Lógica algebraica

En lógica matemática , la lógica algebraica es el razonamiento que se obtiene manipulando ecuaciones con variables libres .

Lo que hoy se conoce como lógica algebraica clásica se centra en la identificación y descripción algebraica de modelos adecuados para el estudio de diversas lógicas (en forma de clases de álgebras que constituyen la semántica algebraica de estos sistemas deductivos ) y problemas relacionados como la representación y la dualidad. Resultados bien conocidos, como el teorema de representación para álgebras booleanas y la dualidad de Stone, se engloban dentro de la lógica algebraica clásica ( Czelakowski 2003 ) .

Los trabajos más recientes en la lógica algebraica abstracta (LAA) se centran en el proceso de algebraización en sí mismo, como la clasificación de varias formas de algebraizabilidad utilizando el operador de Leibniz ( Czelakowski 2003 ) .

Se encuentra una relación binaria homogénea en el conjunto potencia de X × X para algún conjunto X , mientras que se encuentra una relación heterogénea en el conjunto potencia de X × Y , donde X ≠ Y. Si una relación dada se cumple para dos individuos es un bit de información, por lo que las relaciones se estudian con aritmética booleana. Los elementos del conjunto potencia están parcialmente ordenados por inclusión , y el retículo de estos conjuntos se convierte en un álgebra a través de la multiplicación relativa o composición de relaciones .

"Las operaciones básicas son la unión, la intersección y la complementación en teoría de conjuntos, la multiplicación relativa y la conversión." ^{[ 1 ]}

La conversión se refiere a la relación inversa, que siempre existe, contrariamente a lo que predice la teoría de funciones. Una relación dada puede representarse mediante una matriz lógica ; entonces, la relación inversa se representa mediante la matriz transpuesta . Una relación obtenida como composición de otras dos se representa mediante la matriz lógica obtenida por multiplicación de matrices utilizando aritmética booleana.

La lógica algebraica trata las estructuras algebraicas , a menudo retículos acotados , como modelos (interpretaciones) de ciertas lógicas , lo que convierte a la lógica en una rama de la teoría del orden .

En lógica algebraica:

• Las variables se cuantifican tácitamente de forma universal en algún universo de discurso . No hay variables cuantificadas existencialmente ni fórmulas abiertas ;
• Los términos se construyen a partir de variables utilizando operaciones primitivas y definidas . No hay conectores ;
• Las fórmulas , construidas a partir de términos de la forma habitual, pueden equipararse si son lógicamente equivalentes . Para expresar una tautología , se iguala una fórmula con un valor de verdad ;
• Las reglas de demostración son la sustitución de iguales por iguales y el reemplazo uniforme. El modus ponens sigue siendo válido, pero rara vez se emplea.

En la tabla siguiente, la columna izquierda contiene uno o más sistemas lógicos o matemáticos, y la estructura algebraica que los modela se muestra a la derecha, en la misma fila. Algunas de estas estructuras son álgebras booleanas o extensiones propias de las mismas. Las lógicas modales y otras lógicas no clásicas se modelan típicamente mediante lo que se denomina "álgebras booleanas con operadores".

Entre los formalismos algebraicos que van más allá de la lógica de primer orden, al menos en algunos aspectos, se incluyen:

• Lógica combinatoria , que posee el poder expresivo de la teoría de conjuntos ;
• El álgebra de relaciones , posiblemente la lógica algebraica paradigmática, puede expresar la aritmética de Peano y la mayoría de las teorías de conjuntos axiomáticas , incluida la ZFC canónica .

La lógica algebraica es, quizás, el enfoque más antiguo de la lógica formal, que posiblemente comenzó con una serie de memorandos que Leibniz escribió en la década de 1680, algunos de los cuales fueron publicados en el siglo XIX y traducidos al inglés por Clarence Lewis en 1918. ^{[ 10 ] : 291–305} Pero casi todo el trabajo conocido de Leibniz sobre lógica algebraica se publicó recién en 1903 después de que Louis Couturat lo descubriera en el legado de Leibniz . Parkinson (1966) y Loemker (1969) tradujeron selecciones del volumen de Couturat al inglés.

La lógica matemática moderna comenzó en 1847, con dos panfletos cuyos autores respectivos fueron George Boole ^{[ 11 ]} y Augustus De Morgan . ^{[ 12 ]} En 1870, Charles Sanders Peirce publicó el primero de varios trabajos sobre la lógica de los relativos . Alexander Macfarlane publicó sus Principios del álgebra de la lógica ^{[ 13 ]} en 1879, y en 1883, Christine Ladd , alumna de Peirce en la Universidad Johns Hopkins , publicó "Sobre el álgebra de la lógica". ^{[ 14 ]} La lógica se volvió más algebraica cuando las relaciones binarias se combinaron con la composición de relaciones . Para conjuntos A y B , una relación sobre A y B se representa como un miembro del conjunto potencia de A × B con propiedades descritas por el álgebra booleana . El "cálculo de relaciones" ^{[ 9 ]} es posiblemente la culminación del enfoque de Leibniz a la lógica. En la Hochschule Karlsruhe, Ernst Schröder describió el cálculo de relaciones . ^{[ 15 ]} En particular, formuló las reglas de Schröder , aunque De Morgan las había anticipado con su Teorema K.

En 1903, Bertrand Russell desarrolló el cálculo de relaciones y el logicismo como su versión de las matemáticas puras basadas en las operaciones del cálculo como nociones primitivas . ^{[ 16 ]} El "álgebra de lógica de Boole-Schröder" fue desarrollado en la Universidad de California, Berkeley, en un libro de texto de Clarence Lewis en 1918. ^{[ 10 ]} Trató la lógica de relaciones como derivada de las funciones proposicionales de dos o más variables.

Hugh MacColl , Gottlob Frege , Giuseppe Peano y A.N. Whitehead compartían el sueño de Leibniz de combinar la lógica simbólica , las matemáticas y la filosofía .

Algunos escritos de Leopold Löwenheim y Thoralf Skolem sobre lógica algebraica aparecieron después de la publicación de Principia Mathematica entre 1910 y 1913 , y Tarski reavivó el interés en las relaciones con su ensayo de 1941 "Sobre el cálculo de relaciones". ^{[ 9 ]}

Según Helena Rasiowa , «Entre 1920 y 1940 se llevaron a cabo, en particular en la escuela polaca de lógica, investigaciones sobre cálculos proposicionales no clásicos mediante lo que se denomina el método de la matriz lógica . Dado que las matrices lógicas son ciertas álgebras abstractas, esto condujo al uso de un método algebraico en lógica». ^{[ 17 ]}

Brady (2000) analiza las ricas conexiones históricas entre la lógica algebraica y la teoría de modelos . Los fundadores de la teoría de modelos, Ernst Schröder y Leopold Loewenheim, fueron lógicos de la tradición algebraica. Alfred Tarski , fundador de la teoría de modelos de conjuntos como una rama importante de la lógica matemática contemporánea, también:

• Lógica algebraica abstracta iniciada con álgebras de relaciones ^{[ 9 ]}
• Inventó el álgebra cilíndrica
• Co-descubierto el álgebra de Lindenbaum-Tarski .

En la práctica del cálculo de relaciones, Jacques Riguet empleó la lógica algebraica para desarrollar conceptos útiles: extendió el concepto de relación de equivalencia (sobre un conjunto) al caso heterogéneo con la noción de relación difuncional . Riguet también extendió el ordenamiento al contexto heterogéneo al observar que una matriz lógica escalonada tiene un complemento que también es escalonado, y que el teorema de N. M. Ferrers se deduce de la interpretación de la transpuesta de una escalera. Riguet generó relaciones rectangulares mediante el producto exterior de vectores lógicos; estas contribuyen a los rectángulos no ampliables del análisis formal de conceptos .

Leibniz no influyó en el desarrollo de la lógica algebraica porque sus escritos lógicos fueron poco estudiados antes de las traducciones de Parkinson y Loemker. Nuestra comprensión actual de Leibniz como lógico proviene principalmente del trabajo de Wolfgang Lenzen, resumido en Lenzen (2004) . Para ver cómo el trabajo actual en lógica y metafísica puede inspirarse en el pensamiento de Leibniz y arrojar luz sobre él, véase Zalta (2000) .

• Álgebra booleana
• Teorema de Codd
• Álgebra computacional
• Álgebra universal

• Brady, Geraldine (2000). De Peirce a Skolem: Un capítulo olvidado en la historia de la lógica . Estudios sobre la historia y la filosofía de las matemáticas. Ámsterdam, Países Bajos: North-Holland/Elsevier Science BV. ISBN 9780080532028.
• Czelakowski, Janusz (2003). "Reseña: Métodos algebraicos en lógica filosófica por J. Michael Dunn y Gary M. Hardegree". The Bulletin of Symbolic Logic . 9. Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press. ISSN 1079-8986 . JSTOR 3094793 .  
• Lenzen, Wolfgang, 2004, " La lógica de Leibniz " en Gabbay, D., y Woods, J., eds., Manual de historia de la lógica, vol. 3: El surgimiento de la lógica moderna de Leibniz a Frege . North-Holland: 1-84.
• Loemker, Leroy (1969) [Primera edición 1956], Leibniz: Artículos y cartas filosóficas (2ª  ed.), Reidel.
• Parkinson, GHR (1966). Leibniz: Artículos lógicos . Oxford University Press.
• Zalta, EN, 2000, " Una teoría (leibniziana) de los conceptos ", Philosophiegeschichte und logische Analyse / Análisis lógico e historia de la filosofía 3: 137-183.

• J. Michael Dunn; Gary M. Hardegree (2001). Métodos algebraicos en lógica filosófica . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853192-0.Buena introducción para lectores con conocimientos previos de lógica no clásica, pero sin mucha experiencia en teoría del orden o álgebra universal; el libro cubre estos prerrequisitos en profundidad. Sin embargo, este libro ha sido criticado por una presentación deficiente y, en ocasiones, incorrecta de los resultados de AAL. Reseña de Janusz Czelakowski.
• Hajnal Andréka , István Németi e Ildikó Sain (2001). "Lógica algebraica". En Dov M. Gabbay, Franz Guenthner (ed.). Manual de lógica filosófica, vol 2 (2ª  ed.). Saltador. ISBN 978-0-7923-7126-7.Borrador .
• Ramon Jansana (2011), " Relaciones de consecuencia proposicionales y lógica algebraica ". Enciclopedia de Filosofía de Stanford. Trata principalmente sobre lógica algebraica abstracta.
• Stanley Burris (2015), " La tradición del álgebra lógica ". Enciclopedia de filosofía de Stanford.
• Willard Quine , 1976, "Lógica algebraica y functores de predicados", páginas 283 a 307 en The Ways of Paradox , Harvard University Press .

Perspectiva histórica

• Ivor Grattan-Guinness , 2000. La búsqueda de las raíces matemáticas . Princeton University Press.
• Irving Anellis y N. Houser (1991) «Raíces del siglo XIX de la lógica algebraica y el álgebra universal», páginas 1-36 en Lógica algebraica , Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai n.º 54, János Bolyai Mathematical Society y Elsevier ISBN 0444885439

• Lógica algebraica en PhilPapers