Operación (matemáticas)

En matemáticas , una operación es una función que toma como entrada un número fijo de elementos de un conjunto y devuelve un elemento del mismo conjunto. Por ejemplo, la suma de números reales es una operación que acepta dos números reales y devuelve un número real. En general, los valores de entrada pueden llamarse " operandos " o "argumentos". El número de operandos es la aridad de la operación. La aridad suele ser una de las siguientes:${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$.

Las operaciones más estudiadas son las operaciones binarias (es decir, operaciones de aridad  2), como la suma y la multiplicación , y las operaciones unarias (es decir, operaciones de aridad  1), como el inverso aditivo y el inverso multiplicativo . Una operación de aridad  0, u operación nula , es una constante . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El producto mixto es un ejemplo de una operación de aridad  3, también llamada operación ternaria .

Las cuatro operaciones clásicas son la suma, la resta, la multiplicación y la división. Estas operaciones constituyen la base de la aritmética y son esenciales para realizar cálculos y resolver problemas en diversos campos. ^{[ 3 ]}

Generalmente, se considera que la aridad es finita. Sin embargo, a veces se consideran operaciones infinitarias , ^{[ 1 ]} en cuyo caso las operaciones "usuales" de aridad finita se denominan operaciones finitas .

Una operación parcial se define de forma similar a una operación, pero con una asignación parcial en lugar de una función.

Existen dos tipos comunes de operaciones: unarias y binarias . Las operaciones unarias involucran un solo valor, como la negación y las funciones trigonométricas . ^{[ 4 ]} Las operaciones binarias, por otro lado, toman dos valores e incluyen la suma , la resta , la multiplicación , la división y la potenciación . ^{[ 5 ]}

Las operaciones pueden involucrar objetos matemáticos distintos de los números. Los valores lógicos verdadero y falso se pueden combinar mediante operaciones lógicas , como AND , OR y NOT . Los vectores se pueden sumar y restar. ^{[ 6 ]} Las rotaciones se pueden combinar mediante la operación de composición de funciones , realizando primero la primera rotación y luego la segunda. Las operaciones con conjuntos incluyen las operaciones binarias de unión e intersección y la operación unaria de complementación . ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} Las operaciones con funciones incluyen la composición y la convolución . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Las operaciones pueden no estar definidas para cada valor posible de su dominio . Por ejemplo, en los números reales no se puede dividir por cero ^{[ 12 ]} ni calcular la raíz cuadrada de números negativos. Los valores para los que se define una operación forman un conjunto llamado dominio de definición o dominio activo . El conjunto que contiene los valores producidos se llama codominio , pero el conjunto de valores reales alcanzados por la operación es su codominio de definición, codominio activo, imagen o rango . ^{[ 13 ]} Por ejemplo, en los números reales, la operación de elevar al cuadrado solo produce números no negativos; el codominio es el conjunto de los números reales, pero el rango son los números no negativos.

Las operaciones pueden involucrar objetos diferentes: un vector puede multiplicarse por un escalar para formar otro vector (una operación conocida como multiplicación escalar ), ^{[ 14 ]} y la operación de producto interno en dos vectores produce una cantidad que es escalar. ^{[ 15 ] [ 16 ]} Una operación puede o no tener ciertas propiedades, por ejemplo puede ser asociativa , conmutativa , anticonmutativa , idempotente , etc.

Los valores combinados se denominan operandos , argumentos o entradas , y el valor producido se denomina valor , resultado o salida . Las operaciones pueden tener menos o más de dos entradas (incluido el caso de cero entradas e infinitas entradas ^{[ 1 ]} ).

Un operador es similar a una operación en que se refiere al símbolo o al proceso utilizado para denotar la operación. Por lo tanto, su perspectiva es diferente. Por ejemplo, se suele hablar de "la operación de suma" o "la operación de suma" cuando se hace hincapié en los operandos y el resultado, pero se pasa a "operador de suma" (rara vez "operador de suma") cuando se hace hincapié en el proceso, o desde un punto de vista más simbólico, la función +: X × X → X (donde X es un conjunto, como el conjunto de los números reales).

Una operación n -aria ω sobre un conjunto X es una función ω : X ⁿ → X . El conjunto X ⁿ se denomina dominio de la operación, el conjunto de salida se denomina codominio de la operación, y el entero fijo no negativo n (el número de operandos) se denomina aridad de la operación. Así, una operación unaria tiene aridad uno, y una operación binaria tiene aridad dos. Una operación de aridad cero, denominada operación nula , es simplemente un elemento del codominio Y . Una operación n -aria también puede considerarse como una relación ( n + 1) -aria que es total en sus n dominios de entrada y única en su dominio de salida.

Una operación parcial n -aria ω de X ⁿ a X es una aplicación parcial ω : X ⁿ → X . Una operación parcial n -aria también puede verse como una relación ( n + 1) -aria que es única en su dominio de salida.

Lo anterior describe lo que se suele llamar una operación finita , en referencia al número finito de operandos (el valor n ). Existen extensiones obvias donde la aridad se toma como un ordinal o cardinal infinito , ^{[ 1 ]} o incluso un conjunto arbitrario que indexa los operandos.

A menudo, el uso del término operación implica que el dominio de la función incluye una potencia del codominio (es decir, el producto cartesiano de una o más copias del codominio), ^{[ 17 ]} aunque esto no es universal, como en el caso del producto escalar , donde los vectores se multiplican y dan como resultado un escalar. Una operación n -aria ω : X ⁿ → X se llamaOperación interna . Unaoperaciónn- aria ω : X ⁱ × S × X ^{n − i − 1} → X donde0 ≤ i < n es llamadaoperación externapor elconjunto escalaroconjunto de operadoresS.En particular, para una operación binaria, ω : S × X → X es llamadaoperación externa izquierdaporS, y ω : X × S → X es llamadaoperación externa derechaporS.Un ejemplo de una operación interna esla suma de vectores, donde se suman dos vectores y el resultado es un vector. Un ejemplo de una operación externa esla multiplicación escalar, donde un vector se multiplica por un escalar y el resultado es un vector.

Una multifuncional o n -ariaLa multioperación ωes una aplicación de una potencia cartesiana de un conjunto al conjunto de subconjuntos de ese conjunto, formalmente${\displaystyle \omega :X^{n}\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$. ^{[ 18 ]}

Las operaciones parciales fueron propuestas por Bernard Neumann cuando observó ^{[ 19 ]} "relación de aridad parcial (n+1) R en un conjunto X " que satisface${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{n},b)\in R\ {\text{y}}\ (a_{1},a_{2},...a_{n},c)\in R\ {\text{implica}}\ b=c.}$Dicha relación produce una operación n-aria sobre X ⁿ escrita${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{n})=b.}$Neumann estaba transformando la representación estándar de una operación binaria en una relación ternaria y generalizándola a aridad n. Esta idea de expandir el ámbito de las operaciones en el álgebra universal fue retomada posteriormente por George Grätzer y Richard S. Pierce en sus libros. Las complicaciones derivadas de esta expansión reducen el álgebra universal al estudio de las relaciones matemáticas y las relaciones finitas . Al analizar las operaciones parciales, tanto Grätzer como Pierce recurren a sistemas relacionales . La base del dominio expandido es que una relación que corresponde a una operación binaria es una relación univalente .

• Hiperoperación
• Notación infija
• Operador (matemáticas)
• Orden de operaciones