Dimensión de Krull

En álgebra conmutativa , la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R , que recibe su nombre de Wolfgang Krull , es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos . La dimensión de Krull no tiene por qué ser finita, incluso para un anillo noetheriano . De forma más general, la dimensión de Krull puede definirse para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del conjunto parcialmente ordenado de submódulos.

La dimensión de Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica : la dimensión de la variedad afín definida por un ideal I en un anillo de polinomios R es la dimensión de Krull de R / I.

Un cuerpo k tiene dimensión de Krull 0; más generalmente, k [ x ₁ , ..., x _n ] tiene dimensión de Krull n . Un dominio de ideales principales que no es un cuerpo tiene dimensión de Krull 1. Un anillo local tiene dimensión de Krull 0 si y solo si cada elemento de su ideal maximal es nilpotente .

Existen otros métodos que se han utilizado para definir la dimensión de un anillo. La mayoría coinciden con la dimensión de Krull para los anillos noetherianos, pero pueden diferir para los anillos no noetherianos.

Decimos que una cadena de ideales primos de la forma ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ tiene longitud${\displaystyle n}$. Es decir, la longitud es el número de inclusiones estrictas, no el número de primos; estos difieren en${\displaystyle 1}$. Definimos la dimensión de Krull de${\displaystyle R}$ser el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primordiales en${\displaystyle R}$.

Dado un ideal primordial${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en${\displaystyle R}$, definimos elaltura de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, escrito${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})}$, ser el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos contenidas en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, lo que significa que${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}}$. ^{[ 1 ]} En otras palabras, la altura de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es la dimensión de Krull de la localización de${\displaystyle R}$en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Un ideal primo tiene altura cero si y solo si es un ideal primo minimal . La dimensión de Krull de un anillo es el supremo de las alturas de todos los ideales maximales, o de todos los ideales primos. Esta altura también se denomina a veces codimensión, rango o altitud de un ideal primo.

En un anillo noetheriano , cada ideal primo tiene altura finita. Sin embargo, Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano de dimensión Krull infinita. ^{[ 2 ]} Un anillo se llama catenaria si cualquier inclusión${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}}$de ideales primos se puede extender a una cadena máxima de ideales primos entre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$y cualesquiera dos cadenas máximas entre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ y${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$tienen la misma longitud. Un anillo se denomina universalmente catenario si cualquier álgebra finitamente generada sobre él es catenaria. Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano que no es catenario. ^{[ 3 ]}

En un anillo noetheriano, un ideal primo tiene altura como máximo${\displaystyle n}$si y solo si es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por${\displaystyle n}$elementos ( teorema de altura de Krull y su recíproco). ^{[ 4 ]} Esto implica que la condición de cadena descendente se cumple para ideales primos de tal manera que las longitudes de las cadenas que descienden de un ideal primo están limitadas por el número de generadores del primo. ^{[ 5 ]}

En términos más generales, la altura de un ideal${\displaystyle I}$ es el ínfimo de las alturas de todos los ideales primordiales que contiene${\displaystyle I}$. En el lenguaje de la geometría algebraica , esta es la codimensión de la subvariedad de${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$correspondiente a${\displaystyle I}$. ^{[ 1 ]}

De la definición del espectro de un anillo Spec( R ), el espacio de ideales primos de R equipado con la topología de Zariski , se deduce fácilmente que la dimensión de Krull de R es igual a la dimensión de su espectro como espacio topológico , es decir, el supremo de las longitudes de todas las cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles . Esto se deduce inmediatamente de la conexión de Galois entre los ideales de R y los subconjuntos cerrados de Spec( R ) y de la observación de que, por definición de Spec( R ), cada ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$de R corresponde a un punto genérico del subconjunto cerrado asociado a${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$por la conexión Galois.

• La dimensión de un anillo de polinomios sobre un cuerpo k [ x ₁ , ..., x _n ] es el número de variables n . En el lenguaje de la geometría algebraica , esto significa que el espacio afín de dimensión n sobre un cuerpo tiene dimensión n , como se esperaba. En general, si R es un anillo noetheriano de dimensión n , entonces la dimensión de R [ x ] es n + 1. Si se omite la hipótesis noetheriana, entonces R [ x ] puede tener cualquier dimensión entre n + 1 y 2 n + 1.
• Por ejemplo, el ideal${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]}$tiene altura 2 ya que podemos formar la cadena ascendente máxima de ideales primos${\displaystyle (0)={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq (y^{2}-x)={\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq (y^{2}-x,y)={\mathfrak {p}}_{2}={\mathfrak {p}}}$.
• Dado un polinomio irreducible${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x,y,z]}$, el ideal${\displaystyle I=(f^{3})}$no es primo (ya que${\displaystyle f\cdot f^{2}\in I}$, pero ninguno de los factores lo es), pero podemos calcular fácilmente la altura ya que el ideal primo más pequeño que contiene${\displaystyle I}$es solo${\displaystyle (f)}$.
• El anillo de enteros Z tiene dimensión 1. De forma más general, cualquier dominio ideal principal que no sea un cuerpo tiene dimensión 1.
• Un dominio de integridad es un cuerpo si y solo si su dimensión de Krull es cero. Los dominios de Dedekind que no son cuerpos (por ejemplo, los anillos de valuación discreta ) tienen dimensión uno.
• La dimensión de Krull del anillo cero se define típicamente como${\displaystyle -\infty }$o${\displaystyle -1}$El anillo cero es el único anillo con dimensión negativa.
• Un anillo es artiniano si y solo si es noetheriano y su dimensión de Krull es ≤0.
• Una extensión integral de un anillo tiene las mismas dimensiones que el anillo.
• Sea R un álgebra sobre un cuerpo k que es un dominio de integridad. Entonces la dimensión de Krull de R es menor o igual que el grado de trascendencia del cuerpo de fracciones de R sobre k . ^{[ 6 ]} La igualdad se cumple si R es finitamente generado como un álgebra (por ejemplo, por el lema de normalización de Noether ).
• Sea R un anillo noetheriano, I un ideal y${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }I^{k}/I^{k+1}}$sea ​​el anillo graduado asociado (los geómetras lo llaman el anillo del cono normal de I ). Entonces${\displaystyle \operatorname {dim} \operatorname {gr} _{I}(R)}$es el supremo de las alturas de los ideales máximos de R ^que contienen a I. ^{[ 7} ]
• Un anillo noetheriano conmutativo de dimensión de Krull cero es un producto directo de un número finito (posiblemente uno) de anillos locales de dimensión de Krull cero.
• Un anillo local noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si su dimensión es igual a su profundidad . Un anillo local regular es un ejemplo de dicho anillo.
• Un dominio integral noetheriano es un dominio de factorización única si y solo si todo ideal primo de altura 1 es principal. ^{[ 8 ]}
• Para un anillo noetheriano conmutativo, las tres condiciones siguientes son equivalentes: ser un anillo reducido de dimensión de Krull cero, ser un cuerpo o un producto directo de cuerpos, ser regular de von Neumann .

Si${\displaystyle R}$es un anillo conmutativo y${\displaystyle M}$es un${\displaystyle R}$-módulo, definimos la dimensión de Krull de${\displaystyle M}$ser la dimensión de Krull del cociente de${\displaystyle R}$haciendo${\displaystyle M}$un módulo fiel . Es decir, lo definimos mediante la fórmula:

${\displaystyle \dim _{R}M:=\dim(R/{\operatorname {Ann} _{R}(M)})}$

dónde${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)}$, el aniquilador , es el núcleo del mapa natural${\displaystyle R\to \operatorname {End} _{R}(M)}$de${\displaystyle R}$en el anillo de${\displaystyle R}$-endomorfismos lineales de${\displaystyle M}$.

En el lenguaje de los esquemas , los módulos generados finitamente se interpretan como haces coherentes o haces vectoriales generalizados de rango finito .

La dimensión de Krull de un módulo sobre un anillo posiblemente no conmutativo se define como la desviación del conjunto parcialmente ordenado de submódulos ordenados por inclusión. Para anillos noetherianos conmutativos, esta definición es la misma que la que utiliza cadenas de ideales primos. ^{[ 9 ]} Ambas definiciones pueden ser diferentes para anillos conmutativos que no son noetherianos.

• Diferencia analítica
• Teoría de la dimensión (álgebra)
• dimensión de Gelfand-Kirillov
• función de Hilbert
• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
• Teorema del ideal principal de Krull

• Irving Kaplansky , Anillos conmutativos (edición revisada) , University of Chicago Press , 1974, ISBN 0-226-42454-5Página 32.
• LA Bokhut'; IV L'vov; VK Kharchenko (1991). "I. Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI ; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol.  18. Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Sección 4.7.
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Graduate Texts in Mathematics , vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
• Serre, Jean-Pierre (2000). Álgebra local . Monografías Springer en Matemáticas (en alemán). doi : 10.1007/978-3-662-04203-8 . ISBN 978-3-662-04203-8OCLC 864077388​​