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Mapeo métrico difeomórfico de gran deformación

El mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones ( LDDMM ) es un conjunto específico de algoritmos utilizados para el mapeo difeomórfico y la manipulación de imágenes dens...

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El mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones ( LDDMM ) es un conjunto específico de algoritmos utilizados para el mapeo difeomórfico y la manipulación de imágenes densas basadas en el mapeo métrico difeomórfico dentro de la disciplina académica de la anatomía computacional , que se distingue de su precursor basado en el mapeo difeomórfico . La distinción entre ambos es que los mapas métricos difeomórficos satisfacen la propiedad de que la longitud asociada a su flujo a partir de la identidad induce una métrica en el grupo de difeomorfismos , que a su vez induce una métrica en la órbita de formas y figuras dentro del campo de la anatomía computacional. El estudio de formas y figuras con la métrica del mapeo métrico difeomórfico se denomina difeomorfometría .

Un sistema de mapeo difeomórfico es un sistema diseñado para mapear, manipular y transferir información almacenada en muchos tipos de imágenes médicas distribuidas espacialmente.

El mapeo difeomórfico es la tecnología subyacente para mapear y analizar información medida en sistemas de coordenadas anatómicas humanas, obtenida mediante imágenes médicas . Este término, de amplio alcance, engloba diversos algoritmos, procesos y métodos. Se asocia a numerosas operaciones y tiene múltiples aplicaciones para el análisis y la visualización. El mapeo difeomórfico permite relacionar diversas fuentes de información indexadas en función de la posición espacial como variable clave. Los difeomorfismos, por su estructura de raíz latina, preservan transformaciones diferenciables y, por lo tanto, suaves, lo que permite calcular magnitudes métricas como la longitud de arco y las áreas de superficie. La ubicación y extensión espacial en sistemas de coordenadas anatómicas humanas se registra mediante diversas modalidades de imágenes médicas, generalmente denominadas imágenes médicas multimodales, que proporcionan magnitudes escalares o vectoriales en cada ubicación espacial. Ejemplos de ello son las imágenes de resonancia magnética escalares T1 o T2 , o como matrices de tensor de difusión 3x3, resonancia magnética de difusión e imágenes ponderadas por difusión , hasta densidades escalares asociadas a la tomografía computarizada (TC), o imágenes funcionales como datos temporales de imágenes de resonancia magnética funcional y densidades escalares como la tomografía por emisión de positrones (PET) .

La anatomía computacional es una subdisciplina dentro del campo más amplio de la neuroinformática dentro de la bioinformática y la imagen médica . El primer algoritmo para el mapeo de imágenes densas a través del mapeo métrico difeomórfico fue el LDDMM de Beg [ 1 ] [ 2 ] para volúmenes y el emparejamiento de puntos de referencia de Joshi para conjuntos de puntos con correspondencia, [ 3 ] [ 4 ] con algoritmos LDDMM ahora disponibles para calcular mapas métricos difeomórficos entre puntos de referencia no correspondientes [ 5 ] y emparejamiento de puntos de referencia intrínseco a variedades esféricas, [ 6 ] curvas, [ 7 ] corrientes y superficies, [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] tensores, [ 11 ] varifolds, [ 12 ] y series temporales. [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] El término LDDMM se estableció por primera vez como parte de la Red de Investigación en Informática Biomédica apoyada por los Institutos Nacionales de Salud . [ 16 ]

En un sentido más general, el mapeo difeomórfico es cualquier solución que registra o construye correspondencias entre sistemas de coordenadas densos en imágenes médicas asegurando que las soluciones sean difeomórficas. Ahora existen muchos códigos organizados en torno al registro difeomórfico [ 17 ] incluyendo ANTS, [ 18 ] DARTEL, [ 19 ] DEMONS, [ 20 ] StationaryLDDMM, [ 21 ] FastLDDMM, [ 22 ] [ 23 ] como ejemplos de códigos computacionales de uso activo para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

La diferencia entre el mapeo métrico difeomórfico que constituye la base del LDDMM y los primeros métodos de mapeo difeomórfico radica en la introducción de un principio hamiltoniano de mínima acción, en el que se seleccionan grandes deformaciones de longitud mínima que corresponden a flujos geodésicos. Esta importante distinción surge de la formulación original de la métrica riemanniana correspondiente a la invariancia derecha. Las longitudes de estas geodésicas proporcionan la métrica en la estructura del espacio métrico de la anatomía humana. Las formulaciones no geodésicas del mapeo difeomórfico, en general, no se corresponden con ninguna formulación métrica.

Historia del desarrollo

El mapeo difeomórfico de información tridimensional a través de sistemas de coordenadas es fundamental para la obtención de imágenes médicas de alta resolución y el área de la neuroinformática dentro del campo emergente de la bioinformática . El mapeo difeomórfico de sistemas de coordenadas tridimensionales, medido mediante imágenes densas de alta resolución, tiene una larga historia en 3D que comenzó con la tomografía axial computarizada (TAC) a principios de los 80 por el grupo de la Universidad de Pensilvania dirigido por Ruzena Bajcsy , [ 24 ] y posteriormente la escuela Ulf Grenander en la Universidad de Brown con los experimentos HAND. [ 25 ] [ 26 ] En los 90 hubo varias soluciones para el registro de imágenes que se asociaron a linealizaciones de pequeñas deformaciones y elasticidad no lineal. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]

El enfoque central del subcampo de Anatomía Computacional (AC) dentro de la imagen médica es el mapeo de información a través de sistemas de coordenadas anatómicas a la escala del morfoma de 1 milímetro . En AC, el mapeo de información densa medida dentro de sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes de resonancia magnética (IRM), como en el cerebro, se ha resuelto mediante la correspondencia inexacta de imágenes de IRM 3D entre sí. La primera introducción del uso del mapeo difeomórfico a través de grandes flujos de deformación de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en el análisis de imágenes e imagen médica fue por Christensen, Rabbitt y Miller [ 17 ] [ 32 ] y Trouvé. [ 33 ] La introducción de flujos, que son similares a las ecuaciones de movimiento utilizadas en dinámica de fluidos, explota la noción de que las coordenadas densas en el análisis de imágenes siguen las ecuaciones de movimiento lagrangianas y eulerianas . Este modelo resulta más apropiado para estudios transversales en los que los cerebros o corazones no son necesariamente deformaciones uno del otro. Los métodos basados ​​en la energía elástica lineal o no lineal, que crece con la distancia a la aplicación identidad de la plantilla, no son apropiados para estudios transversales. En cambio, en modelos basados ​​en flujos lagrangianos y eulerianos de difeomorfismos, la restricción se asocia a propiedades topológicas, como la preservación de conjuntos abiertos, la no intersección de coordenadas que implica la unicidad y existencia de la aplicación inversa, y la permanencia de conjuntos conexos. El uso de métodos difeomórficos creció rápidamente hasta dominar el campo de los métodos de mapeo tras el artículo original de Christensen, con la disponibilidad de métodos rápidos y simétricos. [ 19 ] [ 34 ]

Estos métodos son potentes porque introducen nociones de regularidad de las soluciones, de modo que pueden diferenciarse y calcularse inversas locales. La desventaja de estos métodos es que no existía una propiedad global de acción mínima asociada que pudiera puntuar los flujos de energía mínima. Esto contrasta con los movimientos geodésicos que son fundamentales para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos y los muchos problemas resueltos en física mediante el principio de acción mínima de Hamilton . En 1998, Dupuis, Grenander y Miller [ 35 ] establecieron las condiciones para garantizar la existencia de soluciones para la correspondencia densa de imágenes en el espacio de flujos de difeomorfismos. Estas condiciones requieren una acción que penalice la energía cinética medida mediante la norma de Sobolev en derivadas espaciales del flujo de campos vectoriales.

El código de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación (LDDMM) que Faisal Beg derivó e implementó para su doctorado en la Universidad Johns Hopkins [ 36 ] desarrolló el primer código algorítmico que resolvió flujos con puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias para el problema de coincidencia de imágenes densas sujeto a acción mínima. La anatomía computacional ahora tiene muchos códigos existentes organizados en torno al registro difeomórfico [ 17 ] incluyendo ANTS, [ 18 ] DARTEL, [ 19 ] DEMONS, [ 37 ] LDDMM, [ 2 ] StationaryLDDMM [ 21 ] como ejemplos de códigos computacionales de uso activo para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en imágenes densas.

Estos métodos de deformación a gran escala se han extendido a puntos de referencia sin registro mediante coincidencia de medidas, [ 38 ] curvas, [ 39 ] superficies, [ 40 ] imágenes vectoriales densas [ 41 ] y tensoriales [ 42 ] , y varifolds que eliminan la orientación. [ 43 ]

El modelo de órbita difeomórfica en anatomía computacional

Forma deformable en anatomía computacional (AC) [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]Se estudia mediante el uso de mapeo difeomórfico para establecer correspondencias entre coordenadas anatómicas en imágenes médicas. En este contexto, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como una deformación aleatoria de algún ejemplar, denominado plantilla.Itmimetropag{\displaystyle I_{temp}}, con el conjunto de imágenes observadas elemento en el modelo de órbita aleatoria de CA para imágenesI∈I≐{I=Itemperatura∘φ,φ∈DiferenciaV}{\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{\text{temp}}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}La plantilla se mapea sobre el objetivo definiendo un problema variacional en el que la plantilla se transforma a través del difeomorfismo utilizado como un cambio de coordenadas para minimizar una condición de coincidencia de error cuadrático entre la plantilla transformada y el objetivo.

Los difeomorfismos se generan mediante flujos suaves. φt,t∈[0,1]{\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}, conφ≐φ1{\displaystyle \varphi \doteq \varphi _{1}}, satisfaciendo la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo asociado a la ecuación diferencial ordinaria,

ddtφt=vt∘φt, φ0=id,{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}={\rm {id}},}

convt,t∈[0,1]{\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}Los campos vectoriales eulerianos que determinan el flujo. Se garantiza que los campos vectoriales son continuamente diferenciables una vez.vt∈do1{\displaystyle v_{t}\in C^{1}}modelándolos para que se encuentren en un espacio de Hilbert suave.v∈V{\displaystyle v\in V}soportando la derivada 1-continua. [ 48 ] La inversaφt−1,t∈[0,1]{\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]} se define por el campo vectorial euleriano con flujo dado por

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inverso, los campos vectoriales con componentes enR3{\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}deben ser al menos una vez continuamente diferenciables en el espacio [ 49 ] [ 50 ] que se modelan como elementos del espacio de Hilbert (V,‖⋅‖V){\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elementovi∈H03,i=1,2,3,{\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}tiene derivadas débiles integrables al cuadrado tres veces. Por lo tanto(V,‖⋅‖V){\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}se incrusta suavemente en funciones continuamente diferenciables 1 vez. [ 37 ] [ 50 ] El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev

El problema variacional de la correspondencia densa de imágenes y la correspondencia dispersa de puntos de referencia

Algoritmo LDDMM para coincidencia densa de imágenes

En CA el espacio de campos vectoriales(V,‖⋅‖V){\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}se modelan como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1.A:V→V∗{\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}determinar la norma‖v‖V2≐∫R3Av⋅vdincógnita, v∈V ,{\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,} donde la integral se calcula mediante integración por partes cuandoAv{\displaystyle Av}es una función generalizada en el espacio dualV∗{\displaystyle V^{*}}. El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green, el inverso del operador, sea continuamente diferenciable en cada variable, lo que implica que los campos vectoriales admiten derivada 1-continua ; véase [ 48 ] para las condiciones necesarias sobre la norma para la existencia de soluciones.

Los algoritmos originales de mapeo métrico difeomórfico de grandes deformaciones (LDDMM) de Beg, Miller, Trouve, Younes [ 51 ] se derivaron tomando variaciones con respecto a la parametrización del campo vectorial del grupo, ya quev=ϕ˙∘ϕ−1{\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}están en un espacio vectorial. Beg resolvió la coincidencia densa de imágenes minimizando la integral de acción de la energía cinética del flujo difeomórfico mientras minimiza el término de coincidencia de punto final de acuerdo con

  • Algoritmo iterativo de Beg para la coincidencia densa de imágenes

Actualizar hasta la convergencia, ϕtold←ϕtnortemiw{\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}cada iteración, conϕt1≐ϕ1∘ϕt−1{\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}:

Esto implica que el punto fijo ent=0{\displaystyle t=0}Satisface

μ0∗=Av0∗=(I−J∘ϕ1∗)∇I|Dϕ1∗|{\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|},

lo que a su vez implica que satisface la ecuación de conservación dada por la condición de coincidencia de punto final según

Avt∗=(Dϕt∗−1)TAv0∗∘ϕt∗−1|Dϕt∗−1|{\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}

[ 52 ] [ 53 ]

Coincidencia de puntos de referencia registrados por LDDMM

El problema de correspondencia de puntos de referencia tiene una correspondencia puntual que define la condición del punto final con geodésicas dadas por el siguiente mínimo:

minv:ϕ˙t=vt∘ϕtdo(v)≐12∫01∫R3Avt⋅vtdincógnitadt+12∑i(ϕ1(incógnitai)−yi)⋅(ϕ1(incógnitai)−yi){\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})};
Figura que muestra el emparejamiento de imágenes densas LDDMM para el transporte de un movimiento curvo.
La figura muestra la coincidencia densa de imágenes LDMM. La fila superior muestra el transporte de la imagen bajo el flujo.I∘ϕt−1{\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}La fila central muestra la secuencia de campos vectoriales.vt,{\displaystyle v_{t},}t=0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; la fila inferior muestra la secuencia de cuadrículas bajoϕt.{\displaystyle \phi _{t}.}
  • Algoritmo iterativo para la coincidencia de puntos de referencia

Joshi definió originalmente el problema de coincidencia de puntos de referencia registrados,. [ 3 ] Actualizar hasta la convergencia, ϕtold←ϕtnortemiw{\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}cada iteración, conϕt1≐ϕ1∘ϕt−1{\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}:

Esto implica que el punto fijo satisface

Av0=−∑i(Dϕ1)(incógnitai)T(yi−ϕ1(incógnitai))δincógnitai{\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}

con

Avt=−∑i(Dϕt1)T|ϕt(incógnitai)(yi−ϕ1(incógnitai))δϕt(incógnitai){\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}.

Variaciones para la coincidencia de imágenes densas y puntos de referencia en LDDMM

El cálculo de variaciones se utilizó en Beg [49] [ 53 ] para derivar el algoritmo iterativo como una solución que, al converger, satisface las condiciones necesarias de maximización dadas por las condiciones necesarias para una variación de primer orden que requiere la variación del punto final con respecto a una variación de primer orden del campo vectorial. La derivada direccional calcula la derivada de Gateaux como se calculó en el artículo original de Beg [ 49] y [ 54 ] [ 55 ] .

Variación de primer orden del flujo y del campo vectorial para la correspondencia densa de imágenes y puntos de referencia.

La variación de primer orden en los campos vectorialesv+ϵδv{\displaystyle v+\epsilon \delta v}requiere la variación de ϕ−1{\displaystyle \phi ^{-1}}generaliza la perturbación matricial de la inversa mediante(ϕ+ϵδϕ∘ϕ)∘(ϕ−1+ϵδϕ−1∘ϕ−1)=id+o(ϵ){\displaystyle (\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )}donación δϕ−1∘ϕ−1=−(Dϕ1−1)δϕ{\displaystyle \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }. Para expresar la variación en términos deδv{\displaystyle \delta v}, utilice la solución del corchete de Lieddt(δϕ|ϕ)=(Dv)|ϕδϕ|ϕ+δv|ϕ{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }}donación

δϕ1=(Dϕ1)|ϕ1−1∫01(Dϕt)|ϕ1−1−1(δvt)ϕt∘ϕ1−1dt{\displaystyle \delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt}
  • Coincidencia de imágenes:

Tomando la derivada direccional de la condición del punto final de la imagenmi(ϕ)=∫incógnita|I∘ϕ−1−J|2dincógnita{\displaystyle E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx}da

ddϵ12∫incógnita|I∘(ϕ−1+ϵδϕ−1∘ϕ−1)−J|2dincógnita|ϵ=0=∫incógnita(I∘ϕ−1−J)∇I|ϕ−1δϕ−1∘ϕ−1dincógnita{\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}=∫incógnita(I∘ϕ−1−J)∇I|ϕ−1(−Dϕ1−1)δϕdincógnita{\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx}
=∫incógnita(I∘ϕ1−1−J)∇I|ϕ1−1(−Dϕ1)|ϕ1−1−1(Dϕ1)|ϕ1−1)∫01(Dϕt)|ϕ1−1−1(δvt)|ϕt∘ϕ1−1dtdincógnita{\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}.

Sustituyendoϕt1≐ϕ1∘ϕt−1{\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}proporciona la condición necesaria para un óptimo:

ddϵdo(v+ϵδv)|ϵ=0=∫01∫incógnitaAvt⋅δvt dincógnita dt−∫01∫incógnita(I∘ϕ1−1−J)∇I|ϕ1−1(Dϕt)|ϕ1−1−1(δvt)|ϕt∘ϕ1−1 dincógnitadt=∫01∫incógnita(Avt−(I∘ϕt−1−J∘ϕt1)∇I|ϕt−1(Dϕt)|ϕt−1−1|Dϕt1|)⋅δvt dincógnitadt=0{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}}.
  • Coincidencia de puntos de referencia:

Consideremos la variación en los campos vectoriales.v+ϵδv{\displaystyle v+\epsilon \delta v}de12∑i|ϕ1(incógnitai)−yi)|2{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}} Utilice la regla de la cadena para la perturbación.δϕ∘ϕ{\displaystyle \delta \phi \circ \phi }para dar la primera variación

∑i(ϕ1(incógnitai)−yi)⋅Dϕ1|ϕ1−1(ϕ1(incógnitai))∫01(Dϕt)|ϕ1−1(ϕ1(incógnitai))−1δvt|ϕt∘ϕ1−1(ϕ1(incógnitai))dt{\displaystyle \sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}
=∫01∫incógnita∑iδϕt(incógnitai)(incógnita)(ϕ1(incógnitai)−yi)⋅(Dϕ1)ϕt−1(incógnita)(Dϕt)ϕt−1(incógnita)−1δvt(incógnita)dincógnitadt=∫01∫incógnita∑iδϕt(incógnitai)(y)(Dϕt1)ϕt(incógnitai)T(ϕ1(incógnitai)−yi)⋅δvt(incógnita)dincógnitadt{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}

Coincidencia de imágenes mediante tensor de difusión LDDMM

La coincidencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagenI(incógnita),incógnita∈R3{\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}como un campo vectorial unitario definido por el primer vector propio. [ 41 ] La acción de grupo se convierte en

φ⋅I={Dφ−1φI∘φ−1‖I∘φ−1‖‖Dφ−1φI∘φ−1‖I∘φ≠0,0de lo contrario.{\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}

dónde‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}que denota la norma del error cuadrático de la imagen.

La coincidencia LDDMM basada en la matriz tensorial completa [ 56 ] tiene acción de grupo.φ⋅METRO=(λ1mi^1mi^1T+λ2mi^2mi^2T+λ3mi^3mi^3T)∘φ−1,{\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}vectores propios transformados

mi^1=Dφmi1‖Dφmi1‖ ,   mi^2=Dφmi2−⟨mi^1,Dφmi2⟩mi^1‖Dφmi2‖2−⟨mi^1,Dφmi2⟩2 ,   mi^3=mi^1×mi^2{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}.

Problema de emparejamiento denso sobre el vector propio principal de DTI

El problema variacional de la correspondencia con imágenes vectorialesI′(incógnita),incógnita∈R3{\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}con punto final

mi(ϕ1)≐α∫R3‖ϕ1⋅I−I′‖2dincógnita+β∫R3(‖ϕ1⋅I‖−‖I′‖)2dincógnita).{\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}

se convierte

minv:ϕ˙∘ϕ−112∫01∫R3Avt⋅vtdincógnitadt+α∫R3‖ϕ1⋅I−I′‖2dincógnita+β∫R3(‖ϕ1⋅I‖−‖I′‖)2dincógnita .{\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}

Problema de coincidencia densa en la MATRIZ DTI

El problema variacional de emparejamiento con:METRO′(incógnita),incógnita∈R3{\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}} con punto final

mi(ϕ1)≐∫R3‖ϕ1⋅METRO(incógnita)−METRO′(incógnita)‖F2dincógnita{\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}

con‖⋅‖F{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}Norma de Frobenius, que da lugar a un problema variacional.

LDDMM ODF

La imagen de difusión de alta resolución angular (HARDI) aborda la limitación bien conocida de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación de fibra dominante en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo denorte{\displaystyle n}direcciones uniformemente distribuidas en la esfera y pueden caracterizar geometrías de fibra más complejas reconstruyendo una función de distribución de orientación (FDO) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. La FDO es una función definida en una esfera unitaria,S2{\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}. [ 57 ] Denotemos la ODF de raíz cuadrada (ODF{\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}) comoψ(s){\displaystyle \psi ({\bf {s}})}, dóndeψ(s){\displaystyle \psi ({\bf {s}})}es no negativo para asegurar la singularidad y∫s∈S2ψ2(s)ds=1{\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}La métrica define la distancia entre dosODF{\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}funcionesψ1,ψ2∈Ψ{\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }como

ρ(ψ1,ψ2)=‖registroψ1⁡(ψ2)‖ψ1=porque−1⁡⟨ψ1,ψ2⟩=porque−1⁡(∫s∈S2ψ1(s)ψ2(s)ds),{\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}

dónde⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }es el producto escalar normal entre puntos en la esfera bajo laL2{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}métrica. La plantilla y el objetivo se indican ψtmimetropag(s,incógnita){\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)},ψtargramo(s,incógnita){\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)},s∈S2{\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}incógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}indexado en toda la esfera unitaria y el dominio de la imagen, con el objetivo indexado de manera similar.

Defina el problema variacional suponiendo que dos volúmenes ODF pueden generarse uno a partir del otro mediante flujos de difeomorfismos.ϕt{\displaystyle \phi _{t}}, que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias ϕ˙t=vt(ϕt),t∈[0,1],ϕ0=id{\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}. La acción de grupo del difeomorfismo sobre la plantilla se da según ϕ1⋅ψ(incógnita)≐(Dϕ1)ψ∘ϕ1−1(incógnita),incógnita∈incógnita{\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}, dónde(Dϕ1){\displaystyle (D\phi _{1})}es el jacobiano de la ODF transformada afín y se define como

(Dϕ1)ψ∘ϕ1−1(incógnita)=det(Dϕ1−1ϕ1)−1‖(Dϕ1−1ϕ1)−1s‖3ψ((Dϕ1−1ϕ1)−1s‖(Dϕ1−1ϕ1)−1s‖,ϕ1−1(incógnita)).{\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}

El problema variacional LDDMM se define como

minv:ϕ˙t=vt∘ϕt,ϕ0=id∫01∫R3Avt⋅vtdincógnita dt+λ∫R3‖registro(Dϕ1)ψtmimetropag∘ϕ1−1(incógnita)⁡(ψtargramo(incógnita))‖(Dϕ1)ψtmimetropag∘ϕ1−1(incógnita)2dincógnita{\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}.

LDDMM hamiltoniano para coincidencia densa de imágenes

Beg resolvió los primeros algoritmos LDDMM resolviendo el emparejamiento variacional tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. [ 58 ] Otra solución de Vialard, [ 59 ] reparametriza el problema de optimización en términos del estadoqt≐I∘ϕt−1,q0=I{\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}, para imagenI(incógnita),incógnita∈incógnita=R3{\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}, con la ecuación dinámica controlando el estado mediante el control dado en términos de la ecuación de advección segúnq˙t=−∇qt⋅vt{\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}. El término de coincidencia del punto final mi(q1)≐12‖q1−J‖2{\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}da como resultado el problema variacional:

Demostración de la dinámica hamiltoniana

La dinámica hamiltoniana con estado advectivo y dinámica de control qt=I∘ϕt−1{\displaystyle q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}},q˙=−∇q⋅v{\displaystyle {\dot {q}}=-\nabla q\cdot v}con hamiltoniano extendido H(q,pag,v)=(pag|−∇q⋅v)−12(Av|v){\displaystyle H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)}da el problema variacional [ 53 ]

minpag,q,vdo(pag,q,v)≐(pag|q˙)−((pag|−∇q⋅v)−12(Av|v))+mi(q1)=(pag|q˙)−H(pag,q,v)+mi(q1) .{\displaystyle \min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .}

La primera variación proporciona la condición sobre el campo vectorial de optimización.Av=−pag∇q{\displaystyle Av=-p\nabla q}, con la condición del punto finalpag1=−∂mi∂q(q1){\displaystyle p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}y la dinámica de los multiplicadores de Lagrange determinada por las condiciones de la derivada de Gatteux(−pag˙−∇⋅(pagv)|δq))=0{\displaystyle (-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0}y el estado(δpag|q˙+∇q⋅v)=0{\displaystyle (\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0}.

Software para mapeo difeomórfico

Los paquetes de software que contienen diversos algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen los siguientes:

Software en la nube

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Ceritoglu, Can; Wang, Lei; Selemon, Lynn D.; Csernansky, John G.; Miller, Michael I.; Ratnanather, J. Tilak (2010-05-28). "Registro de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación de imágenes de secciones histológicas 3D reconstruidas e imágenes de RM in vivo" . Frontiers in Human Neuroscience . 4 : 43. doi : 10.3389/fnhum.2010.00043 . ISSN 1662-5161 . PMC 2889720. PMID 20577633 .