Teorema del hiperplano de Lefschetz

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica y topología algebraica , el teorema del hiperplano de Lefschetz establece con precisión ciertas relaciones entre la forma de una variedad algebraica y la de sus subvariedades. Más precisamente, el teorema afirma que para una variedad X inmersa en el espacio proyectivo y una sección hiperplana Y , los grupos de homología , cohomología y homotopía de X determinan los de Y. Solomon Lefschetz fue el primero en enunciado de este tipo para los grupos de homología de variedades algebraicas complejas. Posteriormente, se han encontrado resultados similares para grupos de homotopía, en característica positiva, y en otras teorías de homología y cohomología.

Una generalización de gran alcance del teorema de Lefschetz difícil viene dada por el teorema de descomposición .

El teorema del hiperplano de Lefschetz para variedades proyectivas complejas

Dejar $X$ frijol $n$ variedad algebraica proyectiva compleja de dimensión - $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}$ y dejar $Y$ ser una sección hiperplana de $X$ de tal manera que $U=X\setminus Y$ es suave. El teorema de Lefschetz se refiere a cualquiera de las siguientes afirmaciones: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

El mapa natural $H_{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{k}(X,\mathbb {Z} )$ en homología singular es un isomorfismo para $k<n-1$ y es sobreyectiva para $k=n-1$ .
El mapa natural $H^{k}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{k}(Y,\mathbb {Z} )$ en cohomología singular es un isomorfismo para $k<n-1$ y es inyectable para $k=n-1$ .
El mapa natural $\pi _{k}(Y)\rightarrow \pi _{k}(X)$ es un isomorfismo para $k<n-1$ y es sobreyectiva para $k=n-1$ .

Utilizando una larga sucesión exacta , se puede demostrar que cada una de estas afirmaciones es equivalente a un teorema de anulación para ciertos invariantes topológicos relativos. En orden, estas son:

Los grupos de homología singular relativa $H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )$ son cero para $k\leq n-1$ .
Los grupos de cohomología singular relativa $H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )$ son cero para $k\leq n-1$ .
Los grupos de homotopía relativa $\pi _{k}(X,Y)$ son cero para $k\leq n-1$ .

La prueba de Lefschetz

Solomon Lefschetz ^{[ 3 ]} utilizó su idea de un lápiz de Lefschetz para demostrar el teorema. En lugar de considerar la sección hiperplana $Y$ Él solo lo colocó en una familia de secciones hiperplanas. $Y_{t}$ , dónde $Y=Y_{0}$ . Debido a que una sección de hiperplano genérica es suave, todos excepto un número finito de $Y_{t}$ son variedades suaves. Después de eliminar estos puntos de la $t$ -plano y haciendo un número finito adicional de ranuras, la familia resultante de secciones de hiperplano es topológicamente trivial. Es decir, es un producto de un genérico $Y_{t}$ con un subconjunto abierto de la $t$ -avión. $X$ Por lo tanto, se puede entender si se comprende cómo se identifican las secciones hiperplanas a través de las hendiduras y en los puntos singulares. Lejos de los puntos singulares, la identificación se puede describir inductivamente. En los puntos singulares, el lema de Morse implica que hay una elección de sistema de coordenadas para $X$ de una forma particularmente simple. Este sistema de coordenadas puede usarse para demostrar el teorema directamente. ^{[ 4 ]}

Prueba de Andreotti y Frankel

Aldo Andreotti y Theodore Frankel ^{[ 5 ]} reconocieron que el teorema de Lefschetz podía reformularse utilizando la teoría de Morse . ^{[ 6 ]} Aquí el parámetro $t$ desempeña el papel de una función de Morse. La herramienta básica en este enfoque es el teorema de Andreotti-Frankel , que establece que una variedad afín compleja de dimensión compleja $n$ (y por lo tanto dimensión real $2n$ ) tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión (real) $n$ . Esto implica que los grupos de homología relativa de $Y$ en $X$ son triviales en grado menor que $n$ La larga secuencia exacta de homología relativa da entonces el teorema.

Pruebas de Thom y Bott

Ni la demostración de Lefschetz ni la de Andreotti y Frankel implican directamente el teorema del hiperplano de Lefschetz para grupos de homotopía. Un enfoque que sí lo hace fue hallado por René Thom no más tarde de 1957 y fue simplificado y publicado por Raoul Bott en 1959. ^{[ 7 ]} Thom y Bott interpretan $Y$ como el lugar que desaparece en $X$ de una sección de un fibrado lineal. Una aplicación de la teoría de Morse a esta sección implica que $X$ se puede construir a partir de $Y$ por celdas adyacentes de dimensión $n$ o más. De esto se deduce que los grupos de homología y homotopía relativos de $Y$ en $X$ están concentrados en grados $n$ y superior, lo que da como resultado el teorema.

Pruebas de Kodaira y Spencer para los grupos de Hodge

Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer descubrieron que, bajo ciertas restricciones, es posible demostrar un teorema de tipo Lefschetz para los grupos de Hodge. $H^{p,q}$ . Específicamente, supongamos que $Y$ es suave y que el paquete de líneas ${\mathcal {O}}_{X}(Y)$ es suficiente. Entonces el mapa de restricciones $H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)$ es un isomorfismo si $p+q<n-1$ y es inyectivo si $p+q=n-1$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Según la teoría de Hodge , estos grupos de cohomología son iguales a los grupos de cohomología de haces. $H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X})$ y $H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})$ Por lo tanto, el teorema se deduce de la aplicación del teorema de anulación de Akizuki-Nakano a $H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X}|_{Y})$ y utilizando una secuencia exacta larga.

La combinación de esta demostración con el teorema del coeficiente universal produce casi el teorema de Lefschetz habitual para la cohomología con coeficientes en cualquier cuerpo de característica cero. Sin embargo, es ligeramente más débil debido a las suposiciones adicionales sobre $Y$ .

La demostración de Artin y Grothendieck sobre la existencia de haces construibles

Michael Artin y Alexander Grothendieck encontraron una generalización del teorema del hiperplano de Lefschetz al caso en que los coeficientes de la cohomología no se encuentran en un cuerpo sino en un haz construible . Demuestran que para un haz construible ${\mathcal {F}}$ en una variedad afín $U$ , los grupos de cohomología $H^{k}(U,{\mathcal {F}})$ desaparecer cuando $k>n$ . ^{[ 10 ]}

El teorema de Lefschetz en otras teorías de cohomología

La motivación detrás de la demostración de Artin y Grothendieck para las gavillas construibles fue dar una demostración que pudiera adaptarse al entorno de étale y $\ell$ Cohomología -ádica. Salvo algunas restricciones sobre el haz construible, el teorema de Lefschetz sigue siendo válido para haces construibles en característica positiva.

El teorema también puede generalizarse a la homología de intersección . En este contexto, el teorema se cumple para espacios altamente singulares.

También se cumple un teorema de tipo Lefschetz para los grupos de Picard . ^{[ 11 ]}

Teorema de Lefschetz duro

Dejar $X$ ser un $n$ -dimensión variedad proyectiva compleja no singular en $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}$ . Luego en el anillo de cohomología de $X$ , el $k$ El producto -pliegue con la clase de cohomología de un hiperplano da un isomorfismo entre $H^{n-k}(X)$ y $H^{n+k}(X)$ .

Este es el teorema de Lefschetz difícil , bautizado en francés por Grothendieck de forma más coloquial como Théorème de Lefschetz vache . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Implica inmediatamente la parte de inyectividad del teorema del hiperplano de Lefschetz.

El teorema de Lefschetz, en realidad, se cumple para cualquier variedad de Kähler compacta , cuyo isomorfismo en la cohomología de De Rham viene dado por la multiplicación por una potencia de la clase de la forma de Kähler. Puede fallar para variedades que no son de Kähler: por ejemplo, las superficies de Hopf tienen grupos de segunda cohomología nulos, por lo que no existe un análogo de la segunda clase de cohomología de una sección hiperplana.

El teorema de Lefschetz duro fue demostrado para $\ell$ Cohomología -ádica de variedades proyectivas suaves sobre cuerpos algebraicamente cerrados de característica positiva por Pierre Deligne ( 1980 ) .

Referencias

↑ Milnor 1963 , Teorema 7.3 y Corolario 7.4
↑ Voisin 2003 , Teorema 1.23
↑ Lefschetz 1924
↑ Griffiths, Spencer y Whitehead 1992
↑ Andreotti y Frankel 1959
↑ Milnor 1963 , pág. 39
↑ Bott 1959
↑ Lazarsfeld 2004 , Ejemplo 3.1.24
↑ Voisin 2003 , Teorema 1.29
↑ Lazarsfeld 2004 , Teorema 3.1.13
↑ Lazarsfeld 2004 , Ejemplo 3.1.25
↑ Beauville
↑ Sabbah 2001

Bibliografía

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[1] Milnor 1963 , Teorema 7.3 y Corolario 7.4

[2] Voisin 2003 , Teorema 1.23

[3] Lefschetz 1924

[4] Griffiths, Spencer y Whitehead 1992

[5] Andreotti y Frankel 1959

[6] Milnor 1963 , pág. 39

[7] Bott 1959

[8] Lazarsfeld 2004 , Ejemplo 3.1.24

[9] Voisin 2003 , Teorema 1.29

[10] Lazarsfeld 2004 , Teorema 3.1.13

[11] Lazarsfeld 2004 , Ejemplo 3.1.25

[12] Beauville

[13] Sabbah 2001

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