Teoría K (física)

En la teoría de cuerdas , la clasificación de la teoría K se refiere a una aplicación conjeturada de la teoría K (en álgebra abstracta y topología algebraica ) a las supercuerdas, para clasificar las intensidades de campo de Ramond-Ramond permitidas , así como las cargas de las D-branas estables .

En la física de la materia condensada, la teoría K también ha encontrado aplicaciones importantes, especialmente en la clasificación topológica de aislantes topológicos , superconductores y superficies de Fermi estables ( Kitaev (2009) , Horava (2005) ).

Historia

Esta conjetura, aplicada a las cargas de D-branas, fue propuesta por primera vez por Minasian y Moore (1997) . Fue popularizada por Witten (1998), quien demostró que en la teoría de cuerdas de tipo IIB surge naturalmente de la realización de Ashoke Sen de configuraciones arbitrarias de D-branas como pilas de D9 y anti-D9-branas después de la condensación de taquiones .

Tales pilas de branas son inconsistentes en un fondo de 3-formas de Neveu-Schwarz (NS) sin torsión , lo que, como destacó Kapustin (2000) , complica la extensión de la clasificación de la teoría K a tales casos. Bouwknegt y Varghese (2000) sugirieron una solución a este problema: las D-branas se clasifican en general mediante una teoría K retorcida , que había sido definida previamente por Rosenberg (1989) .

Aplicaciones

La clasificación de D-branas basada en la teoría K ha tenido numerosas aplicaciones. Por ejemplo, Hanany y Kol (2000) la utilizaron para argumentar que existen ocho especies de orientifold de un plano. Uranga (2001) aplicó la clasificación de la teoría K para derivar nuevas condiciones de consistencia para compactificaciones de flujo . La teoría K también ha sido utilizada para conjeturar una fórmula para las topologías de variedades T-duales por Bouwknegt, Evslin y Varghese (2004) . Recientemente, se ha conjeturado que la teoría K clasifica los espinores en compactificaciones sobre variedades complejas generalizadas .

Problemas abiertos

A pesar de estos éxitos, los flujos RR no se clasifican del todo mediante la teoría K. Diaconescu, Moore y Witten (2003) argumentaron que la clasificación de la teoría K es incompatible con la dualidad S en la teoría de cuerdas IIB .

Además, si se intenta clasificar los flujos en un espaciotiempo compacto de diez dimensiones, surge una complicación debido a la autodualidad de los flujos RR. La dualidad utiliza la estrella de Hodge , que depende de la métrica y, por lo tanto, es de valor continuo y, en particular, es genéricamente irracional. Por lo tanto, no todos los flujos RR, que se interpretan como caracteres de Chern en la teoría K, pueden ser racionales. Sin embargo, los caracteres de Chern siempre son racionales, por lo que la clasificación de la teoría K debe ser reemplazada. Es necesario elegir la mitad de los flujos para cuantizar, o una polarización en el lenguaje de cuantización geométrica inspirado en Diaconescu, Moore y Witten y, posteriormente, en Varghese y Sati (2004) . Alternativamente, se puede utilizar la teoría K de una sección temporal de nueve dimensiones, como lo hicieron Maldacena, Moore y Seiberg (2001) .

Clasificación de los flujos RR según la teoría K

En el límite clásico de la teoría de cuerdas de tipo II , que corresponde a la supergravedad de tipo II , las intensidades de campo de Ramond-Ramond son formas diferenciales . En la teoría cuántica, la buena definición de las funciones de partición de las D-branas implica que las intensidades de campo RR obedecen las condiciones de cuantización de Dirac cuando el espaciotiempo es compacto , o cuando una sección espacial es compacta y se consideran únicamente las componentes (magnéticas) de la intensidad de campo que se encuentran a lo largo de las direcciones espaciales. Esto llevó a los físicos del siglo XX a clasificar las intensidades de campo RR utilizando la cohomología con coeficientes integrales.

Sin embargo, algunos autores han argumentado que la cohomología del espaciotiempo con coeficientes enteros es demasiado extensa. Por ejemplo, en presencia del flujo H de Neveu-Schwarz o de ciclos sin espín, algunos flujos RR determinan la presencia de D-branas. En el primer caso, esto es consecuencia de la ecuación de movimiento de la supergravedad, que establece que el producto de un flujo RR con la 3-forma NS es una densidad de carga de D-brana. Por lo tanto, el conjunto de intensidades de campo RR topológicamente distintas que pueden existir en configuraciones sin branas es solo un subconjunto de la cohomología con coeficientes enteros.

Este subconjunto sigue siendo demasiado grande, ya que algunas de estas clases están relacionadas por grandes transformaciones de gauge. En QED existen grandes transformaciones de gauge que añaden múltiplos enteros de dos pi a los bucles de Wilson. Los potenciales de p-forma en las teorías de supergravedad de tipo II también disfrutan de estas grandes transformaciones de gauge, pero debido a la presencia de términos de Chern-Simons en las acciones de supergravedad, estas grandes transformaciones de gauge transforman no solo los potenciales de p-forma, sino también simultáneamente las intensidades de campo de (p+3)-forma. Por lo tanto, para obtener el espacio de intensidades de campo no equivalentes a partir del subconjunto de cohomología integral mencionado anteriormente, debemos cotejar con estas grandes transformaciones de gauge.

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch construye una teoría K retorcida, con una torsión dada por la intensidad del campo de la 3-forma NS, como cociente de un subconjunto de la cohomología con coeficientes enteros. En el límite clásico, que corresponde a trabajar con coeficientes racionales, este es precisamente el cociente de un subconjunto descrito anteriormente en supergravedad. Las correcciones cuánticas provienen de clases de torsión y contienen correcciones de torsión módulo 2 debidas a la anomalía de Freed-Witten.

Así, la teoría K retorcida clasifica el subconjunto de intensidades de campo RR que pueden existir en ausencia de D-branas cociente por grandes transformaciones de gauge. Daniel Freed ha intentado extender esta clasificación para incluir también los potenciales RR utilizando la teoría K diferencial.

Clasificación de D-branas según la teoría K

La teoría K clasifica las D-branas en espaciotiempos no compactos, intuitivamente en espaciotiempos donde no nos preocupa que el flujo generado por la brana no tenga a dónde ir. Si bien la teoría K de un espaciotiempo de 10 dimensiones clasifica las D-branas como subconjuntos de ese espaciotiempo, si el espaciotiempo es el producto del tiempo y una variedad fija de 9 dimensiones, entonces la teoría K también clasifica las cargas conservadas de las D-branas en cada sección espacial de 9 dimensiones. Si bien para obtener la clasificación de la teoría K de las intensidades de campo de RR tuvimos que prescindir de los potenciales de RR, para obtener la clasificación de la teoría K de las D-branas también debemos prescindir de las intensidades de campo de RR .

Carga de la teoría K frente a la carga BPS

Como ha destacado Petr Hořava , la clasificación de D-branas basada en la teoría K es independiente de la clasificación de estados BPS y, en cierto modo, más robusta que esta . La teoría K parece clasificar D-branas estables que no se incluyen en las clasificaciones basadas en la supersimetría .

Por ejemplo, D-branas con cargas de torsión, es decir, con cargas en el orden del grupo cíclico N. $\mathbf {Z} _ {N}$ , se atraen entre sí y por lo tanto nunca pueden ser BPS. De hecho, N tales branas pueden decaer, mientras que ninguna superposición de branas que satisfaga un límite de Bogomolny puede decaer jamás. Sin embargo, la carga de tales branas se conserva módulo N, y esto es capturado por la clasificación de la teoría K pero no por una clasificación BPS. Tales branas de torsión se han aplicado, por ejemplo, para modelar cuerdas de Douglas-Shenker en teorías de gauge U(N) supersimétricas .

Teoría K a partir de la condensación de taquiones

Ashoke Sen ha conjeturado que, en ausencia de un flujo de 3-formas NS topológicamente no trivial, todas las configuraciones de branas IIB pueden obtenerse a partir de pilas de branas D9 y anti-D9 que llenan el espacio mediante condensación taquiónica . La topología de las branas resultantes está codificada en la topología del fibrado de gauge en la pila de branas que llenan el espacio. La topología del fibrado de gauge de una pila de D9 y anti-D9 puede descomponerse en un fibrado de gauge en las D9 y otro fibrado en las anti-D9. La condensación taquiónica transforma dicho par de fibrados en otro par en el que el mismo fibrado se suma directamente con cada componente del par. Por lo tanto, la cantidad invariante de condensación taquiónica, es decir, la carga que se conserva mediante el proceso de condensación taquiónica, no es un par de fibrados, sino más bien la clase de equivalencia de un par de fibrados bajo sumas directas del mismo fibrado en ambos lados del par. Esta es precisamente la construcción habitual de la teoría K topológica . Así, los haces de gauge en pilas de D9 y anti-D9 se clasifican mediante la teoría K topológica. Si la conjetura de Sen es correcta, todas las configuraciones de D-branas de tipo IIB se clasifican entonces mediante la teoría K. Petr Horava ha extendido esta conjetura al tipo IIA utilizando D8-branas.

Teoría K retorcida a partir de instantones MMS

Mientras que la descripción de condensación de taquiones de la clasificación de la teoría K clasifica las D-branas como subconjuntos de un espaciotiempo de 10 dimensiones sin flujo de 3-formas NS, la descripción de Maldacena, Moore y Seiberg clasifica las D-branas estables con masa finita como subconjuntos de una sección espacial de 9 dimensiones del espaciotiempo.

La observación central es que las D-branas no se clasifican por homología integral porque las Dp-branas que envuelven ciertos ciclos sufren una anomalía de Freed-Witten, la cual se cancela mediante la inserción de D(p-2)-branas y, a veces, D(p-4)-branas que terminan en la Dp-brana afectada. Estas branas insertadas pueden extenderse hasta el infinito, en cuyo caso el objeto compuesto tiene una masa infinita, o bien pueden terminar en una anti-Dp-brana, en cuyo caso la carga total de la Dp-brana es cero. En ambos casos, se puede optar por eliminar las Dp-branas anómalas del espectro, dejando solo un subconjunto de la cohomología integral original.

Las branas insertadas son inestables. Para comprenderlo, imaginemos que se extienden en el tiempo (hacia el pasado) desde la brana anómala. Esto corresponde a un proceso en el que las branas insertadas se desintegran mediante una brana Dp que se forma, envuelve el ciclo mencionado y luego desaparece. MMS ^{[ 1 ]} se refiere a este proceso como un instantón, aunque en realidad no tiene por qué serlo.

Las cargas conservadas son, por lo tanto, el subconjunto no anómalo cociente por las inserciones inestables. Esta es precisamente la construcción de secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch de la teoría K retorcida como un conjunto.

Conciliando la retorcida teoría K y la dualidad S

Diaconescu, Moore y Witten han señalado que la clasificación de la teoría K retorcida no es compatible con la covarianza de dualidad S de la teoría de cuerdas de tipo IIB. Por ejemplo, considérese la restricción sobre la fuerza del campo de 3-formas de Ramond-Ramond G ₃ en la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch (AHSS):

d_{3}G_{3}=Sq^{3}G_{3}+H\cup G_{3}=G_{3}\cup G_{3}+H\cup G_{3}=0

donde d ₃ =Sq ³ +H es el primer diferencial no trivial en el AHSS, Sq ³ es el tercer cuadrado de Steenrod y la última igualdad se deduce del hecho de que el n-ésimo cuadrado de Steenrod que actúa sobre cualquier n-forma x es x $\cup$ incógnita.

La ecuación anterior no es invariante bajo la dualidad S, que intercambia G ₃ y H. En cambio, Diaconescu, Moore y Witten han propuesto la siguiente extensión covariante de la dualidad S.

G_{3}\cup G_{3}+H\cup G_{3}+H\cup H=P

donde P es una clase característica desconocida que depende únicamente de la topología, y en particular no de los flujos. Diaconescu, Freed y Moore (2007) hallaron una restricción sobre P utilizando el enfoque de la teoría de gauge E ₈ para la teoría M, desarrollado por Diaconescu, Moore y Witten.

Por lo tanto, las D-branas en IIB no se clasifican después de todo mediante la teoría K retorcida, sino mediante algún objeto desconocido covariante de dualidad S que inevitablemente también clasifica tanto las cuerdas fundamentales como las NS5-branas .

Sin embargo, la prescripción MMS para calcular la teoría K retorcida se puede covariar fácilmente con S, ya que las anomalías de Freed-Witten respetan la dualidad S. Por lo tanto, la forma covariante con S de la construcción MMS se puede aplicar para construir la teoría K retorcida covariante con S, como un conjunto, sin tener ninguna descripción geométrica de qué es exactamente este extraño objeto covariante. Este programa se ha llevado a cabo en varios artículos, como Evslin y Varadarajan (2003) y Evslin (2003a) , y también fue aplicado a la clasificación de flujos por Evslin (2003b) . Bouwknegt et al. (2006) utilizan este enfoque para probar la restricción conjeturada de Diaconescu, Moore y Witten sobre los 3-flujos, y muestran que hay un término adicional igual a la carga de la D3-brana. Evslin (2006) muestra que la cascada de dualidades de Seiberg de Klebanov-Strassler consiste en una serie de instantones MMS duales S, uno para cada dualidad de Seiberg. El grupo, $\mathbf {Z} _{N}$ de clases de universalidad de la $SU(M+N)\times SU(M)$ Se demuestra entonces que la teoría de gauge supersimétrica concuerda con la teoría K retorcida dual S y no con la teoría K retorcida original.

Algunos autores han propuesto soluciones radicalmente diferentes a este enigma. Por ejemplo, Kriz y Sati (2005) proponen que, en lugar de la teoría K retorcida, las configuraciones de la teoría de cuerdas II deberían clasificarse mediante cohomología elíptica .

Investigadores

Entre los investigadores más destacados en este campo se encuentran Edward Witten , Peter Bouwknegt, Angel Uranga, Emanuel Diaconescu, Gregory Moore , Anton Kapustin , Jonathan Rosenberg , Ruben Minasian, Amihay Hanany, Hisham Sati, Nathan Seiberg , Juan Maldacena , Alexei Kitaev , Daniel Freed e Igor Kriz.

Véase también

Campo Kalb-Ramond

Notas

↑ Juan Maldacena , Gregory Moore y Nathan Seiberg . Instantones de D-branas y cargas de K-teoría . https://arxiv.org/abs/hep-th/0108100

Referencias

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Referencias (física de la materia condensada)

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Lecturas adicionales

Una excelente introducción a la clasificación de D-branas en 10 dimensiones mediante la teoría K a través de la conjetura de Ashoke Sen es el artículo original "D-branas y teoría K" de Edward Witten ; también hay una revisión extensa de Olsen y Szabo (1999) .

Una introducción muy comprensible a la clasificación de la teoría K retorcida de las cargas de D-branas conservadas en una sección temporal de 9 dimensiones en presencia del flujo de Neveu-Schwarz es Maldacena, Moore y Seiberg (2001) .

Enlaces externos

Teoría K en arxiv.org

[1] Juan Maldacena , Gregory Moore y Nathan Seiberg . Instantones de D-branas y cargas de K-teoría . https://arxiv.org/abs/hep-th/0108100

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