Transformación de Lorentz

Un observador "estacionario" en el marco F define eventos con coordenadas t , x , y , z . Otro marco F ′ se mueve con velocidad v relativa a F , y un observador en este marco "móvil" F ′ define eventos usando las coordenadas t ′ , x ′ , y ′ , z ′ .

Los ejes de coordenadas en cada marco son paralelos (los ejes x y x ′ son paralelos, los ejes y y y ′ son paralelos, y los ejes z y z ′ son paralelos), permanecen mutuamente perpendiculares, y el movimiento relativo es a lo largo de los ejes xx ′ coincidentes . En t = t ′ = 0 , los orígenes de ambos sistemas de coordenadas son los mismos, ( x , y , z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . En otras palabras, los tiempos y las posiciones coinciden en este evento. Si se cumplen todas estas condiciones, entonces se dice que los sistemas de coordenadas están en configuración estándar o sincronizados .

Si un observador en F registra un evento t , x , y , z , entonces un observador en F ′ registra el mismo evento con coordenadas ^{[ 15 ]}

donde v es la velocidad relativa entre sistemas de referencia en la dirección x , c es la velocidad de la luz y $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$( gamma minúscula ) es el factor de Lorentz .

Aquí, v es el parámetro de la transformación, para un impulso dado es un número constante, pero puede tomar un rango continuo de valores. En la configuración utilizada aquí, la velocidad relativa positiva v > 0 es movimiento a lo largo de las direcciones positivas de los ejes xx ′ , la velocidad relativa cero v = 0 es ausencia de movimiento relativo, mientras que la velocidad relativa negativa v < 0 es movimiento relativo a lo largo de las direcciones negativas de los ejes xx ′ . La magnitud de la velocidad relativa v no puede ser igual o mayor que c , por lo que solo se permiten velocidades sublumínicas − c < v < c . El rango correspondiente de γ es 1 ≤ γ < ∞ .

Las transformaciones no están definidas si v se encuentra fuera de estos límites. A la velocidad de la luz ( v = c ), γ es infinito, y más rápido que la luz ( v > c ), γ es un número complejo , lo que hace que las transformaciones sean irreales. Las coordenadas espaciales y temporales son cantidades medibles y, numéricamente, deben ser números reales.

Como una transformación activa , un observador en F ′ nota que las coordenadas del evento se "potencian" en las direcciones negativas de los ejes xx ′ , debido al − v en las transformaciones. Esto tiene el efecto equivalente de potenciar el sistema de coordenadas F ′ en las direcciones positivas de los ejes xx ′ , mientras que el evento no cambia y simplemente se representa en otro sistema de coordenadas, una transformación pasiva .

Las relaciones inversas ( t , x , y , z en términos de t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) se pueden encontrar resolviendo algebraicamente el conjunto original de ecuaciones. Una forma más eficiente es usar principios físicos. Aquí F ′ es el marco "estacionario" mientras que F es el marco "móvil". Según el principio de relatividad, no hay un marco de referencia privilegiado, por lo que las transformaciones de F ′ a F deben tomar exactamente la misma forma que las transformaciones de F a F ′ . La única diferencia es que F se mueve con velocidad −v relativa a F ′ (es decir, la velocidad relativa tiene la misma magnitud pero es de dirección opuesta). Por lo tanto, si un observador en F ′ registra un evento t ′ , x ′ , y ′ , z ′ , entonces un observador en F registra el mismo evento con coordenadas

y el valor de γ permanece inalterado. Este "truco" de simplemente invertir la dirección de la velocidad relativa mientras se conserva su magnitud, e intercambiar variables primadas y no primadas, siempre se aplica para encontrar la transformación inversa de cualquier impulso en cualquier dirección. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

A veces es más conveniente usar β = v / c ( beta minúscula ) en lugar de v , de modo que $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$$ lo que muestra mucho más claramente la simetría en la transformación. De los rangos permitidos de v y la definición de β , se deduce que −1 < β < 1. El uso de β y γ es estándar en toda la literatura. En el caso de tres dimensiones espaciales [ ct , x , y , z ] , donde el boost${\displaystyle \beta }$está en la dirección x , los estados propios de la transformación son [1, 1, 0, 0] con valor propio${\displaystyle {\sqrt {(1-\beta )/(1+\beta )}}}$, [1, −1, 0, 0] con valor propio${\displaystyle {\sqrt {(1+\beta )/(1-\beta )}}}$y [0, 0, 1, 0] y [0, 0, 0, 1] , los dos últimos con valor propio 1.

Cuando aumenta la velocidad${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$está en una dirección vectorial arbitraria con el vector de impulso${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}/c}$, entonces la transformación de un sistema de coordenadas espaciotemporales no primado a un sistema de coordenadas primado viene dada por ^{[ 18 ] [ 19 ].}

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x'{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{\text{x}}&-\gamma \beta _{\text{y}}&-\gamma \beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{x}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{y}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}\\-\gamma \beta _{\text{z}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{z}}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{z}}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct{\vphantom {-\gamma \beta _{\text{x}}}}\\x{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}^{2}}}\\y{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{x}}\beta _{\text{y}}}}\\z{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{\text{y}}\beta _{\text{z}}}}\end{bmatrix}},}$$

donde el factor de Lorentz es${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}^{2}}}}$. El determinante de la matriz de transformación es +1 y su traza es${\displaystyle 2(1+\gamma )}$. La inversa de la transformación se obtiene invirtiendo el signo de${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$. La cantidad${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$es invariante bajo la transformación: a saber${\displaystyle (c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2})=(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})}$.

Las transformaciones de Lorentz también se pueden derivar de una manera que se asemeja a rotaciones circulares en el espacio tridimensional utilizando las funciones hiperbólicas . Para el impulso en la dirección x , los resultados son:

donde ζ ( zeta minúscula ) es un parámetro llamado rapidez (se utilizan muchos otros símbolos, incluidos θ , ϕ , φ , η , ψ , ξ ). Dada la gran semejanza con las rotaciones de coordenadas espaciales en el espacio tridimensional en los planos cartesianos xy , yz y zx , un impulso de Lorentz puede pensarse como una rotación hiperbólica de coordenadas espaciotemporales en los planos cartesiano-temporales xt, yt y zt del espacio de Minkowski de 4 dimensiones . El parámetro ζ es el ángulo hiperbólico de rotación, análogo al ángulo ordinario para rotaciones circulares. Esta transformación puede ilustrarse con un diagrama de Minkowski .

Las funciones hiperbólicas surgen de la diferencia entre los cuadrados de las coordenadas temporales y espaciales en el intervalo espaciotemporal, en lugar de una suma. El significado geométrico de las funciones hiperbólicas se puede visualizar tomando x = 0 o ct = 0 en las transformaciones. Elevando al cuadrado y restando los resultados, se pueden obtener curvas hiperbólicas de valores de coordenadas constantes pero con ζ variable , lo que parametriza las curvas según la identidad. $${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$$

Por el contrario, los ejes ct y x pueden construirse para coordenadas variables pero ζ constante . La definición $${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$$ Esta fórmula proporciona el vínculo entre un valor constante de rapidez y la pendiente del eje ct en el espacio-tiempo. Una consecuencia de estas dos fórmulas hiperbólicas es una identidad que coincide con el factor de Lorentz. $${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$$

Comparando las transformaciones de Lorentz en términos de velocidad y rapidez relativas, o utilizando las fórmulas anteriores, las conexiones entre β , γ y ζ son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$$

Tomando la tangente hiperbólica inversa se obtiene la rapidez$${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$$

Dado que −1 < β < 1 , se deduce que −∞ < ζ < ∞ . De la relación entre ζ y β , la rapidez positiva ζ > 0 es movimiento a lo largo de las direcciones positivas de los ejes xx ′ , la rapidez cero ζ = 0 es ausencia de movimiento relativo, mientras que la rapidez negativa ζ < 0 es movimiento relativo a lo largo de las direcciones negativas de los ejes xx ′ .

Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando cantidades primadas y no primadas para cambiar los sistemas de coordenadas y negando la rapidez ζ → − ζ ya que esto es equivalente a negar la velocidad relativa. Por lo tanto,

Las transformaciones inversas pueden visualizarse de manera similar considerando los casos en que x ′ = 0 y ct ′ = 0 .

Hasta ahora, las transformaciones de Lorentz se han aplicado a un solo evento . Si hay dos eventos, existe una separación espacial y un intervalo de tiempo entre ellos. De la linealidad de las transformaciones de Lorentz se deduce que se pueden elegir dos valores de coordenadas espaciales y temporales, aplicar las transformaciones de Lorentz a cada uno y luego restarlas para obtener las transformaciones de Lorentz de las diferencias. $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta xv\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$$ con relaciones inversas $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$$ donde Δ ( delta mayúscula ) indica una diferencia de cantidades; por ejemplo, Δ x = x ₂ − x ₁ para dos valores de coordenadas x , y así sucesivamente.

Estas transformaciones, que se basan en diferencias en lugar de puntos espaciales o instantes de tiempo, resultan útiles por varias razones:

• En cálculos y experimentos, lo que se mide o interesa son las longitudes entre dos puntos o los intervalos de tiempo (por ejemplo, la longitud de un vehículo en movimiento o la duración del tiempo que se tarda en viajar de un lugar a otro).
• Las transformaciones de velocidad se pueden derivar fácilmente haciendo que la diferencia sea infinitesimalmente pequeña y dividiendo las ecuaciones, y el proceso se repite para la transformación de la aceleración,
• Si los sistemas de coordenadas nunca coinciden (es decir, no están en configuración estándar) y si ambos observadores pueden ponerse de acuerdo en un evento t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ en F y t ′ ₀ , x ′ ₀ , y ′ ₀ , z ′ ₀ en F ′ , entonces pueden usar ese evento como origen, y las diferencias de coordenadas espaciotemporales son las diferencias entre sus coordenadas y este origen, por ejemplo, Δ x = x − x ₀ , Δ x ′ = x ′ − x ′ ₀ , etc.

Un requisito fundamental de las transformaciones de Lorentz es la invariancia de la velocidad de la luz, un hecho utilizado en su derivación y contenido en las propias transformaciones. Si en F la ecuación para un pulso de luz a lo largo de la dirección x es x = ct , entonces en F′ las transformaciones de Lorentz dan x ′ = ct ′ , y viceversa, para cualquier − c < v < c .

Para velocidades relativas mucho menores que la velocidad de la luz, las transformaciones de Lorentz se reducen a la transformación galileana : ^{[ 20 ] [ 21 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$$ de acuerdo con el principio de correspondencia . A veces se dice que la física no relativista es una física de "acción instantánea a distancia". ^{[ 22 ]}

Tres predicciones contraintuitivas, pero correctas, de las transformaciones son:

Relatividad de la simultaneidad

Supongamos que dos eventos ocurren simultáneamente a lo largo del eje x ( Δt = 0 ) en F , pero separados por un desplazamiento distinto de cero Δx . Entonces , en F′ , encontramos que${\displaystyle \Delta t'=-\gamma {v\,\Delta x}/{c^{2}}}$, por lo que los eventos ya no son simultáneos según un observador en movimiento.

dilatación del tiempo

Supongamos que hay un reloj en reposo en F. Si se mide un intervalo de tiempo en el mismo punto de ese sistema de referencia, de modo que Δx = 0, entonces las transformaciones dan este intervalo en F' mediante Δt ' = γΔt . Recíprocamente , supongamos que hay un reloj en reposo en F ' . Si se mide un intervalo en el mismo punto de ese sistema de referencia, de modo que Δx ' = 0 , entonces las transformaciones dan este intervalo en F mediante Δt = γΔt ' . En cualquier caso, cada observador mide que el intervalo de tiempo entre los tics de un reloj en movimiento es mayor por un factor γ que el intervalo de tiempo entre los tics de su propio reloj.

Contracción de longitud

Supongamos que hay una varilla en reposo en F alineada con el eje x , con longitud Δx . En F ' , la varilla se mueve con velocidad -v , por lo que su longitud debe medirse tomando dos mediciones simultáneas ( Δt ' = 0 ) en extremos opuestos. Bajo estas condiciones, la transformada inversa de Lorentz muestra que Δx = γΔx ' . En F , las dos mediciones ya no son simultáneas, pero esto no importa porque la varilla está en reposo en F. Así , cada observador mide que la distancia entre los extremos de una varilla en movimiento es menor por un factor de 1 / γ que la distancia entre los extremos de una varilla idéntica en reposo en su propio sistema de referencia. La contracción de la longitud afecta a cualquier magnitud geométrica relacionada con longitudes, por lo que desde la perspectiva de un observador en movimiento, las áreas y los volúmenes también parecerán contraerse en la dirección del movimiento.

El uso de vectores permite expresar posiciones y velocidades en direcciones arbitrarias de forma compacta. Un único impulso en cualquier dirección depende del vector de velocidad relativa completo v con una magnitud | v | = v que no puede ser igual ni superior a c , de modo que 0 ≤ v < c .

Solo cambian el tiempo y las coordenadas paralelas a la dirección del movimiento relativo, mientras que las coordenadas perpendiculares no cambian. Teniendo esto en cuenta, divida el vector de posición espacial r medido en F y r ′ medido en F ′ , cada uno en componentes perpendiculares ( ⊥ ) y paralelas ( || ) a v , $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$$ entonces las transformaciones son $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$$ donde · es el producto escalar . El factor de Lorentz γ conserva su definición para un impulso en cualquier dirección, ya que depende únicamente de la magnitud de la velocidad relativa. Algunos autores también utilizan la definición β = v / c con magnitud 0 ≤ β < 1 .

Introduciendo un vector unitario n = v / v = β / β en la dirección del movimiento relativo, la velocidad relativa es v = v n con magnitud v y dirección n , y la proyección y el rechazo del vector dan respectivamente $${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

La acumulación de los resultados da como resultado las transformaciones completas,

La proyección y el rechazo también se aplican a r ′ . Para las transformaciones inversas, intercambie r y r ′ para cambiar las coordenadas observadas y niegue la velocidad relativa v → − v (o simplemente el vector unitario n → − n ya que la magnitud v siempre es positiva) para obtener

El vector unitario tiene la ventaja de simplificar las ecuaciones para una sola transformación de Lorentz, permite reinstaurar v o β cuando sea conveniente, y la parametrización de rapidez se obtiene inmediatamente reemplazando β y βγ . No es conveniente para transformaciones de Lorentz múltiples.

La relación vectorial entre velocidad relativa y rapidez es ^{[ 23 ].}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$$ y el "vector de rapidez" se puede definir como $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$$ cada uno de los cuales sirve como una abreviatura útil en algunos contextos. La magnitud de ζ es el valor absoluto del escalar de rapidez confinado a 0 ≤ ζ < ∞ , lo que coincide con el rango 0 ≤ β < 1 .

Definiendo las velocidades de coordenadas y el factor de Lorentz mediante $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$$ Tomando las diferenciales en las coordenadas y el tiempo de las transformaciones vectoriales, y luego dividiendo las ecuaciones, se obtiene: $${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$$

Las velocidades u y u ′ son la velocidad de algún objeto masivo. También pueden ser para un tercer sistema de referencia inercial (por ejemplo, F′′ ), en cuyo caso deben ser constantes . Denotemos cualquiera de las entidades por X. Entonces X se mueve con velocidad u con respecto a F , o equivalentemente con velocidad u ′ con respecto a F′ , y a su vez F′ se mueve con velocidad v con respecto a F. Las transformaciones inversas se pueden obtener de manera similar, o como con las coordenadas de posición, intercambiar u y u ′ , y cambiar v por − v .

La transformación de la velocidad resulta útil en la aberración estelar , el experimento de Fizeau y el efecto Doppler relativista .

Las transformaciones de Lorentz de la aceleración se pueden obtener de manera similar tomando diferenciales en los vectores de velocidad y dividiendo estos por el diferencial de tiempo.

En general, dadas cuatro cantidades A y Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) y sus contrapartes potenciadas por Lorentz A′ y Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) , se tiene una relación de la forma $${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$$ implica que las cantidades se transforman bajo transformaciones de Lorentz de forma similar a la transformación de las coordenadas del espacio-tiempo; $${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$$

La descomposición de Z (y Z ′ ) en componentes perpendiculares y paralelas a v es exactamente la misma que para el vector de posición, al igual que el proceso de obtención de las transformaciones inversas (intercambiar ( A , Z ) y ( A ′, Z ′) para cambiar las cantidades observadas e invertir la dirección del movimiento relativo mediante la sustitución n ↦ − n ).

Las cantidades ( A , Z ) forman colectivamente un cuadrivector , donde A es el "componente temporal" y Z el "componente espacial". Ejemplos de A y Z son los siguientes:

Para un objeto dado (p. ej., partícula, fluido, campo, material), si A o Z corresponden a propiedades específicas del objeto, como su densidad de carga , densidad de masa , espín , etc., sus propiedades pueden fijarse en el sistema de referencia en reposo de ese objeto. Entonces, las transformaciones de Lorentz dan las propiedades correspondientes en un sistema de referencia que se mueve con respecto al objeto con velocidad constante. Esto rompe algunas nociones dadas por sentadas en la física no relativista. Por ejemplo, la energía E de un objeto es un escalar en la mecánica no relativista, pero no en la mecánica relativista porque la energía cambia bajo las transformaciones de Lorentz; su valor es diferente para varios sistemas de referencia inerciales. En el sistema de referencia en reposo de un objeto, tiene una energía en reposo y momento cero. En un sistema de referencia impulsado, su energía es diferente y parece tener un momento. De manera similar, en la mecánica cuántica no relativista el espín de una partícula es un vector constante, pero en la mecánica cuántica relativista el espín s depende del movimiento relativo. En el sistema de referencia en reposo de la partícula, el pseudovector de espín puede fijarse como su espín no relativista ordinario con una cantidad temporal nula s _t , sin embargo, un observador potenciado percibirá un componente temporal distinto de cero y un espín modificado. ^{[ 24 ]}

No todas las cantidades son invariantes en la forma mostrada anteriormente; por ejemplo, el momento angular orbital L no tiene una magnitud temporal, ni el campo eléctrico E ni el campo magnético B. La definición de momento angular es L = r × p , y en un marco de referencia elevado el momento angular alterado es L ′ = r ′ × p ′ . La aplicación de esta definición mediante las transformaciones de coordenadas y momento conduce a la transformación del momento angular. Resulta que L se transforma con otra magnitud vectorial N = ( E / c ² ) r − t p relacionada con los cambios de Lorentz; véase Momento angular relativista para más detalles. Para el caso de los campos E y B , las transformaciones no se pueden obtener directamente mediante álgebra vectorial. La fuerza de Lorentz define estos campos, y en F es F = q ( E + v × B ) mientras que en F′ es F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Un método para derivar las transformaciones del campo electromagnético de manera eficiente, que también ilustra la unidad del campo electromagnético, utiliza álgebra tensorial, como se muestra a continuación .

Escribiendo las coordenadas en vectores columna y la métrica de Minkowski η como una matriz cuadrada. $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$ El intervalo espaciotemporal toma la forma (el superíndice T denota la transpuesta ) $${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$$ y es invariante bajo una transformación de Lorentz. $${\displaystyle X'=\Lambda X}$$ donde Λ es una matriz cuadrada que puede depender de parámetros.

El conjunto de todas las transformaciones de Lorentz${\displaystyle \Lambda }$en este artículo se denota${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. This set together with matrix multiplication forms a group, in this context known as the Lorentz group. Also, the above expression X·X is a quadratic form of signature (3,1) on spacetime, and the group of transformations which leaves this quadratic form invariant is the indefinite orthogonal group O(3,1), a Lie group. In other words, the Lorentz group is O(3,1). As presented in this article, any Lie groups mentioned are matrix Lie groups. In this context the operation of composition amounts to matrix multiplication.

From the invariance of the spacetime interval it follows $${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$$ and this matrix equation contains the general conditions on the Lorentz transformation to ensure invariance of the spacetime interval. Taking the determinant of the equation using the product rule^{[nb 4]} gives immediately $${\displaystyle \left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$$

Writing the Minkowski metric as a block matrix, and the Lorentz transformation in the most general form, $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$$ carrying out the block matrix multiplications obtains general conditions on Γ, a, b, M to ensure relativistic invariance. Not much information can be directly extracted from all the conditions, however one of the results $${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$ is useful; b^Tb ≥ 0 always so it follows that $${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$$

The negative inequality may be unexpected, because Γ multiplies the time coordinate and this has an effect on time symmetry. If the positive equality holds, then Γ is the Lorentz factor.

The determinant and inequality provide four ways to classify Lorentz Transformations (herein LTs for brevity). Any particular LT has only one determinant sign and only one inequality. There are four sets which include every possible pair given by the intersections ("n"-shaped symbol meaning "and") of these classifying sets.

donde "+" y "−" indican el signo del determinante, mientras que "↑" para ≥ y "↓" para ≤ denotan las desigualdades.

El grupo de Lorentz completo se divide en la unión (símbolo en forma de "u" que significa "o") de cuatro conjuntos disjuntos.$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$$

Un subgrupo de un grupo debe ser cerrado bajo la misma operación del grupo (en este caso, la multiplicación de matrices). En otras palabras, para dos transformaciones de Lorentz Λ y L de un subgrupo particular, las transformaciones de Lorentz compuestas Λ L y L Λ deben estar en el mismo subgrupo que Λ y L. Esto no siempre es así: la composición de dos transformaciones de Lorentz anticrónicas es ortócrona, y la composición de dos transformaciones de Lorentz impropias es propia. En otras palabras, mientras que los conjuntos${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$, y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$todos forman subgrupos, los conjuntos que contienen transformaciones impropias y/o anticrónicas sin suficientes transformaciones ortócronas propias (por ejemplo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$) no forman subgrupos.

Si se mide un 4-vector covariante de Lorentz en un marco inercial con resultado${\displaystyle X}$y la misma medición realizada en otro sistema de referencia inercial (con la misma orientación y origen) da como resultado${\displaystyle X'}$, los dos resultados estarán relacionados por $${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$$ donde la matriz de impulso${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$representa la transformación de Lorentz sin rotación entre los marcos sin primar y primados y${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad del sistema de referencia primado vista desde el sistema de referencia no primado. La matriz viene dada por ^{[ 25 ]}$${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{\text{x}}/c&-\gamma v_{\text{y}}/c&-\gamma v_{\text{z}}/c\\-\gamma v_{\text{x}}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{x}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{y}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{y}}v_{\text{z}}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{\text{z}}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{x}}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}v_{\text{y}}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{\text{z}}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{\text{T}}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{\text{T}}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},}$$

dónde${\textstyle v={\sqrt {v_{\text{x}}^{2}+v_{\text{y}}^{2}+v_{\text{z}}^{2}}}}$es la magnitud de la velocidad y${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$es el factor de Lorentz. Esta fórmula representa una transformación pasiva, ya que describe cómo cambian las coordenadas de la magnitud medida del sistema de referencia no primado al sistema de referencia primado. La transformación activa viene dada por${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$.

Si un marco F ′ se acelera con velocidad u con respecto al marco F , y otro marco F′′ se acelera con velocidad v con respecto a F ′ , las aceleraciones separadas son $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$$ y la composición de los dos boosts conecta las coordenadas en F ′′ y F , $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$$ Las transformaciones sucesivas actúan por la izquierda. Si u y v son colineales (paralelas o antiparalelas a lo largo de la misma línea de movimiento relativo), las matrices de boost conmutan : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . Esta transformación compuesta resulta ser otro boost, B ( w ) , donde w es colineal con u y v .

Si u y v no son colineales sino que apuntan en direcciones diferentes, la situación es considerablemente más complicada. Las transformaciones de Lorentz a lo largo de direcciones diferentes no conmutan: B ( v ) B ( u ) y B ( u ) B ( v ) no son iguales. Aunque cada una de estas composiciones no es una transformación simple, cada composición sigue siendo una transformación de Lorentz, ya que preserva el intervalo espaciotemporal. Resulta que la composición de dos transformaciones de Lorentz cualesquiera es equivalente a una transformación seguida o precedida por una rotación en las coordenadas espaciales, en la forma de R ( ρ ) B ( w ) o B ( w ) R ( ρ ) . Las w y w son velocidades compuestas , mientras que ρ y ρ son parámetros de rotación (por ejemplo, variables de ángulo de eje , ángulos de Euler , etc.). La rotación en forma de matriz de bloques es simplemente $${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$$ donde R ( ρ ) es una matriz de rotación de 3 × 3 , que rota cualquier vector tridimensional en un sentido (transformación activa), o equivalentemente el sistema de coordenadas en el sentido opuesto (transformación pasiva). No es sencillo conectar w y ρ (o w y ρ ) con los parámetros de boost originales u y v . En una composición de boosts, la matriz R se denomina rotación de Wigner y da lugar a la precesión de Thomas . Estos artículos proporcionan las fórmulas explícitas para las matrices de transformación compuestas, incluyendo expresiones para w , ρ , w , ρ .

En este artículo se utiliza la representación eje-ángulo para ρ . La rotación es alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario e , a través del ángulo θ (positivo en sentido antihorario, negativo en sentido horario, según la regla de la mano derecha ). El "vector eje-ángulo" $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$$ servirá como una abreviatura útil.

Las rotaciones espaciales por sí solas también son transformaciones de Lorentz, ya que dejan invariante el intervalo espaciotemporal. Al igual que las transformaciones de Lorentz, las rotaciones sucesivas alrededor de diferentes ejes no conmutan. A diferencia de las transformaciones de Lorentz, la composición de dos rotaciones cualesquiera es equivalente a una sola rotación. Otras similitudes y diferencias entre las matrices de Lorentz y de rotación incluyen:

• inversos : B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (movimiento relativo en la dirección opuesta), y R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (rotación en sentido opuesto alrededor del mismo eje)
• Transformación identidad para ausencia de movimiento/rotación relativa: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• Determinante unitario : det( B ) = det( R ) = +1 . Esta propiedad las convierte en transformaciones propias.
• Simetría de la matriz : B es simétrica (es igual a la transpuesta ), mientras que R no es simétrica pero es ortogonal (la transpuesta es igual a la inversa , R ^T = R ⁻¹ ).

La transformación de Lorentz propia más general Λ( v , θ ) incluye una transformación de Lorentz y una rotación juntas, y es una matriz no simétrica. Como casos especiales, Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) y Λ( v , 0 ) = B ( v ) . Una forma explícita de la transformación de Lorentz general es engorrosa de escribir y no se dará aquí. Sin embargo, a continuación se darán expresiones de forma cerrada para las matrices de transformación utilizando argumentos de teoría de grupos. Será más fácil usar la parametrización de rapidez para las transformaciones de Lorentz, en cuyo caso se escribe Λ( ζ , θ ) y B ( ζ ) .

Las transformaciones de Lorentz también incluyen la inversión de paridad.$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ lo cual niega todas las coordenadas espaciales solamente, y la inversión del tiempo$${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ lo cual niega únicamente la coordenada temporal, ya que estas transformaciones dejan invariante el intervalo espaciotemporal. Aquí I es la matriz identidad de 3 × 3. Ambas son simétricas, son sus propias inversas (véase Involución (matemáticas) ) y cada una tiene determinante −1. Esta última propiedad las convierte en transformaciones impropias.

Si Λ es una transformación de Lorentz ortócrona propia, entonces T Λ es anticrónica impropia, P Λ es ortócrona impropia y TP Λ = PT Λ es anticrónica propia.

No se han tenido en cuenta otras dos simetrías espaciotemporales. Para que el intervalo espaciotemporal sea invariante, se puede demostrar ^{[ 26 ]} que es necesario y suficiente que la transformación de coordenadas sea de la forma $${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$$ donde C es una columna constante que contiene traslaciones en el tiempo y el espacio. Si C ≠ 0, se trata de una transformación de Lorentz no homogénea o una transformación de Poincaré . ^{[ 27 ] [ 28 ]} Si C = 0, se trata de una transformación de Lorentz homogénea . Las transformaciones de Poincaré no se tratan más en este artículo.

Escribiendo la transformación matricial general de coordenadas como la ecuación matricial. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\end{bmatrix}}}$$ Permite la transformación de otras magnitudes físicas que no pueden expresarse como cuadrivectores; por ejemplo, tensores o espinores de cualquier orden en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. En la notación de índice tensorial correspondiente , la expresión matricial anterior es $${\displaystyle {x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$$

donde los índices inferior y superior etiquetan los componentes covariantes y contravariantes respectivamente, ^{[ 29 ]} y se aplica la convención de suma . Es una convención estándar usar índices griegos que toman el valor 0 para los componentes de tiempo, y 1, 2, 3 para los componentes de espacio, mientras que los índices latinos simplemente toman los valores 1, 2, 3, para los componentes espaciales (lo opuesto para Landau y Lifshitz). Nótese que el primer índice (leyendo de izquierda a derecha) corresponde en la notación matricial a un índice de fila . El segundo índice corresponde al índice de columna.

La matriz de transformación es universal para todos los cuadrivectores , no solo para las coordenadas espaciotemporales de 4 dimensiones. Si A es cualquier cuadrivector, entonces en notación de índice tensorial$${\displaystyle {A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$

Alternativamente, uno escribe$${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$en el que los índices primados denotan los índices de A en el marco primado. Para un objeto general de n componentes se puede escribir$${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$$donde Π es la representación apropiada del grupo de Lorentz , una matriz n × n para cada Λ . En este caso, los índices no deben considerarse como índices espaciotemporales (a veces llamados índices de Lorentz), y van de 1 a n . Por ejemplo, si X es un espinor de Dirac , entonces los índices se llaman índices de Dirac .

También existen cantidades vectoriales con índices covariantes. Generalmente se obtienen a partir de sus objetos correspondientes con índices contravariantes mediante la operación de disminuir un índice ; por ejemplo, $${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$$ donde η es el tensor métrico . (El artículo enlazado también proporciona más información sobre qué es realmente la operación de subir y bajar índices matemáticamente). La inversa de esta transformación viene dada por $${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$$ donde, cuando se ven como matrices, η ^μν es la inversa de η _μν . De hecho, η ^μν = η _μν . Esto se conoce como elevar un índice . Para transformar un vector covariante A _μ , primero se eleva su índice, luego se transforma según la misma regla que para los 4 -vectores contravariantes, y finalmente se baja el índice; $${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _ {\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$$

Pero$${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$

Es decir, es el componente ( μ , ν ) de la transformación inversa de Lorentz. Se define (como cuestión de notación), $${\displaystyle {\Lambda _ {\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$ y puede escribir en esta notación $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$$

Ahora, una sutileza. La suma implícita en el lado derecho de $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _ {\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$$ está recorriendo un índice de fila de la matriz que representa Λ ⁻¹ . Por lo tanto, en términos de matrices, esta transformación debe pensarse como la transpuesta inversa de Λ que actúa sobre el vector columna A _μ . Es decir, en notación matricial pura, $${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$$

Esto significa precisamente que los vectores covariantes (considerados como matrices columna) se transforman según la representación dual de la representación estándar del grupo de Lorentz. Esta noción se generaliza a representaciones generales, simplemente reemplazando Λ por Π(Λ) .

Si A y B son operadores lineales en espacios vectoriales U y V , entonces se puede definir un operador lineal A ⊗ B en el producto tensorial de U y V , denotado U ⊗ V según ^{[ 30 ].}

De esto se deduce inmediatamente que si u y v son cuadrivectores en V , entonces u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V se transforma como

El segundo paso utiliza la bilinealidad del producto tensorial y el último paso define un 2-tensor en forma de componentes, o mejor dicho, simplemente renombra el tensor u ⊗ v .

Estas observaciones se generalizan de manera obvia a más factores, y utilizando el hecho de que un tensor general en un espacio vectorial V puede escribirse como una suma de un coeficiente (¡componente!) por productos tensoriales de vectores base y covectores base, se llega a la ley de transformación para cualquier cantidad tensorial T. Está dada por ^{[ 31 ].}

donde Λ _{χ ′} ^ψ se define anteriormente. Esta forma generalmente se puede reducir a la forma para objetos generales de n componentes dada anteriormente con una sola matriz ( Π(Λ) ) que opera sobre vectores columna. Esta última forma a veces se prefiere; por ejemplo, para el tensor del campo electromagnético.

Transformación del campo electromagnético

Las transformaciones de Lorentz también pueden usarse para ilustrar que el campo magnético B y el campo eléctrico E son simplemente aspectos diferentes de la misma fuerza: la fuerza electromagnética , como consecuencia del movimiento relativo entre cargas eléctricas y observadores. ^{[ 32 ]} El hecho de que el campo electromagnético muestre efectos relativistas se hace evidente al realizar un sencillo experimento mental. ^{[ 33 ]}

• Un observador mide una carga en reposo en el sistema de referencia F. El observador detectará un campo eléctrico estático. Dado que la carga está estacionaria en este sistema de referencia, no hay corriente eléctrica, por lo que el observador no percibe ningún campo magnético.
• El otro observador en el sistema de referencia F ′ se mueve a velocidad v con respecto a F y la carga. Este observador percibe un campo eléctrico diferente porque la carga se mueve a velocidad −v en su sistema de referencia en reposo. El movimiento de la carga corresponde a una corriente eléctrica , por lo que el observador en el sistema de referencia F′ también percibe un campo magnético.

Los campos eléctricos y magnéticos se transforman de forma diferente al espacio y al tiempo, pero exactamente de la misma manera que el momento angular relativista y el vector de impulso.

El tensor de intensidad del campo electromagnético viene dado por $${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{\text{x}}&-{\frac {1}{c}}E_{\text{y}}&-{\frac {1}{c}}E_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{x}}&0&-B_{\text{z}}&B_{\text{y}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{y}}&B_{\text{z}}&0&-B_{\text{x}}\\{\frac {1}{c}}E_{\text{z}}&-B_{\text{y}}&B_{\text{x}}&0\end{bmatrix}}}$$ con signatura (+, −, −, −) . En relatividad, el factor c puede absorberse en los componentes tensoriales para eliminar su aparición explícita en las expresiones. ^{[ 34 ]} Consideremos una transformación de Lorentz en la dirección x . Está dada por ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{\text{x}}&E_{\text{y}}&E_{\text{z}}\\-E_{\text{x}}&0&B_{\text{z}}&-B_{\text{y}}\\-E_{\text{y}}&-B_{\text{z}}&0&B_{\text{x}}\\-E_{\text{z}}&B_{\text{y}}&-B_{\text{x}}&0\end{bmatrix}},}$$ donde la firma es (−, +, +, +) y el tensor de campo se muestra uno al lado del otro para facilitar la referencia en las manipulaciones que se muestran a continuación.

La ley general de transformación (T3) se convierte en: $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.}$$

Para el campo magnético se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{\text{x}}\\&=B_{\text{x}},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{\text{z}})+1\times \gamma B_{\text{y}}=\gamma B_{\text{y}}+\beta \gamma E_{\text{z}}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\text{y}}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{\text{y}}+\gamma \times 1\times B_{\text{z}}=\gamma B_{\text{z}}-\beta \gamma E_{\text{y}}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\text{z}}\end{aligned}}}$$

Para los resultados del campo eléctrico $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{\text{x}})+\gamma \gamma E_{\text{x}}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{\text{x}})+\gamma ^{2}E_{\text{x}}=E_{\text{x}}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{\text{x}},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{\text{y}}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{\text{z}}=\gamma E_{\text{y}}-\beta \gamma B_{\text{z}}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\text{y}}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{\text{z}}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{\text{y}})=\gamma E_{\text{z}}+\beta \gamma B_{\text{y}}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\text{z}}.\end{aligned}}}$$

Aquí se utiliza β = ( β , 0, 0) . Estos resultados se pueden resumir de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}}$$ y son independientes de la signatura métrica. Para unidades del SI, sustituya E → E / c . Misner, Thorne y Wheeler (1973) se refieren a esta última forma como la vista 3 + 1 en contraposición a la vista geométrica representada por la expresión tensorial. $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },}$$ y enfatizar la facilidad con la que se pueden obtener y comprender resultados difíciles de lograr utilizando la perspectiva 3 + 1. Solo los objetos que tienen propiedades de transformación de Lorentz bien definidas (de hecho, bajo cualquier transformación de coordenadas suave) son objetos geométricos. En la perspectiva geométrica, el campo electromagnético es un objeto geométrico de seis dimensiones en el espacio-tiempo , a diferencia de dos campos vectoriales tridimensionales interdependientes, pero separados, en el espacio y el tiempo . Los campos E (solo) y B (solo) no tienen propiedades de transformación de Lorentz bien definidas. Los fundamentos matemáticos son las ecuaciones (T1) y (T2) que inmediatamente producen (T3) . Los tensores primados y no primados se refieren al mismo evento en el espacio-tiempo . Por lo tanto, la ecuación completa con dependencia del espacio-tiempo es $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).}$$

La contracción de la longitud afecta la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J , y la dilatación del tiempo afecta la tasa de flujo de carga (corriente), por lo que las distribuciones de carga y corriente deben transformarse de manera relacionada bajo una transformación de Lorentz. Resulta que se transforman exactamente como los cuadrivectores espacio-temporales y de energía-momento. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ o, en la visión geométrica más simple, $${\displaystyle j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.}$$

La densidad de carga se transforma como la componente temporal de un cuadrivector. Es un escalar rotacional. La densidad de corriente es un 3-vector.

Las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo transformaciones de Lorentz.