Número altamente compuesto

Un número altamente compuesto es un entero positivo que tiene más divisores que todos los enteros positivos menores. Si d ( n ) denota el número de divisores de un entero positivo n , entonces un entero positivo N es altamente compuesto si d ( N ) > d ( n ) para todo n < N. Por ejemplo, 6 es altamente compuesto porque d (6) = 4 , y para n = 1, 2, 3 , 4, 5 , se obtiene d ( n ) = 1, 2, 2, 3, 2 , respectivamente, que son todos menores que 4.

Un concepto relacionado es el de número compuesto , un entero positivo que tiene al menos tantos divisores como todos los enteros positivos menores. El nombre puede resultar algo engañoso, ya que los dos primeros números compuestos (1 y 2) no son realmente números compuestos ; sin embargo, todos los términos posteriores sí lo son.

Ramanujan escribió un artículo sobre números altamente compuestos en 1915. ^{[ 1 ]}

El matemático Jean-Pierre Kahane sugirió que Platón debió conocer los números altamente compuestos, ya que eligió deliberadamente un número de este tipo, 5040 (= 7! ), como el número ideal de ciudadanos en una ciudad. ^{[ 2 ]} Además, el artículo de Vardoulakis y Pugh profundiza en una investigación similar sobre el número 5040. ^{[ 3 ]} 

Los primeros 41 números altamente compuestos se enumeran en la tabla a continuación (secuencia A002182 en la OEIS ) . El número de divisores se indica en la columna etiquetada como d ( n ). Los asteriscos indican números altamente compuestos superiores .

A continuación se muestran los divisores de los primeros 20 números altamente compuestos.

La tabla que aparece a continuación muestra los 72 divisores de 10080, escribiéndolo como producto de dos números de 36 maneras diferentes.

El número altamente compuesto número 15.000 es el producto de 230 números primos:

${\displaystyle a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},}$

dónde${\displaystyle a_{n}}$es el${\displaystyle n}$el enésimo número primo sucesivo, y todos los términos omitidos ( a ₂₂ a a ₂₂₈ ) son factores con exponente igual a uno (es decir, el número es${\displaystyle 2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451}$). De forma más concisa, es el producto de siete primordios distintos:

${\displaystyle b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},}$

dónde${\displaystyle b_{n}}$es el primordio${\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$. ^{[ 4 ]}

En términos generales, para que un número sea altamente compuesto, debe tener factores primos lo más pequeños posible, pero no demasiados iguales. Según el teorema fundamental de la aritmética , todo entero positivo n tiene una única factorización prima:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}}$

dónde${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$son primos y los exponentes${\displaystyle c_{i}}$son números enteros positivos.

Cualquier factor de n debe tener la misma multiplicidad o una menor en cada número primo:

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

Por lo tanto, el número de divisores de n es:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).}$

Por lo tanto, para un número altamente compuesto n ,

• Los k números primos dados p _i deben ser precisamente los primeros k números primos (2, 3, 5, ...); de lo contrario, podríamos reemplazar uno de los primos dados por un primo más pequeño y así obtener un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo, 10  = 2 × 5 puede reemplazarse por 6 = 2 × 3; ambos tienen cuatro divisores);  
• La secuencia de exponentes debe ser no creciente, es decir${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$; de lo contrario, al intercambiar dos exponentes obtendríamos nuevamente un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo, 18  =  2 ¹  ×  3 ² puede reemplazarse por 12  =  2 ²  ×  3 ¹ ; ambos tienen seis divisores).

Además, salvo en dos casos especiales, n  =  4 y n  =  36, el último exponente c _k debe ser igual a  1. Esto significa que 1, 4 y 36 son los únicos números cuadrados altamente compuestos. Decir que la secuencia de exponentes es no creciente equivale a decir que un número altamente compuesto es un producto de primoriales o, alternativamente, el número más pequeño para su signatura prima .

Cabe señalar que, si bien las condiciones descritas anteriormente son necesarias, no son suficientes para que un número sea altamente compuesto. Por ejemplo, 96 = 2⁵ ^× 3 cumple con las condiciones anteriores y tiene 12 divisores, pero no es altamente compuesto, ya que existe un número menor (60) que tiene la misma cantidad de divisores.

Si Q ( x ) denota el número de números altamente compuestos menores o iguales a x , entonces existen dos constantes a y b , ambas mayores que 1 , tales que

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

La primera parte de la desigualdad fue demostrada por Paul Erdős en 1944 y la segunda parte por Jean-Louis Nicolas en 1988. Tenemos

${\displaystyle 1.13682<\liminf _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\ }$

y

${\displaystyle \limsup _{x\,\to \,\infty }{\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$^{[ 5 ]}

Los números altamente compuestos mayores que 6 también son números abundantes . Basta con observar los tres mayores divisores propios de un número altamente compuesto para comprobarlo. Es falso que todos los números altamente compuestos sean también números de Harshad en base 10. El primer número altamente compuesto que no es un número de Harshad es 245.044.800; su suma de dígitos es 27, que no divide exactamente a 245.044.800.

10 de los primeros 38 números altamente compuestos son números altamente compuestos superiores . La secuencia de números altamente compuestos (secuencia A002182 en la OEIS ) es un subconjunto de la secuencia de los números más pequeños k con exactamente n divisores (secuencia A005179 en la OEIS ) .

Los números altamente compuestos cuyo número de divisores también es un número altamente compuesto son:

1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (secuencia A189394 en el OEIS ) .

Se sabe que esta secuencia está completa . ^{[ 6 ]}

Un entero positivo n es un número compuesto mayormente si d ( n ) ≥ d ( m ) para todo m ≤ n . La función de conteo Q _L ( x ) de números compuestos mayormente satisface

${\displaystyle (\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\ }$

para c y d positivos con${\displaystyle 0.2\leq c\leq d\leq 0.5}$. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Debido a que la factorización prima de un número altamente compuesto utiliza todos los primeros k primos, todo número altamente compuesto debe ser un número práctico . ^{[ 9 ]} Debido a su facilidad de uso en cálculos que involucran fracciones , muchos de estos números se utilizan en sistemas de medición tradicionales y diseños de ingeniería.

• Número compuesto superior
• Número altamente totiente
• Tabla de divisores
• Función totiente de Euler
• Número redondo
• Número suave

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45 a 46. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 
• Erdös, P. (1944). "Sobre números altamente compuestos" (PDF) . Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 19 (75_Parte_3): 130–133 . doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130 . MR 0013381 . 
• Alaoglu, L. ; Erdös, P. (1944). "Sobre números altamente compuestos y similares" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 56 (3): 448– 469. doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . MR 0011087 .  
• Ramanujan, Srinivasa (1997). " Números altamente compuestos" (PDF) . Ramanujan Journal . 1 (2): 119– 153. doi : 10.1023/A:1009764017495 . MR 1606180. S2CID 115619659 .  Anotado y con prólogo de Jean-Louis Nicolas y Guy Robin.

• Weisstein, Eric W. "Número altamente compuesto" . MathWorld .
• Algoritmo para el cálculo de números altamente compuestos
• Los primeros 10000 números altamente compuestos como factores
• Achim Flammenkamp, ​​Primer 779674 HCN con factores sigma y tau
• Calculadora en línea de números altamente compuestos
• 5040 y otros números antiprimos - Dr. James Grime por Dr. James Grime para Numberphile