Grupo de clases de mapeo de una superficie

Dejar${\displaystyle S}$ser una superficie conectada , cerrada y orientable y${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$el grupo de homeomorfismos que preservan la orientación, o positivos, de${\displaystyle S}$Este grupo tiene una topología natural , la topología compacta-abierta. Se puede definir fácilmente mediante una función de distancia: si se nos da una métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle S}$induciendo su topología, entonces la función definida por

${\displaystyle \delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)}$

es una distancia que induce la topología compacta-abierta en${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$. El componente conexo de la identidad para esta topología se denota${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$. Por definición es igual a los homeomorfismos de${\displaystyle S}$que son isotópicos a la identidad. Es un subgrupo normal del grupo de homeomorfismos positivos y el grupo de clases de mapeo de${\displaystyle S}$es el grupo

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)}$.

Este es un grupo contable .

Si modificamos la definición para incluir todos los homeomorfismos, obtenemos el grupo de clases de mapeo extendido.${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$, que contiene el grupo de clases de mapeo como un subgrupo del índice 2.

Esta definición también se puede hacer en la categoría diferenciable: si reemplazamos todas las instancias de "homeomorfismo" anteriores por " difeomorfismo " obtenemos el mismo grupo, es decir, la inclusión.${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$induce un isomorfismo entre los cocientes por sus respectivos componentes de identidad.

Supongamos que${\displaystyle S}$es la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Entonces cualquier homeomorfismo de${\displaystyle S}$es isotópico a la identidad o a la restricción a${\displaystyle S}$de la simetría en el plano${\displaystyle z=0}$. Este último no conserva la orientación y vemos que el grupo de clases de mapeo de la esfera es trivial, y su grupo de clases de mapeo extendido es${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, el grupo cíclico de orden 2.

El grupo de clases de mapeo del toro${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$se identifica naturalmente con el grupo modular${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$Es fácil construir un morfismo${\displaystyle \Phi$ :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})} : cada${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$induce un difeomorfismo de${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$a través de${\displaystyle x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}}$. La acción de los difeomorfismos sobre el primer grupo de homología de${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$da una inversa izquierda${\displaystyle \Pi }$al morfismo${\displaystyle \Phi }$(demostrando en particular que es inyectivo) y se puede comprobar que${\displaystyle \Pi }$es inyectivo, de modo que${\displaystyle \Pi ,\Phi }$son isomorfismos inversos entre${\displaystyle \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$y${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$. ^{[ 3 ]} De la misma manera, el grupo de clases de mapeo extendido de${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$es${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$.

En el caso donde${\displaystyle S}$es una superficie compacta con un límite no vacío${\displaystyle \partial S}$Entonces, la definición del grupo de clases de mapeo debe ser más precisa. El grupo${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$de homeomorfismos relativos al límite es el subgrupo de${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$que se restringen a la identidad en el límite y el subgrupo${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$es el componente conectado de la identidad. El grupo de clases de mapeo se define entonces como

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$.

Una superficie con perforaciones es una superficie compacta a la que se le han eliminado un número finito de puntos ("perforaciones"). El grupo de clases de mapeo de dicha superficie se define como se indicó anteriormente (tenga en cuenta que las clases de mapeo pueden permutar las perforaciones, pero no los componentes del contorno).

Cualquier anillo es homeomorfo al subconjunto${\displaystyle A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}}$de${\displaystyle \mathbb {C} }$Se puede definir un difeomorfismo.${\displaystyle \tau _{0}}$mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z}$

que es la identidad en ambos componentes de frontera${\displaystyle \{|z|=1\},\{|z|=2\}}$. El grupo de clases de mapeo de${\displaystyle A}$luego es generado por la clase de${\displaystyle \tau _{0}}$. Por eso,${\displaystyle \operatorname {Mod} (A)\cong \mathbb {Z} }$.

Braid groups can be defined as the mapping class groups of a disc with punctures. More precisely, the braid group on n strands is naturally isomorphic to the mapping class group of a disc with n punctures.^[4]

If ${\displaystyle S}$ is closed and ${\displaystyle f}$ is a homeomorphism of ${\displaystyle S}$ then we can define an automorphism ${\displaystyle f_{*}}$ of the fundamental group ${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$ as follows: fix a path ${\displaystyle \gamma }$ between ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle f(x_{0})}$ and for a loop ${\displaystyle \alpha }$ based at ${\displaystyle x_{0}}$ representing an element ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$ define ${\displaystyle f_{*}([\alpha ])}$ to be the element of the fundamental group associated to the loop ${\displaystyle {\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma }$. This automorphism depends on the choice of ${\displaystyle \gamma }$, but only up to conjugation. Thus we get a well-defined map from ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (S)}$ to the outer automorphism group${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))}$. This map is a morphism and its kernel is exactly the subgroup ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$. The Dehn–Nielsen–Baer theorem states that it is in addition surjective.^[5] In particular, it implies that:

The extended mapping class group ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$ is isomorphic to the outer automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S))}$.

The image of the mapping class group is an index 2 subgroup of the outer automorphism group, which can be characterised by its action on homology.

The conclusion of the theorem does not hold when ${\displaystyle S}$ has a non-empty boundary (except in a finite number of cases). In this case the fundamental group is a free group and the outer automorphism group Out(Fn) is strictly larger than the image of the mapping class group via the morphism defined in the previous paragraph. The image is exactly those outer automorphisms which preserve each conjugacy class in the fundamental group corresponding to a boundary component.

This is an exact sequence relating the mapping class group of surfaces with the same genus and boundary but a different number of punctures. It is a fundamental tool which allows to use recursive arguments in the study of mapping class groups. It was proven by Joan Birman in 1969.^[6] The exact statement is as follows.^[7]

Let ${\displaystyle S}$ be a compact surface and ${\displaystyle x\in S}$. There is an exact sequence

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$.

In the case where ${\displaystyle S}$ itself has punctures the mapping class group ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})}$ must be replaced by the finite-index subgroup of mapping classes fixing ${\displaystyle x}$.

If ${\displaystyle c}$ is an oriented simple closed curve on ${\displaystyle S}$ and one chooses a closed tubular neighbourhood ${\displaystyle A}$ then there is a homeomorphism ${\displaystyle f}$ from ${\displaystyle A}$ to the canonical annulus ${\displaystyle A_{0}}$ defined above, sending ${\displaystyle c}$ to a circle with the counterclockwise orientation. This is used to define a homeomorphism ${\displaystyle \tau _{c}}$ of ${\displaystyle S}$ as follows: on ${\displaystyle S\setminus A}$ it is the identity, and on ${\displaystyle A}$ it is equal to ${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$. The class of ${\displaystyle \tau _{c}}$ in the mapping class group ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ does not depend on the choice of ${\displaystyle f}$hecho arriba, y el elemento resultante se llama giro de Dehn sobre${\displaystyle c}$. Si${\displaystyle c}$Si esta clase de mapeo no es homotópica nula, no es trivial y, más generalmente, las torsiones de Dehn definidas por dos curvas no homotópicas son elementos distintos en el grupo de clases de mapeo.

En el grupo de clases de mapeo del toro identificado con${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$Las torsiones de Dehn corresponden a matrices unipotentes. Por ejemplo, la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

corresponde a la torsión de Dehn alrededor de una curva horizontal en el toro.

Existe una clasificación de las clases de mapeo en una superficie, originalmente debida a Nielsen y redescubierta por Thurston, que se puede enunciar de la siguiente manera. Un elemento${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$es o bien:

• de orden finito (es decir, existe${\displaystyle n>0}$de tal manera que${\displaystyle g^{n}}$es la identidad),
• reducible: existe un conjunto de curvas cerradas disjuntas en${\displaystyle S}$que se conserva por la acción de${\displaystyle g}$;
• o pseudo-Anosov.

El contenido principal del teorema es que una clase de mapeo que no es ni de orden finito ni reducible debe ser pseudo-Anosov, la cual puede definirse explícitamente mediante propiedades dinámicas. ^{[ 8 ]}

El estudio de los difeomorfismos pseudo-Anosov de una superficie es fundamental. Son los difeomorfismos más interesantes, ya que las clases de mapeo de orden finito son isotópicas a las isometrías y, por lo tanto, se comprenden bien, y el estudio de las clases reducibles se reduce esencialmente al estudio de las clases de mapeo en superficies más pequeñas que pueden ser de orden finito o pseudo-Anosov.

Las clases de mapeo pseudo-Anosov son "genéricas" dentro del grupo de clases de mapeo en varios aspectos. Por ejemplo, un paseo aleatorio en el grupo de clases de mapeo terminará en un elemento pseudo-Anosov con una probabilidad que tiende a 1 a medida que aumenta el número de pasos.

Dada una superficie perforada${\displaystyle S}$(generalmente sin límites) el espacio de Teichmüller${\displaystyle T(S)}$es el espacio de estructuras complejas marcadas (equivalentemente, conformes o hiperbólicas completas) en${\displaystyle S}$Estos están representados por pares.${\displaystyle (X,f)}$dónde${\displaystyle X}$es una superficie de Riemann y${\displaystyle f:S\to X}$un homeomorfismo, módulo una relación de equivalencia adecuada. Hay una acción obvia del grupo${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$en tales pares, lo que desciende a una acción de${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$en el espacio de Teichmüller.

Esta acción tiene muchas propiedades interesantes; por ejemplo es propiamente discontinua (aunque no libre ). Es compatible con diversas estructuras geométricas (métricas o complejas) con las que${\displaystyle T(S)}$puede ser dotado. En particular, la métrica de Teichmüller puede utilizarse para establecer algunas propiedades a gran escala del grupo de clases de mapeo, por ejemplo, que los planos incrustados cuasi-isométricamente máximos en${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$son de dimensión${\displaystyle 3g-3+k}$. ^{[ 9 ]}

La acción se extiende hasta la frontera de Thurston del espacio de Teichmüller, y la clasificación de Nielsen-Thurston de las clases de mapeo se puede observar en las propiedades dinámicas de la acción en el espacio de Teichmüller junto con su frontera de Thurston. Es decir: ^{[ 10 ]}

• Los elementos de orden finito fijan un punto dentro del espacio de Teichmüller (más concretamente, esto significa que cualquier clase de mapeo de orden finito en${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$puede realizarse como una isometría para alguna métrica hiperbólica en${\displaystyle S}$);
• Las clases de Pseudo-Anosov fijan los dos puntos en el límite correspondientes a su foliación estable e inestable y la acción es mínima (tiene una órbita densa) en el límite;
• Las clases reducibles no actúan de forma mínima en el límite.

El complejo de curvas de una superficie${\displaystyle S}$es un complejo cuyos vértices son clases isotópicas de curvas cerradas simples en${\displaystyle S}$. La acción de los grupos de clases de mapeo${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$La acción en los vértices se extiende a todo el complejo. La acción no es propiamente discontinua (el estabilizador de una curva cerrada simple es un grupo infinito).

Esta acción, junto con las propiedades combinatorias y geométricas del complejo de curvas, puede usarse para demostrar varias propiedades del grupo de clases de mapeo. ^{[ 11 ]} En particular, explica algunas de las propiedades hiperbólicas del grupo de clases de mapeo: si bien, como se mencionó en la sección anterior, el grupo de clases de mapeo no es un grupo hiperbólico, tiene algunas propiedades que recuerdan a estos.

El grupo de clases de mapeo se genera mediante el subconjunto de torsiones de Dehn alrededor de todas las curvas cerradas simples en la superficie. El teorema de Dehn-Lickorish establece que es suficiente seleccionar un número finito de ellas para generar el grupo de clases de mapeo. ^{[ 14 ]} Esto generaliza el hecho de que${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$es generado por las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$.

En particular, el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo finitamente generado .

El número más pequeño de giros de Dehn que pueden generar el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada de género${\displaystyle g\geq 2}$es${\displaystyle 2g+1}$Esto fue demostrado posteriormente por Humphries.

Es posible demostrar que todas las relaciones entre las torsiones de Dehn en un conjunto generador para el grupo de clases de mapeo pueden escribirse como combinaciones de un número finito de ellas. Esto significa que el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo finitamente presentado .

Una forma de demostrar este teorema es deducirlo de las propiedades de la acción del grupo de clases de mapeo sobre el complejo de pantalones: se observa que el estabilizador de un vértice está finitamente presentado y la acción es cofinita. Dado que el complejo es conexo y simplemente conexo, se deduce que el grupo de clases de mapeo debe ser finitamente generado. Existen otras formas de obtener presentaciones finitas, pero en la práctica, la única que produce relaciones explícitas para cada género es la descrita en este párrafo con un complejo ligeramente diferente en lugar del complejo de curvas, llamado complejo de sistema de cortes . ^{[ 15 ]}

Un ejemplo de relación entre los giros de Dehn que aparecen en esta presentación es la relación de la linterna .

Existen otros sistemas interesantes de generadores para el grupo de clases de mapeo además de las torsiones de Dehn. Por ejemplo,${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$puede generarse mediante dos elementos ^{[ 16 ]} o mediante involuciones. ^{[ 17 ]}

Si${\displaystyle S}$es una superficie de género${\displaystyle g}$con${\displaystyle b}$componentes de frontera y${\displaystyle k}$perfora entonces la dimensión cohomológica virtual de${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$es igual a${\displaystyle 4g-4+b+k}$.

La primera homología del grupo de clases de mapeo es finita ^{[ 18 ]} y de ello se deduce que el primer grupo de cohomología también es finito.

Como la homología singular es funtorial, el grupo de clases de mapeo${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$actúa mediante automorfismos en el primer grupo de homología${\displaystyle H_{1}(S)}$Este es un grupo abeliano libre de rango${\displaystyle 2g}$si${\displaystyle S}$está cerrado de género${\displaystyle g}$Esta acción da, por lo tanto, una representación lineal .${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )}$.

Este mapa es de hecho una sobreyección con imagen igual a los puntos enteros.${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$del grupo simpléctico . Esto proviene del hecho de que el número de intersección de curvas cerradas induce una forma simpléctica en la primera homología, que se conserva por la acción del grupo de clases de mapeo. La sobreyectividad se demuestra mostrando que las imágenes de torsiones de Dehn generan${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$. ^{[ 19 ]}

El núcleo del morfismo${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$se llama el grupo Torelli de${\displaystyle S}$Es un subgrupo finitamente generado y libre de torsión ^{[ 20 ]} y su estudio es de fundamental importancia por su relación con la estructura del propio grupo de clases de mapeo (ya que el grupo aritmético${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$es relativamente muy bien entendido, muchos datos sobre${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$se reduce a una afirmación sobre su subgrupo de Torelli) y aplicaciones a la topología tridimensional y la geometría algebraica.

Un ejemplo de aplicación del subgrupo de Torelli es el siguiente resultado:

El grupo de clases de mapeo es residualmente finito .

La demostración procede primero utilizando la finitud residual del grupo lineal.${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$y luego, para cualquier elemento no trivial del grupo de Torelli, construir por medios geométricos subgrupos de índice finito que no lo contengan. ^{[ 21 ]}

Una clase interesante de subgrupos de índice finito viene dada por los núcleos de los morfismos:

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

El núcleo de${\displaystyle \Phi _{n}}$se suele llamar un subgrupo de congruencia de${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$Es un grupo sin torsión para todos.${\displaystyle n\geq 3}$(Esto se deduce fácilmente de un resultado clásico de Minkowski sobre grupos lineales y del hecho de que el grupo de Torelli no tiene torsión).

El grupo de clases de mapeo tiene solo un número finito de clases de grupos finitos, como se deduce del hecho de que el subgrupo de índice finito${\displaystyle \ker(\Phi _{3})}$es libre de torsión, como se discutió en el párrafo anterior. Además, esto también implica que cualquier subgrupo finito de${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$es un subgrupo del grupo finito${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$.

También se puede obtener una cota para el orden de los subgrupos finitos mediante medios geométricos. La solución al problema de realización de Nielsen implica que cualquier grupo de este tipo se realiza como el grupo de isometrías de una superficie hiperbólica de género${\displaystyle g}$La cota de Hurwitz implica entonces que el orden máximo es igual a${\displaystyle 84(g-1)}$.

Los grupos de clases de mapeo satisfacen la alternativa de Tits : es decir, cualquier subgrupo de ellos contiene un subgrupo libre no abeliano o es virtualmente resoluble (de hecho, abeliano). ^{[ 22 ]}

Cualquier subgrupo que no sea reducible (es decir, que no conserve un conjunto de clases de isotopía de curvas cerradas simples disjuntas) debe contener un elemento pseudo-Anosov. ^{[ 23 ]}