Listas de integrales

La integración es la operación básica en el cálculo integral . Si bien la diferenciación tiene reglas sencillas para hallar la derivada de una función compleja mediante la diferenciación de sus componentes más simples, la integración no las tiene, por lo que las tablas de integrales conocidas suelen ser útiles. Esta página enumera algunas de las antiderivadas más comunes .

Desarrollo histórico de las integrales

Una compilación de una lista de integrales (Integraltafeln) y técnicas de cálculo integral fue publicada por el matemático alemán Meier Hirsch (también escrito Meyer Hirsch) en 1810. ^{[ 1 ]} Estas tablas fueron republicadas en el Reino Unido en 1823. Tablas más extensas fueron compiladas en 1858 por el matemático holandés David Bierens de Haan para su Tables d'intégrales définies , complementada por Supplément aux tables d'intégrales définies alrededor de 1864. Una nueva edición fue publicada en 1867 bajo el título Nouvelles tables d'intégrales définies .

Estas tablas, que contienen principalmente integrales de funciones elementales, se mantuvieron en uso hasta mediados del siglo XX. Posteriormente, fueron reemplazadas por las tablas mucho más extensas de Gradshteyn y Ryzhik . En Gradshteyn y Ryzhik, las integrales que provienen del libro de Bierens de Haan se denotan con las siglas BI.

No todas las expresiones de forma cerrada tienen antiderivadas de forma cerrada; este estudio constituye el objeto de la teoría diferencial de Galois , desarrollada inicialmente por Joseph Liouville en las décadas de 1830 y 1840, lo que dio lugar al teorema de Liouville , que clasifica qué expresiones tienen antiderivadas de forma cerrada. Un ejemplo sencillo de una función sin antiderivada de forma cerrada es $e - x 2$ , cuya antiderivada es (salvo constantes) la función de error .

Desde 1968 existe el algoritmo de Risch para determinar integrales indefinidas que pueden expresarse en términos de funciones elementales , generalmente mediante un sistema de álgebra computacional . Las integrales que no pueden expresarse mediante funciones elementales pueden manipularse simbólicamente utilizando funciones generales como la función G de Meijer .

Listas de integrales

En las siguientes páginas encontrará información más detallada sobre las listas de integrales :

La Tabla de Integrales, Series y Productos de Gradshteyn , Ryzhik , Geronimus , Tseytlin , Jeffrey, Zwillinger y Moll (GR) contiene una gran colección de resultados. Una tabla aún más extensa, de varios volúmenes, es la de Integrales y Series de Prudnikov , Brychkov y Marichev (los volúmenes 1 a 3 enumeran integrales y series de funciones elementales y especiales , y los volúmenes 4 y 5 son tablas de transformadas de Laplace ). Se pueden encontrar colecciones más compactas, por ejemplo, en las Tablas de Integrales Indefinidas de Brychkov, Marichev y Prudnikov, o como capítulos en las Tablas y Fórmulas Matemáticas Estándar CRC de Zwillinger, o en la Guía de Matemáticas , el Manual de Matemáticas o la Guía del Usuario de Matemáticas de Bronshtein y Semendyayev , y otros manuales de matemáticas.

Otros recursos útiles incluyen las obras de Abramowitz y Stegun y el Proyecto del Manuscrito Bateman . Ambas obras contienen numerosas identidades relativas a integrales específicas, organizadas por tema en lugar de estar agrupadas en tablas aparte. Dos volúmenes del Manuscrito Bateman se centran en las transformadas integrales.

Existen varios sitios web que ofrecen tablas de integrales e integrales a demanda. Wolfram Alpha puede mostrar los resultados y, para algunas expresiones más sencillas, también los pasos intermedios de la integración. Wolfram Research también ofrece otro servicio en línea: el Integrador en Línea de Mathematica.

Integrales de funciones simples

C se utiliza para una constante de integración arbitraria que solo puede determinarse si se conoce algo sobre el valor de la integral en algún punto. Por lo tanto, cada función tiene un número infinito de antiderivadas .

Estas fórmulas solo expresan de otra forma las afirmaciones de la tabla de derivadas .

Integrales con una singularidad

Cuando existe una singularidad en la función que se está integrando, de modo que la antiderivada se vuelve indefinida en algún punto (la singularidad), entonces C no necesita ser el mismo a ambos lados de la singularidad. Las formas que se muestran a continuación normalmente asumen el valor principal de Cauchy alrededor de una singularidad en el valor de C , pero esto no es necesario en general. Por ejemplo, en $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$ Hay una singularidad en 0 y la antiderivada se vuelve infinita allí. Si la integral anterior se utilizara para calcular una integral definida entre −1 y 1, se obtendría la respuesta incorrecta 0. Sin embargo, este es el valor principal de Cauchy de la integral alrededor de la singularidad. Si la integración se realiza en el plano complejo, el resultado depende de la trayectoria alrededor del origen; en este caso, la singularidad contribuye con $-iπ$ cuando se utiliza una trayectoria por encima del origen e iπ para una trayectoria por debajo del origen. Una función en la recta real podría usar un valor de C completamente diferente a cada lado del origen, como en $:$ ^[²^] $\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{si }}x>0;\\B&{\text{si }}x<0.\end{cases}}$

Funciones racionales

$\int a\,dx=ax+C$

La siguiente función tiene una singularidad no integrable en 0 para $n \leq -1$ :

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(para }}n\neq -1{\text{)}}$ ( Fórmula de cuadratura de Cavalieri )
$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(para }}n\neq -1{\text{)}}$
$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$ $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
- En términos más generales, ^{[ 3 ]} $\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$
$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Funciones exponenciales

$\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
(si $n$ es un número entero positivo)
$\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$
(si $n$ es un número entero positivo)

Logaritmos

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C$

funciones trigonométricas

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
$\int \cos x\,dx=\sin x+C$
$\int \tan x\,dx=\ln \left|\sec x\right|+C=-\ln \left|\cos x\right|+C$
$\int \cot x\,dx=-\ln \left|\csc x\right|+C=\ln \left|\sin x\right|+C$
$\int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$ $\int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
- (Véase Integral de la función secante . Este resultado fue una conjetura muy conocida en el siglo XVII).
$\int \csc x\,dx=-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C$
$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
$\int \sec x\,\tan x\,dx=\sec x+C$
$\int \csc x\,\cot x\,dx=-\csc x+C$
$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
$\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
$\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C$ $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C$
- (Véase la integral de la secante al cubo ).
$\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln \left|\csc x-\cot x\right|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}x\cos x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx$
$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}x\sin x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Funciones trigonométricas inversas

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

funciones hiperbólicas

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
$\int \tanh x\,dx=\ln(\cosh x)+C$
$\int \coth x\,dx=\ln \left|\sinh x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} x\,dx=\arctan(\sinh x)+C$
$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x\right|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
$\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
$\int \operatorname {sech} x\,\operatorname {tanh} x\,dx=-\operatorname {sech} x+C$
$\int \operatorname {csch} x\,\operatorname {coth} x\,dx=-\operatorname {csch} x+C$

Funciones hiperbólicas inversas

$\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
$\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\left|\operatorname {arcsinh} \,x\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

Productos de funciones proporcionales a sus segundas derivadas

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

Funciones de valor absoluto

Sea $f$ una función continua que tiene como máximo una raíz . Si $f$ tiene una raíz, sea $g$ la única antiderivada de $f$ que es cero en la raíz de $f$ ; de lo contrario, sea $g$ cualquier antiderivada de $f$ . Entonces $\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,$ donde $sgn(x)$ es la función signo , que toma los valores −1, 0, 1 cuando $x$ es respectivamente negativo, cero o positivo.

Esto se puede demostrar calculando la derivada del lado derecho de la fórmula, teniendo en cuenta que la condición sobre $g$ está aquí para asegurar la continuidad de la integral.

Esto da como resultado las siguientes fórmulas (donde $a \neq 0$ ), que son válidas en cualquier intervalo donde $f$ sea continua (en intervalos mayores, la constante $C$ debe ser reemplazada por una función constante a trozos ):

$\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$
cuando $n$ es impar, y $n\neq -1$ .
$\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$
cuando ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ para algún entero $n$ .
$\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$
cuando $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ para algún entero $n$ .
$\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$
cuando ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ para algún entero $n$ .
$\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$
cuando $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ para algún entero $n$ .

Si la función $f$ no tiene ninguna antiderivada continua que tome el valor cero en los ceros de $f (este es el caso de las funciones seno y coseno), entonces \int f$ $($ x $)$ $dx es una antiderivada de f en$ todo $intervalo$ en el que $f$ no es cero, pero puede ser discontinua en los puntos donde $f$ $(x) = 0.$ Para tener una antiderivada continua, se debe agregar una función escalón bien elegida . Si además usamos el hecho de que los valores absolutos del seno y el coseno son periódicos con periodo $π$ , entonces obtenemos:

$\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$
$\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$

Funciones especiales

$Ci$ , $Si$ : Integrales trigonométricas , $Ei$ : Integral exponencial , $li$ : Función integral logarítmica , $erf$ : Función de error

$\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
$\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
$\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
$\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
$\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
$\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

Integrales definidas que carecen de antiderivadas en forma cerrada

Existen algunas funciones cuyas antiderivadas no pueden expresarse en forma cerrada . Sin embargo, es posible calcular los valores de las integrales definidas de algunas de estas funciones sobre ciertos intervalos comunes. A continuación se presentan algunas integrales útiles.

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Véase también la función Gamma )
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ para $a > 0$ (la integral gaussiana )
$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ para $a > 0$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
para $a > 0$ , $n$ es un entero positivo y $!!$ es el doble factorial .
$\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ cuando $a > 0$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
para $a > 0$ , $n = 0, 1, 2, ....$
$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (véase también el número de Bernoulli )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$ (utilizado en la derivación de la ley de Planck en física)
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\Gamma (n+1)\zeta (n+1)$ para $n>0$ (véase también la función zeta de Riemann )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (véase la función sinc y la integral de Dirichlet )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
(si $n$ es un entero positivo y !! es el doble factorial ).
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(para $α, β, m, n$ enteros con $β \neq 0$ y $m, n \geq 0$ , véase también Coeficiente binomial )
$\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
(para $α, β$ reales, $n$ un entero no negativo y $m$ un entero positivo impar; puesto que el integrando es impar )
$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(para $α, β, m, n$ enteros con $β \neq 0$ y $m, n \geq 0$ , véase también Coeficiente binomial )
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(para $α, β, m, n$ enteros con $β \neq 0$ y $m, n \geq 0$ , véase también Coeficiente binomial )
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
(donde $exp[u]$ es la función exponencial $e u$ , y $a > 0$ .)
$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
(dónde $\Gamma (z)$ es la función Gamma )
$\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
$\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
(para $Re(α) > 0$ y $Re(β) > 0$ , véase la función Beta )
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (donde $I 0 (x) es la$ función de Bessel modificada de primera especie)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
$\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
(para $ν > 0$ , esto está relacionado con la función de densidad de probabilidad de la distribución t de Student )

Si la función $f$ tiene variación acotada en el intervalo $[a, b]$ , entonces el método de agotamiento proporciona una fórmula para la integral: $\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).$

El " sueño del estudiante de segundo año ": ${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}$ Atribuido a Johann Bernoulli .

Véase también

Reglas de diferenciación : reglas para calcular derivadas de funciones.
Función gamma incompleta – Tipos de funciones matemáticas especiales
Suma indefinida : inversa de una diferencia finita.
Integración mediante la fórmula de Euler : uso de números complejos para evaluar integrales.
Teorema de Liouville (álgebra diferencial) : criterio para la integración en términos de funciones elementales.
Lista de límites
Lista de identidades matemáticas
Lista de series matemáticas
Integral no elemental : Integrales que no se pueden expresar en forma cerrada a partir de funciones elementales.
Integración simbólica – Cálculo de antiderivadas

Referencias

↑ Hirsch, Meyer (1810). Integraltafeln: oder, Sammlung von integralformeln (en alemán). Duncker y Humblot.
↑ Serge Lang . Un primer curso de cálculo , 5.ª edición, pág. 290
↑ " Encuesta a los lectores: log| x | + C ", Tom Leinster , The n- category Café , 19 de marzo de 2012

Lecturas adicionales

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Víktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (en alemán). vol. 1. Traducido por Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun y Fráncfort del Meno: Verlag Harri Deutsch (y BG Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 . (Varias ediciones anteriores también).
Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988-1992) [1981-1986 (ruso)]. Integrales y Series . vol. 1– 5. Traducido por Queen, NM (1 ed.). ( Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/ CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.{{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) . Segunda edición revisada (en ruso), volumen 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Manual de funciones especiales: derivadas, integrales, series y otras fórmulas . Edición rusa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Edición en inglés, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X/ 9781584889564.
Daniel Zwillinger. Tablas y fórmulas matemáticas estándar CRC , 31.ª edición. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3( También en muchas ediciones anteriores).
Meyer Hirsch , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlín, 1810)
Meyer Hirsch , Tablas integrales o una colección de fórmulas integrales (Baynes and Son, Londres, 1823) [traducción al inglés de Integraltafeln ]
David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
Benjamin O. Pierce, Tabla breve de integrales - edición revisada (Ginn & Co., Boston, 1899)

Enlaces externos

Tablas de integrales

Apuntes de matemáticas en línea de Paul
A. Dieckmann, Tabla de integrales (funciones elípticas, raíces cuadradas, tangentes inversas y funciones más exóticas): Integrales indefinidas Integrales definidas
Estudiante de Matemáticas: Una tabla de integrales
O'Brien, Francis J. Jr. "500 Integrales de Funciones Elementales y Especiales" .Integrales derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y funciones especiales.
Integración basada en reglas Reglas de integración indefinidas definidas con precisión que abarcan una amplia clase de integrandos
Mathar, Richard J. (2012). "Otra tabla más de integrales". arXiv : 1207.5845 [ math.CA ].

Derivaciones

Victor Hugo Moll, Las integrales en Gradshteyn y Ryzhik

Servicio en línea

Ejemplos de integración para Wolfram Alpha

Programas de código abierto

Interfaz gráfica de usuario wxmaxima para la resolución simbólica y numérica de muchos problemas matemáticos.

Vídeos

La técnica de integración más poderosa que existe . Vídeo de YouTube de Flammable Maths sobre simetrías.

[1] Hirsch, Meyer (1810). Integraltafeln: oder, Sammlung von integralformeln (en alemán). Duncker y Humblot.

[2] Serge Lang . Un primer curso de cálculo , 5.ª edición, pág. 290

[3] " Encuesta a los lectores: log| x | + C ", Tom Leinster , The n- category Café , 19 de marzo de 2012

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