Anillo Cohen-Macaulay

En matemáticas , un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo conmutativo con algunas de las propiedades algebraico-geométricas de una variedad lisa , como la equidimensionalidad local . Bajo ciertas condiciones, un anillo local es de Cohen-Macaulay precisamente cuando es un módulo libre finitamente generado sobre un subanillo local regular . Los anillos de Cohen-Macaulay desempeñan un papel fundamental en el álgebra conmutativa : forman una clase muy amplia y, sin embargo, se comprenden bien en muchos aspectos.

Reciben su nombre en honor a Francis Sowerby Macaulay ( 1916 ) , quien demostró el teorema de no mezcla para anillos de polinomios, y a Irvin Cohen ( 1946 ) , quien demostró el teorema de no mezcla para anillos de series de potencias formales . Todos los anillos de Cohen-Macaulay poseen la propiedad de no mezcla.  

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones.

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completa ⊃ Anillos locales regulares

Para un anillo local noetheriano conmutativo R , un R -módulo finito (es decir, finitamente generado )${\displaystyle M\neq 0}$es un módulo de Cohen-Macaulay si${\displaystyle \mathrm {profundidad} (M)=\mathrm {dim} (M)}$(en general tenemos:${\displaystyle \mathrm {profundidad} (M)\leq \mathrm {dim} (M)}$(véase la fórmula de Auslander-Buchsbaum para la relación entre profundidad y dimensión de cierto tipo de módulos). Por otro lado,${\displaystyle R}$es un módulo en sí mismo, por lo que lo llamamos${\displaystyle R}$un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay como${\displaystyle R}$-módulo. Un módulo maximal de Cohen-Macaulay es un módulo de Cohen-Macaulay M tal que${\displaystyle \mathrm {tenue} (M)=\mathrm {tenue} (R)}$.

La definición anterior era para un anillo local noetheriano. Pero podemos ampliar la definición para un anillo noetheriano más general: Si${\displaystyle R}$es un anillo noetheriano conmutativo, entonces un R -módulo M se llama módulo de Cohen-Macaulay si${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$es un módulo de Cohen-Macaulay para todos los ideales maximales${\displaystyle \mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)}$. (Esta es una especie de definición circular a menos que definamos los módulos cero como módulos de Cohen-Macaulay. Por lo tanto, definimos los módulos cero como módulos de Cohen-Macaulay en esta definición). Ahora, para definir módulos de Cohen-Macaulay máximos para estos anillos, requerimos que${\displaystyle M_{\mathrm {m} }}$ser tal${\displaystyle R_{\mathrm {m} }}$-módulo para cada ideal máximo${\displaystyle \mathrm {m} }$de R . Como en el caso local, R es un anillo de Cohen-Macaulay si es un módulo de Cohen-Macaulay (como un${\displaystyle R}$-módulo en sí mismo). ^{[ 1 ]}

Los anillos noetherianos de los siguientes tipos son Cohen-Macaulay.

• Cualquier anillo local regular . Esto conduce a varios ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay, como los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$o un anillo polinomial${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$sobre un campo K , o un anillo de serie de potencias${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$En términos geométricos, todo esquema regular , por ejemplo una variedad diferenciable sobre un cuerpo, es un esquema de Cohen-Macaulay.
• Cualquier anillo de dimensión 0 (o, equivalentemente, cualquier anillo artiniano ).
• Cualquier anillo reducido unidimensional , por ejemplo cualquier dominio unidimensional .
• Cualquier anillo normal bidimensional .
• Cualquier anillo de Gorenstein . En particular, cualquier anillo de intersección completo .
• El anillo de invariantes${\displaystyle R^{G}}$cuando R es un álgebra de Cohen-Macaulay sobre un cuerpo de característica cero y G es un grupo finito (o, más generalmente, un grupo algebraico lineal cuya componente identidad es reductiva ). Este es el teorema de Hochster-Roberts .
• Cualquier anillo determinante. Es decir, sea R el cociente de un anillo local regular S por el ideal I generado por los menores r × r de alguna matriz p × q de elementos de S. Si la codimensión (o altura ) de I es igual a la codimensión "esperada" ( p − r + 1)( q − r + 1), R se llama anillo determinante . En ese caso, R es Cohen-Macaulay. ^{[ 2 ]} De manera similar, los anillos de coordenadas de variedades determinantes son Cohen-Macaulay.

Algunos ejemplos más:

1. El anillo K [ x ]/( x ²) tiene dimensión 0 y por lo tanto es Cohen-Macaulay, pero no es reducido y por lo tanto no es regular.
2. El subanillo K [ t ² , t ³ ] del anillo de polinomios K [ t ], o su localización o completación en t =0, es un dominio unidimensional que es de Gorenstein y, por lo tanto, de Cohen-Macaulay, pero no regular. Este anillo también puede describirse como el anillo de coordenadas de la curva cúbica cuspidal y ² = x ³ sobre K .
3. El subanillo K [ t ³ , t ⁴ , t ⁵ ] del anillo de polinomios K [ t ], o su localización o completación en t =0, es un dominio unidimensional que es Cohen-Macaulay pero no Gorenstein.

Las singularidades racionales sobre un cuerpo de característica cero son de Cohen-Macaulay. Las variedades tóricas sobre cualquier cuerpo son de Cohen-Macaulay. ^{[ 3 ]} El programa de modelo mínimo hace un uso destacado de variedades con singularidades klt (logaritmo terminal de Kawamata); en característica cero, estas son singularidades racionales y, por lo tanto, son de Cohen-Macaulay, ^{[ 4 ]} Un análogo exitoso de singularidades racionales en característica positiva es la noción de singularidades F-racionales ; nuevamente, tales singularidades son de Cohen-Macaulay. ^{[ 5 ]}

Sea X una variedad proyectiva de dimensión n ≥ 1 sobre un cuerpo, y sea L un fibrado lineal amplio sobre X. Entonces el anillo de sección de L

${\displaystyle R=\bigoplus _ {j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

es Cohen-Macaulay si y solo si el grupo de cohomología H ⁱ ( X , L ^j ) es cero para todo 1 ≤ i ≤ n −1 y todos los enteros j . ^{[ 6 ]} De ello se deduce, por ejemplo, que el cono afín Spec R sobre una variedad abeliana X es Cohen-Macaulay cuando X tiene dimensión 1, pero no cuando X tiene dimensión al menos 2 (porque H ¹ ( X , O ) no es cero). Véase también Anillo generalizado de Cohen-Macaulay .

Decimos que un esquema localmente noetheriano${\displaystyle X}$es Cohen-Macaulay si en cada punto${\displaystyle x\in X}$el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$es Cohen-Macaulay.

Existe una caracterización notable de los anillos de Cohen-Macaulay, a veces llamada planitud milagrosa o criterio de Hironaka . Sea R un anillo local que es finitamente generado como módulo sobre algún anillo local regular A contenido en R. Dicho subanillo existe para cualquier localización R en un ideal primo de un álgebra finitamente generada sobre un cuerpo, por el lema de normalización de Noether ; también existe cuando R es completo y contiene un cuerpo, o cuando R es un dominio completo. ^{[ 12 ]} Entonces R es de Cohen-Macaulay si y solo si es plano como A -módulo; también es equivalente decir que R es libre como A -módulo. ^{[ 13 ]}

Una reformulación geométrica es la siguiente. Sea X un esquema afín conexo de tipo finito sobre un cuerpo K (por ejemplo, una variedad afín ). Sea n la dimensión de X. Por normalización de Noether, existe un morfismo finito f de X al espacio afín A ⁿ sobre K. Entonces X es Cohen-Macaulay si y solo si todas las fibras de f tienen el mismo grado. ^{[ 14 ]} Es sorprendente que esta propiedad sea independiente de la elección de f .

Finalmente, existe una versión de Miracle Flatness para anillos graduados. Sea R un álgebra graduada conmutativa finitamente generada sobre un cuerpo K ,

${\displaystyle R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .}$

Siempre existe un subanillo polinomial graduado A ⊂ R (con generadores de distintos grados) tal que R es finitamente generado como A -módulo . Entonces R es Cohen-Macaulay si y solo si R es libre como A- módulo graduado. De nuevo, se deduce que esta libertad es independiente de la elección del subanillo polinomial A.

• Un anillo local noetheriano es Cohen-Macaulay si y solo si su completación es Cohen-Macaulay. ^{[ 15 ]}
• Si R es un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el anillo de polinomios R [ x ] y el anillo de series de potencias R [[ x ]] son ​​anillos de Cohen-Macaulay. ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• Para un divisor no nulo u en el ideal maximal de un anillo local noetheriano R , R es Cohen-Macaulay si y solo si R /( u ) es Cohen-Macaulay. ^{[ 18 ]}
• El cociente de un anillo de Cohen-Macaulay por cualquier ideal es universalmente catenario . ^{[ 19 ]}
• Si R es un cociente de un anillo de Cohen-Macaulay, entonces el lugar { p ∈ Spec R | R _p es Cohen-Macaulay } es un subconjunto abierto de Spec R . ^{[ 20 ]}
• Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de codimensión de incrustación c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). En términos geométricos, esto se cumple para un anillo local de un subesquema de codimensión c en un esquema regular. Para c =1, R es Cohen–Macaulay si y solo si es un anillo de hipersuperficie . También hay un teorema de estructura para anillos Cohen–Macaulay de codimensión 2, el teorema de Hilbert–Burch : todos son anillos determinantes, definidos por los r × r menores de una matriz ( r +1) × r para algún r .
• Para un anillo local noetheriano ( R , m ), lo siguiente es equivalente: ^{[ 21 ]}
  1. R es Cohen-Macaulay.
  2. Para cada ideal de parámetros Q (un ideal generado por un sistema de parámetros ),

     ${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$ := la multiplicidad de Hilbert- Samuel de Q.

  3. Para algún parámetro ideal Q ,${\displaystyle \operatorname {length} (R/Q)=e(Q)}$.

(Véase también el anillo de Cohen-Macaulay generalizado , así como el anillo de Buchsbaum, para ver ejemplos de anillos que generalizan esta caracterización).

Un ideal I de un anillo noetheriano A se denomina de altura no mixta si la altura de I es igual a la altura de cada primo P asociado de A / I . (Esto es más fuerte que decir que A / I es equidimensional ; véase más abajo).

Se dice que el teorema de no mezcla se cumple para el anillo A si todo ideal I generado por un número de elementos igual a su altura es no mezclado. Un anillo noetheriano es de Cohen-Macaulay si y solo si el teorema de no mezcla se cumple para él. ^{[ 22 ]}

El teorema de la no mezcla se aplica en particular al ideal cero (un ideal generado por elementos cero) y, por lo tanto, dice que un anillo de Cohen-Macaulay es un anillo equidimensional ; de hecho, en el sentido fuerte: no hay componente incrustada y cada componente tiene la misma codimensión.

Véase también: anillo cuasi-no mezclado (un anillo en el que se cumple el teorema no mezclado para la clausura integral de un ideal ).

1. Si K es un cuerpo, entonces el anillo R = K [ x , y ]/( x ² , xy ) (el anillo de coordenadas de una línea con un punto incrustado) no es Cohen-Macaulay. Esto se deduce, por ejemplo, de la Planitud Milagrosa : R es finito sobre el anillo de polinomios A = K [ y ], con grado 1 sobre los puntos de la línea afín Spec A con y ≠ 0, pero con grado 2 sobre el punto y = 0 (porque el espacio vectorial K [ x ] /( x ² ) tiene dimensión 2).
2. Si K es un cuerpo, entonces el anillo K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de una recta y un plano) es reducido, pero no equidimensional, y por lo tanto no es de Cohen-Macaulay. Tomando el cociente por el divisor no nulo x − z se obtiene el ejemplo anterior.
3. Si K es un cuerpo, entonces el anillo R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (el anillo de coordenadas de la unión de dos planos que se encuentran en un punto) es reducido y equidimensional, pero no de Cohen-Macaulay. Para demostrarlo, se puede usar el teorema de conexidad de Hartshorne : si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión al menos 2, entonces Spec R menos su punto cerrado es conexo. ^{[ 23 ]}

El producto de Segre de dos anillos de Cohen-Macaulay no tiene por qué ser de Cohen-Macaulay. ^{[ 24 ]}

Una interpretación de la condición de Cohen-Macaulay se observa en la teoría de la dualidad coherente . Una variedad o esquema X es de Cohen-Macaulay si el "complejo dualizante", que a priori pertenece a la categoría derivada de haces sobre X , está representado por un único haz. La propiedad más fuerte de ser de Gorenstein implica que este haz es un fibrado lineal . En particular, todo esquema regular es de Gorenstein. Por lo tanto, los enunciados de teoremas de dualidad, como la dualidad de Serre o la dualidad local de Grothendieck para esquemas de Gorenstein o Cohen-Macaulay, conservan parte de la simplicidad de lo que ocurre con los esquemas regulares o las variedades lisas.

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• Ejemplos de dominios integrales de Cohen-Macaulay
• Ejemplos de anillos de Cohen-Macaulay

• teoría de anillos
• Anillos locales
• Anillos locales de Gorenstein
• Demostración de Wiles del último teorema de Fermat