Formulario modular simulado

En matemáticas , una forma modular simulada es la parte holomorfa de una forma de Maass débil armónica , y una función theta simulada es esencialmente una forma modular simulada de peso 1/2 . Los primeros ejemplos de funciones theta simuladas fueron descritos por Srinivasa Ramanujan en su última carta de 1920 a GH Hardy y en su cuaderno perdido . Sander Zwegers descubrió que al añadirles ciertas funciones no holomorfas se convierten en formas de Maass débiles armónicas. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Historia

Supongamos que existe una función en forma euleriana y que todos o un infinito de puntos son singularidades exponenciales, y supongamos también que en estos puntos la forma asintótica se cierra tan perfectamente como en los casos (A) y (B). La pregunta es: ¿Es la función tomada la suma de dos funciones, una de las cuales es una función θ ordinaria y la otra una función (trivial) que es O(1) en todos los puntos e ^{2 m $π$ i / n} ? ... Cuando no es así, llamo a la función una función θ simulada .

— Definición original de Ramanujan de una función theta simulada ^{[ 3 ]}

La carta de Ramanujan a Hardy del 12 de enero de 1920 ^{[ 3 ]} enumeraba 17 ejemplos de funciones que él denominaba funciones theta simuladas, y su cuaderno perdido ^{[ 4 ]} contenía varios ejemplos más. (Ramanujan utilizaba el término «función theta» para lo que hoy se denominaría forma modular). Ramanujan señaló que poseen una expansión asintótica en las cúspides, similar a la de las formas modulares de peso 1/2 , posiblemente con polos en las cúspides, pero que no pueden expresarse en términos de funciones theta «ordinarias» . Denominó a las funciones con propiedades similares «funciones theta simuladas». Zwegers descubrió posteriormente la conexión de la función theta simulada con las formas de Maass débiles.

Ramanujan asoció un orden a sus funciones theta simuladas, que no estaba claramente definido. Antes del trabajo de Zwegers, los órdenes de las funciones theta simuladas conocidas incluían:

3, 5, 6, 7, 8, 10.

La noción de orden de Ramanujan resultó corresponder más tarde al conductor del carácter Nebentypus del peso ⁠ 1 / 2 ⁠ formas armónicas de Maass que admiten las funciones theta simuladas de Ramanujan como sus proyecciones holomorfas.

En las décadas siguientes, las funciones theta simuladas de Ramanujan fueron estudiadas por Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh y otros, quienes demostraron las afirmaciones de Ramanujan sobre ellas y encontraron varios ejemplos e identidades más. (La mayoría de las identidades y ejemplos "nuevos" ya eran conocidos por Ramanujan y reaparecieron en su cuaderno perdido). En 1936, Watson descubrió que bajo la acción de elementos del grupo modular , las funciones theta simuladas de orden 3 se transforman casi como formas modulares de peso 1/2 (multiplicadas por potencias adecuadas de q ), excepto que hay "términos de error" en las ecuaciones funcionales, generalmente dados como integrales explícitas. [ ⁵^]^Sin embargo, durante muchos años no hubo una buena definición de una función theta simulada. Esto cambió en 2001 cuando Zwegers descubrió la relación con formas modulares no holomorfas, sumas de Lerch y series theta indefinidas. Zwegers demostró, utilizando el trabajo previo de Watson y Andrews, que las funciones theta simuladas de órdenes 3, 5 y 7 pueden escribirse como la suma de una forma de Maass débil de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ y una función que está acotada a lo largo de geodésicas que terminan en cúspides. ^[²^] La forma de Maass débil tiene un valor propio ⁠ 3 / 16 ⁠ bajo el laplaciano hiperbólico (el mismo valor que las formas modulares holomorfas de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ ); sin embargo, aumenta exponencialmente rápido cerca de las cúspides, por lo que no satisface la condición de crecimiento usual para las formas de onda de Maass . Zwegers demostró este resultado de tres maneras diferentes, relacionando las funciones theta simuladas con las funciones theta de Hecke de retículos indefinidos de dimensión 2, y con sumas de Appell-Lerch, y con formas de Jacobi meromorfas.

El resultado fundamental de Zwegers demuestra que las funciones theta simuladas son las "partes holomorfas" de formas modulares analíticas reales de peso 1/2 . Esto permite extender muchos resultados sobre formas modulares a las funciones theta simuladas. En particular, al igual que las formas modulares, las funciones theta simuladas se encuentran en ciertos espacios explícitos de dimensión finita, lo que reduce las largas y difíciles demostraciones de muchas identidades entre ellas a álgebra lineal rutinaria . Por primera vez, fue posible generar un número infinito de ejemplos de funciones theta simuladas; antes de este trabajo, solo se conocían unos 50 ejemplos (la mayoría de los cuales fueron descubiertos por primera vez por Ramanujan). Como aplicaciones adicionales de las ideas de Zwegers, Kathrin Bringmann y Ken Ono demostraron que ciertas q-series que surgen de la serie hipergeométrica básica de Rogers-Fine están relacionadas con partes holomorfas de formas débiles de Maass armónicas de peso ⁠ 3 / 2 ⁠ ^[⁶^] y demostraron que la serie asintótica para coeficientes de la función mock theta de orden 3 f ( q ) estudiada por George Andrews ^[⁷^] y Leila Dragonette ^[⁸^] converge a los coeficientes. ^[⁹^] En particular, las funciones mock theta tienen expansiones asintóticas en las cúspides del grupo modular , que actúan en el semiplano superior , que se asemejan a las de las formas modulares de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ con polos en las cúspides.

Definición

Una forma modular simulada se definirá como la "parte holomorfa" de una forma de Maass débil armónica .

Fijemos un peso k , generalmente con 2k entero . Fijemos un subgrupo Γ de SL2 ( Z ₎ (o del grupo metapléctico si k es semi-entero) y un carácter ρ de Γ. Una forma modular f para este carácter y este grupo Γ se transforma bajo elementos de Γ mediante

f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )

Una forma de Maass débil de peso k es una función continua en el semiplano superior que se transforma como una forma modular de peso k y es una autofunción del operador laplaciano de peso k , y se denomina armónica si su autovalor es ( ⁠ 1 − k / 2 ⁠ ) ⁠ k / 2 ⁠ . ^{[ 10 ]} Este es el autovalor de las formas modulares holomorfas de peso k , por lo que todos estos son ejemplos de formas de Maass débiles armónicas. (Una forma de Maass es una forma de Maass débil que disminuye rápidamente en las cúspides). Por lo tanto, una forma de Maass débil armónica es aniquilada por el operador diferencial.

{\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}

Si F es cualquier forma débil de Maass armónica, entonces la función g está dada por

g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}

es holomorfa y se transforma como una forma modular de peso k , aunque puede que no sea holomorfa en las cúspides. Si podemos encontrar cualquier otra función g ^* con la misma imagen g , entonces F − g ^* será holomorfa. Dicha función se obtiene invirtiendo el operador diferencial mediante integración; por ejemplo, podemos definir

g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}

dónde

\displaystyle \beta _ {k}(t)=\int _ {t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du

es esencialmente la función gamma incompleta . La integral converge siempre que g tenga un cero en la cúspide i ∞, y la función gamma incompleta puede extenderse por continuación analítica , por lo que esta fórmula puede usarse para definir la parte holomorfa g ^* de F incluso en el caso en que g sea meromorfa en i ∞, aunque esto requiere cierto cuidado si k es 1 o no entero o si n = 0. El inverso del operador diferencial está lejos de ser único ya que podemos agregar cualquier función homomórfica a g ^* sin afectar su imagen, y como resultado la función g ^* no necesita ser invariante bajo el grupo Γ. La función h = F − g ^* se llama la parte holomorfa de F.

Una forma modular simulada se define como la parte holomorfa h de alguna forma débil de Maass armónica F. Por lo tanto, existe un isomorfismo del espacio de formas modulares simuladas h a un subespacio de las formas débiles de Maass armónicas.

La forma modular simulada h es holomorfa pero no del todo modular, mientras que h + g ^* es modular pero no del todo holomorfa. El espacio de formas modulares simuladas de peso k contiene el espacio de formas casi modulares ("formas modulares que pueden ser meromorfas en las cúspides") de peso k como un subespacio. El cociente es (antilinealmente) isomorfo al espacio de formas modulares holomorfas de peso 2 − k . La forma modular g de peso (2 − k ) correspondiente a una forma modular simulada h se llama su sombra . Es bastante común que diferentes funciones theta simuladas tengan la misma sombra. Por ejemplo, las 10 funciones theta simuladas de orden 5 encontradas por Ramanujan caen en dos grupos de 5, donde todas las funciones en cada grupo tienen la misma sombra (salvo multiplicación por una constante).

Don Zagier ^{[ 11 ]} define una función theta simulada como una potencia racional de q = e ^{2 $π$ i 𝜏} por una forma modular simulada de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ cuya sombra es una serie theta de la forma

\sum _{n\in \mathbb {Z} }\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}

para un κ racional positivo y una función periódica impar ε . (Cualquier serie theta de este tipo es una forma modular de peso ⁠ 3 / 2 ⁠ ). La potencia racional de q es un accidente histórico.

La mayoría de las formas modulares simuladas y las formas de Maass débiles presentan un crecimiento rápido en las cúspides. Es común imponer la condición de que crezcan a una velocidad máxima exponencial en las cúspides (lo que, en el caso de las formas modulares simuladas, significa que son "meromorfas" en dichas cúspides). El espacio de formas modulares simuladas (de peso y grupo dados) cuyo crecimiento está acotado por alguna función exponencial fija en las cúspides es de dimensión finita.

Resumen de Appell-Lerch

Las sumas de Appell-Lerch, una generalización de las series de Lambert , fueron estudiadas por primera vez por Paul Émile Appell ^{[ 12 ]} y Mathias Lerch . ^{[ 13 ]} Watson estudió las funciones mock theta de orden 3 expresándolas en términos de sumas de Appell-Lerch, y Zwegers las usó para mostrar que las funciones mock theta son esencialmente formas modulares mock.

La serie Appell-Lerch es

\mu (u,v;\tau )={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau )}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}

dónde

\displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}

y

\theta (v,\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.

La serie modificada

{\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(uv;\tau )

dónde

R(z;\tau )=\sum _{\nu \in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}

y y = Im( 𝜏 ) y

E(z)=2\int _ {0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du

satisface las siguientes propiedades de transformación

{\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(uv)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}

En otras palabras, la serie de Appell-Lerch modificada se transforma como una forma modular con respecto a 𝜏 . Dado que las funciones theta simuladas pueden expresarse en términos de series de Appell-Lerch, esto significa que las funciones theta simuladas se transforman como formas modulares si se les agrega una serie no analítica.

Serie theta indefinida

George Andrews ^{[ 14 ]} demostró que varias de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan son iguales a cocientes ⁠ Θ(𝜏) / θ (𝜏) ⁠ donde θ ( 𝜏 ) es una forma modular de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ y Θ( 𝜏 ) es una función theta de una forma cuadrática binaria indefinida , y Dean Hickerson ^[¹⁵^] demostró resultados similares para funciones theta simuladas de séptimo orden. Zwegers mostró cómo completar las funciones theta indefinidas para producir formas modulares analíticas reales, y usó esto para dar otra prueba de la relación entre las funciones theta simuladas y las formas de onda débiles de Maass.

Formas meromorfas de Jacobi

George Andrews ^{[ 16 ]} observó que algunas de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan podían expresarse en términos de cocientes de las funciones theta de Jacobi. Zwegers utilizó esta idea para expresar las funciones theta simuladas como coeficientes de Fourier de formas meromorfas de Jacobi.

Aplicaciones

Ruth Lawrence y Don Zagier relacionaron las funciones theta simuladas con los invariantes cuánticos de las 3-variedades. ^{[ 17 ]}
AM Semikhatov, A. Taormina e I. Yu Tipunin relacionaron las funciones theta simuladas con las superálgebras de Lie de dimensión infinita y la teoría de campos conformes bidimensional . ^{[ 18 ]}
J. Troost demostró que las completaciones modulares de formas modulares simuladas surgen como géneros elípticos de teorías de campos conformes con espectro continuo. ^{[ 19 ]}
Las funciones theta simuladas aparecen en la teoría del resplandor lunar umbral .
Atish Dabholkar , Sameer Murthy y Don Zagier demostraron que las formas modulares simuladas están relacionadas con las degeneraciones de los agujeros negros cuánticos en las teorías de cuerdas N = 4. ^{[ 20 ]}

Ejemplos

Cualquier forma modular de peso k (posiblemente solo meromorfa en las cúspides) es una forma modular simulada de peso k con sombra 0.
La serie cuasimodular de Eisenstein

\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}

de peso 2 y nivel 1 es una forma modular simulada de peso 2, con sombra una constante. Esto significa que

\displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}

se transforma como una forma modular de peso 2 (donde 𝜏 = x + iy ).

La función estudiada por Don Zagier ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} con coeficientes de Fourier que son números de clase de Hurwitz H ( N ) de campos cuadráticos imaginarios es una forma modular simulada de peso ⁠ 3 / 2 ⁠ , nivel 4 y sombra Σ q ⁿ^² . La forma de onda de Maass débil correspondiente es

F(\tau )=\sum _ {N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _ {n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}

dónde

\beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du

y y = Im( 𝜏 ), q = e ^{2 $π$ i 𝜏} .

Las funciones theta simuladas son formas modulares simuladas de peso 1/2 cuya sombra es una función theta unaria, multiplicada por una potencia racional de q ( por razones históricas). Antes de que el trabajo de Zwegers condujera a un método general para construirlas, la mayoría de los ejemplos se daban como funciones hipergeométricas básicas , pero esto es en gran medida un accidente histórico, y la mayoría de las funciones theta simuladas no tienen una expresión simple conocida en términos de dichas funciones.

Las funciones theta simuladas "triviales" son las formas modulares (holomórficas) de peso 1/2 , que fueron clasificadas por Serre y Stark, ^[23] ^quienes^demostraron que todas ellas podían escribirse en términos de funciones theta de retículos unidimensionales.

Los siguientes ejemplos utilizan los símbolos q-Pochhammer ( a ; q ) _n que se definen como:

(a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).

Pedido 2

McIntosh estudió algunas funciones theta simuladas de orden 2. ^{[ 24 ]}

A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A006304 en el OEIS )

B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A153140 en el OEIS )

\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}

(secuencia A006306 en el OEIS )

Ramanujan descubrió la función μ en su cuaderno extraviado.

Estas están relacionadas con las funciones enumeradas en la sección sobre funciones de orden 8 por

U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)

V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})

V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})

Pedido 3

Ramanujan mencionó cuatro funciones theta simuladas de orden 3 en su carta a Hardy, y enumeró otras tres en su cuaderno perdido, que fueron redescubiertas por GN Watson . ^{[ 5 ]} Este último demostró las relaciones entre ellas enunciadas por Ramanujan y también halló sus transformaciones bajo elementos del grupo modular expresándolas como sumas de Appell-Lerch. Dragonette ^{[ 8 ]} describió la expansión asintótica de sus coeficientes. Zwegers ^{[ 1 ]} las relacionó con formas débiles de Maass armónicas. Véase también la monografía de Nathan Fine. ^{[ 25 ]}

Las siete funciones theta simuladas de orden 3 dadas por Ramanujan son:

f(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}^{2}}}={\frac {2}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{n}}}

, (secuencia A000025 en el OEIS ) .

\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}

(secuencia A053250 en el OEIS ) .

\psi (q)=\sum _{n>0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}={\frac {q}{\prod _{n>0}(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{6n(n+1)}}{1-q^{4n+1}}}

(secuencia A053251 en el OEIS ) .

\chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}

(secuencia A053252 en el OEIS ) .

\omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}

(secuencia A053253 en el OEIS ) .

\nu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{\frac {1-q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}}}}

(secuencia A053254 en el OEIS ) .

\rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{\prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}

(secuencia A053255 en el OEIS ) .

Las primeras cuatro forman un grupo con la misma sombra (salvo una constante), al igual que las tres últimas. Más precisamente, las funciones satisfacen las siguientes relaciones (halladas por Ramanujan y demostradas por Watson):

{\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}

Orden 5

Ramanujan escribió diez funciones theta simuladas de orden 5 en su carta de 1920 a Hardy, y afirmó algunas relaciones entre ellas que fueron probadas por Watson. ^{[ 26 ]} En su cuaderno perdido afirmó algunas identidades adicionales que relacionan estas funciones, equivalentes a las conjeturas de las funciones theta simuladas , ^{[ 27 ]} que fueron probadas por Hickerson. ^{[ 28 ]} Andrews ^{[ 14 ]} encontró representaciones de muchas de estas funciones como el cociente de una serie theta indefinida por formas modulares de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ .

f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}}}

(secuencia A053256 en el OEIS )

f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}+n}}{(-q;q)_{n}}}

(secuencia A053257 en el OEIS )

\phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}

(secuencia A053258 en el OEIS )

\phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}

(secuencia A053259 en el OEIS )

\psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}

(secuencia A053260 en el OEIS )

\psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}

(secuencia A053261 en el OEIS )

\chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n}}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)

(secuencia A053262 en el OEIS )

\chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)

(secuencia A053263 en el OEIS )

F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}

(secuencia A053264 en el OEIS )

F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A053265 en el OEIS )

\Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}

(secuencia A053266 en el OEIS )

\Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}

(secuencia A053267 en el OEIS )

Orden 6

Ramanujan ^{[ 4 ]} escribió siete funciones theta simuladas de orden 6 en su cuaderno perdido y afirmó 11 identidades entre ellas, que fueron probadas por Andrews y Hickerson. ^{[ 29 ]} Dos de las identidades de Ramanujan relacionan φ y ψ en varios argumentos, cuatro de ellas expresan φ y ψ en términos de series de Appell-Lerch, y las últimas cinco identidades expresan las cinco funciones theta simuladas de sexto orden restantes en términos de φ y ψ . Berndt y Chan ^{[ 30 ]} descubrieron dos funciones más de sexto orden.

Las funciones theta simuladas de orden 6 son:

\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}

(secuencia A053268 en el OEIS )

\psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}

(secuencia A053269 en el OEIS )

\rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A053270 en el OEIS )

\sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A053271 en el OEIS )

\lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}

(secuencia A053272 en el OEIS )

2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}

(secuencia A053273 en el OEIS )

\gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}

(secuencia A053274 en el OEIS )

\phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}

(secuencia A153251 en el OEIS )

\psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}

(secuencia A153252 en el OEIS )

Orden 7

Ramanujan dio tres funciones theta simuladas de orden 7 en su carta de 1920 a Hardy. Fueron estudiadas por Selberg, ^{[ 31 ]} quien encontró una expansión asintótica para sus coeficientes, y por Andrews. ^{[ 14 ]} Hickerson ^{[ 15 ]} encontró representaciones de muchas de estas funciones como cocientes de series theta indefinidas por formas modulares de peso ⁠ 1 / 2 ⁠ . Zwegers ^[¹^]^[²^] describió sus propiedades de transformación modular.

$\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}$ (secuencia A053275 en el OEIS )
$\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}$ (secuencia A053276 en el OEIS )
$\displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}$ (secuencia A053277 en el OEIS )

Estas tres funciones theta simuladas tienen sombras diferentes, por lo que, a diferencia del caso de las funciones de orden 3 y orden 5 de Ramanujan, no existen relaciones lineales entre ellas y las formas modulares ordinarias. Las formas de Maass débiles correspondientes son

{\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}

dónde

R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}

y

\beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du

es más o menos la función de error complementaria . Bajo el grupo metapléctico, estas tres funciones se transforman de acuerdo con una cierta representación tridimensional del grupo metapléctico de la siguiente manera:

{\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}

En otras palabras, son los componentes de una forma Maass débil armónica con valores vectoriales de nivel 1 de peso 1 / 2 .

Orden 8

Gordon y McIntosh ^{[ 32 ]} hallaron ocho funciones theta simuladas de orden 8. Encontraron cinco relaciones lineales que las involucran y expresaron cuatro de las funciones como sumas de Appell-Lerch, describiendo sus transformaciones bajo el grupo modular. Las dos funciones _V1y U0 fueron halladas previamente por Ramanujan ^[₃₃^] en su cuaderno extraviado ^.

S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}

(secuencia A153148 en el OEIS )

S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}

(secuencia A153149 en el OEIS )

T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A153155 en el OEIS )

T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}

(secuencia A153156 en el OEIS )

U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}

(secuencia A153172 en el OEIS )

U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}

(secuencia A153174 en el OEIS )

V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+1}}}

(secuencia A153176 en el OEIS )

V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+2}}}

(secuencia A153178 en el OEIS )

Pedido 10

Ramanujan ^{[ 34 ]} enumeró cuatro funciones theta simuladas de orden 10 en su cuaderno perdido y estableció algunas relaciones entre ellas, que fueron probadas por Choi. ^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}

$\phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (secuencia A053281 en el OEIS )
$\psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}$ (secuencia A053282 en el OEIS )
$\mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}$ (secuencia A053283 en el OEIS )
$\chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}$ (secuencia A053284 en el OEIS )

Notas

1 2 3 Zwegers 2001 .
1 2 3 Zwegers 2002 .
1 2 Ramanujan 2000 , Apéndice II.
1 2 Ramanujan 1988 .
1 2 Watson 1936 .
↑ Bringmann, Folsom y Ono 2009 .
↑ Andrews 1966 .
1 2 Dragonette 1952 .
↑ Bringmann y Ono 2006 .
↑ Bruinier y Funke 2004 .
↑ Zagier 2007 .
↑ Appell 1884 .
↑ Lerch 1892 .
1 2 3 Andrews 1986 .
1 2 Hickerson 1988b .
↑ Andrews 1988 .
↑ Lawrence y Zagier 1999 .
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↑ Dabholkar, Murthy y Zagier 2012 .
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↑ Serre y Stark 1977 .
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↑ Gordon y McIntosh 2000 .
^ Ramanujan 1988 , pág. 8, ecuación 1; pag. 29 ecuación 6.
↑ Ramanujan 1988 , pág. 9.
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↑ Choi 2000 .
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Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

Conferencia Internacional: Funciones theta simuladas y aplicaciones 2009
Artículos sobre funciones theta simuladas de George Andrews
Artículos sobre funciones theta simuladas de Kathrin Bringmann
Artículos sobre funciones theta simuladas de Ken Ono
Artículos sobre funciones theta simuladas de Sander Zwegers
Weisstein, Eric W. , "Función Theta simulada" , MathWorld

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