Número de Harshad

En matemáticas recreativas , un número Harshad (o número Niven ) en una base numérica dada es un entero que es divisible por la suma de sus dígitos cuando se escribe en esa base. ^{[ 1 ]} Los números Harshad en base n también se conocen como números n -Harshad (o n -Niven ). Dado que ser un número Harshad se determina según la base en la que se expresa el número, un número puede ser un número Harshad muchas veces. ^{[ 2 ]} Los llamados numerales Trans-Harshad son secuencias de los dígitos del 0 al 9 que, en cualquier base que utilice todos sus dígitos, representan un número Harshad en esa base. ^{[ 3 ]}

Los números de Harshad fueron definidos por DR Kaprekar , un matemático de la India . ^{[ 4 ]} La palabra "harshad" proviene del sánscrito harṣa (alegría) + da (dar), que significa dador de alegría. El término "número de Niven" surgió de un artículo presentado por Ivan M. Niven en una conferencia sobre teoría de números en 1977.

Enunciado matemáticamente, sea X un entero positivo con m dígitos cuando se escribe en base n , y sean los dígitos${\displaystyle a_{i}}$(${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m-1}$). (De ello se deduce que${\displaystyle a_{i}}$debe ser cero o un número entero positivo hasta ⁠${\displaystyle n-1}$. ) X puede expresarse como

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

X es un número de Harshad en base n si:

${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$

Un número que es un número Harshad en todas las bases numéricas se llama número Harshad o número Niven . Solo hay cuatro números Harshad: 1 , 2 , 4 y 6. El número 12 es un número Harshad en todas las bases excepto en la octal .

• El número 18 es un número hashad en base 10 , porque la suma de los dígitos 1 y 8 es 9, y 18 es divisible por 9.
• El número de Hardy-Ramanujan (1729) es un número harshad en base 10, ya que es divisible por 19, la suma de sus dígitos (1729 = 19 × 91).
• El número 19 no es un número de Harshad en base 10, porque la suma de los dígitos 1 y 9 es 10, y 19 no es divisible por 10.
• En base 10, todo número natural expresable en la forma 9R _n a _n , donde el número R _n consta de n copias del dígito único 1, n > 0, y a _n es un entero positivo menor que 10 ⁿ y múltiplo de n , es un número harshad. (R. D'Amico, 2019). El número 9R ₃ a ₃ = 521478, donde R ₃ = 111, n = 3 y a ₃ = 3×174 = 522, es un número harshad; de hecho, tenemos: 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314. ^{[ 5 ]}
• Los números de Harshad en base 10 forman la secuencia :

  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , ... (secuencia A005349 en el OEIS ) .

• Todos los números enteros entre cero y n son números de Harshad de orden n .

Dada la prueba de divisibilidad del 9, uno podría verse tentado a generalizar que todos los números divisibles por 9 también son números de Harshad. Pero para determinar si un número es de Harshad , sus dígitos solo se pueden sumar una vez y n debe ser divisible por esa suma; de lo contrario, no es un número de Harshad. Por ejemplo, 99 no es un número de Harshad, ya que 9 + 9 = 18, y 99 no es divisible por 18.

El número base (y además, sus potencias) siempre será un número de Harshad en su propia base, ya que se representará como "10" y 1 + 0 = 1.

Todos los números cuya suma de dígitos en base b divide a b −1 son números de Harshad en base b .

Para que un número primo sea también un número harshad, debe ser menor o igual que la base. De lo contrario, la suma de los dígitos del primo dará como resultado un número mayor que 1, pero menor que el primo, y no será divisible. Por ejemplo: 11 no es harshad en base 10 porque la suma de sus dígitos “11” es 1 + 1 = 2, y 11 no es divisible por 2; mientras que en base 12 el número 11 se puede representar como “ B ”, cuya suma de dígitos también es B. Como B es divisible por sí mismo, es harshad en base 12.

Todo número con una sola cifra en una base determinada será un número de Harshad en dicha base. Esto se debe a que la suma de las cifras del número es igual al número mismo, y todo número, independientemente de su base o cifras, es divisible por sí mismo.

Aunque la secuencia de factoriales comienza con números de Harshad en base 10, no todos los factoriales son números de Harshad. 432! es el primero que no lo es. (432! tiene una suma de dígitos de 3897 = 3² ^× 433 en base 10, por lo que no divide a 432!).

El k más pequeño tal que${\displaystyle k\cdot n}$es un número de Harshad son

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (secuencia A144261 en el OEIS ) .

El k más pequeño tal que${\displaystyle k\cdot n}$no es un número de Harshad son

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (secuencia A144262 en el OEIS ) .

Los números de Harshad en base 12 son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A , B , 10, 1 A , 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A 0, A 1, B 0, 100, 10 A , 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 A 0, 1 B 0, 1 B A , 200, ...

donde A representa diez y B representa once.

El k más pequeño tal que${\displaystyle k\cdot n}$es un número de Harshad en base 12 (escrito en base 10):

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

El k más pequeño tal que${\displaystyle k\cdot n}$no es un número de Harshad en base 12 son (escritos en base 10):

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Al igual que en base 10, no todos los factoriales son números de Harshad en base 12. Después de 7! (= 5040 = 2 B 00 en base 12, con una suma de dígitos de 13 en base 12, y 13 no divide a 7!), 1276! es el siguiente que no lo es. (1276! tiene una suma de dígitos de 14201 = 11 × 1291 en base 12, por lo tanto, no divide a 1276!).

Si dejamos${\displaystyle N(x)}$denota el número de números de Harshad${\displaystyle \leq x}$, entonces para cualquier dado${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

como lo demostraron Jean-Marie De Koninck y Nicolas Doyon; ^{[ 10 ]} además, De Koninck, Doyon y Kátai ^{[ 11 ]} demostraron que

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

dónde${\displaystyle c=(14/27)\log 10\approx 1.1939}$y el${\displaystyle o(1)}$El término utiliza la notación Big O.

Todo número natural que no exceda de mil millones es un número de Harshad o la suma de dos números de Harshad. Condicionado a una hipótesis técnica sobre los ceros de ciertas funciones zeta de Dedekind , Sanna demostró que existe un entero positivo${\displaystyle k}$de tal manera que cada número natural sea la suma de como máximo${\displaystyle k}$números de Harshad, es decir, el conjunto de números de Harshad es una base aditiva . ^{[ 12 ]}

El número de maneras en que cada número natural 1, 2, 3, ... puede escribirse como suma de dos números de Harstad es:

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 4, 4, 6, 4, 2, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 8, 3, 4, 6, 3, 3, 6, 2, 5, 6, 5, 3, 8, 4, 4, 6, ... (secuencia A337853 en el OEIS ) .

El número más pequeño que se puede escribir de exactamente 1, 2, 3, ... maneras como la suma de dos números de Harstad es:

2, 4, 6, 8, 10, 51, 48, 72, 108, 126, 90, 138, 144, 120, 198, 162, 210, 216, 315, 240, 234, 306, 252, 372, 270, 546, 360, 342, 444, 414, 468, 420, 642, 450, 522, 540, 924, 612, 600, 666, 630, 888, 930, 756, 840, 882, 936, 972, 1098, 1215, 1026, 1212, 1080, ... (secuencia A337854 en el OEIS ) .

Un número nivenmórfico o número harshadmórfico para una base numérica dada es un entero t tal que existe algún número harshad N cuya suma de dígitos es t , y t , escrito en esa base, termina N escrito en la misma base.

Por ejemplo, 18 es un número nivenmórfico en base 10:

16218 es un número de Harshad 16218 tiene 18 dígitos. 18 termina 16218

Sandro Boscaro determinó que para la base 10 todos los enteros positivos son números nivenmórficos excepto 11. [ ^{13 ] De} hecho, para un entero par n > 1, todos los enteros positivos excepto n +1 son números nivenmórficos para la base n , y para un entero impar n > 1, todos los enteros positivos son números nivenmórficos para la base n . Por ejemplo, los números nivenmórficos en base 12 son (secuencia A011760 en la OEIS ) (todos los enteros positivos excepto 13).

Los números más pequeños con suma de dígitos en base 10 igual a n y que terminan en n, escritos en base 10, son: (0 si no existe tal número)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, ... (secuencia A187924 en el OEIS )

Bloem (2005) define un número Harshad múltiple como un número Harshad que, al dividirse por la suma de sus dígitos, produce otro número Harshad. ^{[ 14 ]} Afirma que 6804 es "MHN-4" sobre la base de que

${\displaystyle {\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}}$

(no es MHN-5 ya que${\displaystyle 1/1=1}$, pero 1 no es "otro" número de Harshad)

y luego demostró que 2016502858579884466176 es MHN-12. El número 10080000000000 = 1008  × 10 ¹⁰ , que es menor, también es MHN-12. En general, 1008  × 10 ⁿ es MHN-( n +2).

Weisstein, Eric W. "Número de Harshad" . MathWorld .