector r en un plano perpendicular a un vector unitario w se puede escribir como:

$${\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}$$

Dos reflexiones realizan una rotación en un ángulo que es el doble del ángulo entre los dos planos de reflexión, por lo que

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}$$

corresponde a una rotación de 180° en el plano que contiene σ ₁ y σ ₂ . Esto es muy similar a la fórmula del cuaternión correspondiente,

$${\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}$$

De hecho, las dos estructuras${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \mathbb {H} }$son isomorfos . Una identificación natural es

$${\displaystyle 1\mapsto 1,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2},}$$

y es sencillo confirmar que esto preserva las relaciones de Hamilton.

$${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1.}$$

En esta imagen, los llamados "cuaterniones vectoriales" (es decir, cuaterniones imaginarios puros) no corresponden a vectores, sino a bivectores : cantidades con magnitudes y orientaciones asociadas a planos 2D particulares en lugar de direcciones 1D . La relación con los números complejos también se vuelve más clara: en 2D, con dos direcciones vectoriales σ ₁ y σ ₂ , solo hay un elemento base bivectorial σ ₁ σ ₂ , por lo que solo hay un elemento imaginario. Pero en 3D, con tres direcciones vectoriales, hay tres elementos base bivectoriales σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ , σ ₁ σ ₂ , por lo que hay tres elementos imaginarios.  

Este razonamiento se extiende aún más. En el álgebra de Clifford${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}$Hay seis elementos base bivectoriales, ya que con cuatro direcciones vectoriales básicas diferentes, se pueden definir seis pares distintos y, por lo tanto, seis planos linealmente independientes distintos. Las rotaciones en dichos espacios utilizando estas generalizaciones de cuaterniones, llamadas rotores , pueden ser muy útiles para aplicaciones que involucran coordenadas homogéneas . Pero solo en 3D el número de bivectores base es igual al número de vectores base, y cada bivector puede identificarse como un pseudovector .

Existen varias ventajas al colocar cuaterniones en este contexto más amplio: ^{[ 56 ]}

• Los rotores son una parte natural del álgebra geométrica y se entienden fácilmente como la codificación de una doble reflexión.
• En álgebra geométrica, un rotor y los objetos sobre los que actúa coexisten en el mismo espacio. Esto elimina la necesidad de modificar las representaciones y de codificar nuevas estructuras de datos y métodos, algo que tradicionalmente se requiere al ampliar el álgebra lineal con cuaterniones.
• Los rotores son universalmente aplicables a cualquier elemento del álgebra, no solo a vectores y otros cuaterniones, sino también a líneas, planos, círculos, esferas, rayos, etcétera.
• En el modelo conforme de la geometría euclidiana, los rotores permiten codificar la rotación, la traslación y el escalado en un único elemento del álgebra, actuando universalmente sobre cualquier elemento. En particular, esto significa que los rotores pueden representar rotaciones alrededor de un eje arbitrario, mientras que los cuaterniones se limitan a un eje que pasa por el origen.
• Las transformaciones codificadas por rotor hacen que la interpolación sea particularmente sencilla.
• Los rotores se extienden naturalmente a espacios pseudoeuclidianos , por ejemplo, al espacio de Minkowski de la relatividad especial . En dichos espacios, los rotores pueden usarse para representar eficientemente transformaciones de Lorentz y para interpretar fórmulas que involucran matrices gamma .

Para obtener más detalles sobre los usos geométricos de las álgebras de Clifford, consulte Álgebra geométrica .

Los cuaterniones son, esencialmente, la única álgebra simple central (ASC) no trivial sobre los números reales, en el sentido de que toda ASC sobre los números reales es equivalente en el sentido de Brauer a los números reales o a los cuaterniones. Explícitamente, el grupo de Brauer de los números reales consta de dos clases, representadas por los números reales y los cuaterniones, donde el grupo de Brauer es el conjunto de todas las ASC, salvo la relación de equivalencia de una ASC como anillo de matrices sobre otra. Según el teorema de Artin-Wedderburn (en concreto, la parte de Wedderburn), todas las ASC son álgebras de matrices sobre un álgebra de división, y por lo tanto, los cuaterniones son la única álgebra de división no trivial sobre los números reales.

Los CSA (anillos de dimensión finita sobre un cuerpo, que son álgebras simples (sin ideales bilaterales no triviales, al igual que los cuerpos) cuyo centro es precisamente el cuerpo) son un análogo no conmutativo de los cuerpos de extensión y resultan más restrictivos que las extensiones de anillos generales. El hecho de que los cuaterniones sean el único CSA no trivial sobre los números reales (salvo equivalencia) puede compararse con el hecho de que los números complejos sean la única extensión de cuerpo finita no trivial de los números reales.

• Conversión entre cuaterniones y ángulos de Euler : estrategia matemática 
• Cuaternión dual : álgebra de ocho dimensiones sobre los números reales. 
• Número complejo dual : álgebra tetradimensional sobre los números reales. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• Bicuaternión – Cuaterniones con coeficientes de números complejos 
• Funciones de bicuaterniones – Funciones de cuaterniones complejos 
• Álgebra exterior – Álgebra asociada a cualquier espacio vectorial 
• Orden de cuaterniones de Hurwitz : un concepto en matemáticas. 
• Cuaternión hiperbólico : mutación de cuaterniones donde el cuadrado de los vectores unitarios es +1. 
• Esfera de Lénárt : esfera transparente para pizarra blanca utilizada para enseñar geometría esférica. 
• Matrices de Pauli : matrices importantes en mecánica cuántica y en el estudio del espín. 
• Variedad cuaterniónica : concepto en geometría. 
• Matriz cuaterniónica : concepto en álgebra lineal 
• Politopo cuaterniónico : concepto en geometría. 
• Espacio proyectivo cuaterniónico : concepto en matemáticas 
• Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones – Grupo ortogonal especial 
• Slerp – Función utilizada en gráficos por computadora. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Cuaternión dividido : álgebra asociativa de cuatro dimensiones sobre los números reales 
• Teseracto : análogo tetradimensional del cubo. 
• Versor – Cuaternión de norma 1 (cuaternión unitario)