Mersenne primo

En matemáticas , un primo de Mersenne es un número primo que es uno menos que una potencia de dos . Es decir, es un número primo de la forma M _n = 2 ⁿ − 1 para algún entero n . Reciben su nombre de Marin Mersenne , un fraile francés de la orden Minim , quien los estudió a principios del siglo XVII. Si n es un número compuesto, entonces 2 ⁿ − 1 también lo es . Por lo tanto, una definición equivalente de los primos de Mersenne es que son los números primos de la forma M _p = 2 ^p − 1 para algún primo p .

Los exponentes n que dan primos de Mersenne son 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,  ... (secuencia A000043 en el OEIS ) y los primos de Mersenne resultantes son 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 ,  ... (secuencia A000668 en el OEIS ) .

Los números de la forma M _n = 2 ⁿ − 1 sin el requisito de primalidad pueden llamarse números de Mersenne . Sin embargo, a veces, los números de Mersenne se definen con el requisito adicional de que n sea primo. El número de Mersenne compuesto más pequeño con exponente primo n es 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 .

Los números primos de Mersenne se estudiaron en la antigüedad debido a su estrecha relación con los números perfectos : el teorema de Euclides-Euler establece una correspondencia biunívoca entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne. Muchos de los primos más grandes conocidos son primos de Mersenne porque es más fácil comprobar su primalidad.

A partir de 2025Se conocen 52 primos de Mersenne. El mayor número primo conocido , 2¹³² ^{·¹¹⁸⁴¹} − 1 , es un primo de Mersenne. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Desde 1997, todos los primos de Mersenne recién encontrados han sido descubiertos por el Great Internet Mersenne Prime Search , un proyecto de computación distribuida . En diciembre de 2020, se alcanzó un hito importante en el proyecto después de que todos los exponentes menores de 100 millones fueron verificados al menos una vez. ^{[ 3 ]}

Un teorema básico sobre los números de Mersenne establece que si M _p es primo, entonces el exponente p también debe ser primo. Esto se deduce de la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}}$

Esto descarta la primalidad para los números de Mersenne con un exponente compuesto, como M ₄ = 2 ⁴ − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 ² − 1) × (1 + 2 ² ) .

Aunque los ejemplos anteriores podrían sugerir que M _p es primo para todos los primos p , este no es el caso, y el contraejemplo más pequeño es el número de Mersenne.

M ₁₁ = 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 .

Muchas cuestiones fundamentales sobre los números primos de Mersenne siguen sin resolverse. Ni siquiera se sabe si el conjunto de los números primos de Mersenne es finito o infinito.

La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff afirma que existen infinitos primos de Mersenne y predice su orden de crecimiento y frecuencia: Para cada número n , debería haber en promedio aproximadamente${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)\approx 5.92}$primos p con n dígitos decimales para los cuales M _p es primo. Aquí, γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Tampoco se sabe si infinitos números de Mersenne con exponentes primos son compuestos, aunque esto se desprendería de conjeturas ampliamente aceptadas sobre los números primos; por ejemplo, de la infinitud de primos de Sophie Germain congruentes con 3 ( mod 4 ). Para estos primos p , 2p + 1 ( que también es primo) dividirá a M _p , por ejemplo, 23 | M ₁₁ , 47 | M ₂₃ , 167 | M ₈₃ , 263 | M ₁₃₁ , 359 | M ₁₇₉ , 383 | M ₁₉₁ , 479 | M ₂₃₉ y 503 | M ₂₅₁ (secuencia A002515 en la OEIS ) . Para estos primos p , 2p + 1 es congruente con 7 mod 8, por lo que 2 es un residuo cuadrático mod 2p + 1 , y el orden multiplicativo de 2 mod 2p + 1 debe dividir${\estilo de texto {\frac {(2p+1)-1}{2}}=p}$. Dado que p es un primo, debe ser p o 1. Sin embargo, no puede ser 1 ya que Φ ₁ (2) = 1 y 1 no tiene factores primos , por lo que debe ser p . Por lo tanto, 2 p + 1 divide a Φ _p (2) = 2 ^p − 1 y 2 ^p − 1 = M _p no puede ser primo. Los primeros cuatro primos de Mersenne son M ₂ = 3 , M ₃ = 7 , M ₅ = 31 y M ₇ = 127 y debido a que el primer primo de Mersenne comienza en M ₂ , todos los primos de Mersenne son congruentes a 3 (mod 4). Aparte de M ₀ = 0 y M ₁ = 1 , todos los demás números de Mersenne también son congruentes a 3 (mod 4). En consecuencia, en la factorización prima de un número de Mersenne ( ≥ M ₂ ) debe haber al menos un factor primo congruente con 3 (mod 4). 

La evidencia disponible sugiere que un número de Mersenne seleccionado al azar tiene muchas más probabilidades de ser primo que un entero impar arbitrario seleccionado al azar de tamaño similar. ^{[ 4 ]} Sin embargo, los valores primos de M _p parecen volverse cada vez más escasos a medida que p aumenta. Por ejemplo, ocho de los primeros 11 primos p dan lugar a un primo de Mersenne M _p (los términos correctos en la lista original de Mersenne), mientras que M _p es primo solo para 43 de los primeros dos millones de números primos (hasta 32452843).

Dado que los números de Mersenne crecen muy rápidamente, la búsqueda de primos de Mersenne es una tarea difícil, aunque existe una prueba sencilla y eficiente para determinar si un número de Mersenne dado es primo: la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (LLT), que facilita mucho la comprobación de la primalidad de los números de Mersenne en comparación con la de la mayoría de los demás números del mismo tamaño. La búsqueda del primo más grande conocido tiene un gran número de seguidores . En consecuencia, se ha invertido una gran cantidad de potencia informática en la búsqueda de nuevos primos de Mersenne, gran parte de la cual se realiza actualmente mediante computación distribuida .

La aritmética módulo un número de Mersenne es particularmente eficiente en una computadora binaria , lo que la convierte en una opción popular cuando se desea un módulo primo, como en el generador de números aleatorios de Park-Miller . Para hallar un polinomio primitivo del orden de un número de Mersenne, se requiere conocer la factorización de dicho número, por lo que los primos de Mersenne permiten hallar polinomios primitivos de orden muy alto. Estos trinomios primitivos se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios con periodos muy largos, como el Mersenne Twister , el registro de desplazamiento generalizado y los generadores de Fibonacci retardado .

Los números primos de Mersenne M _p están estrechamente relacionados con los números perfectos . En el siglo IV a. C., Euclides demostró que si 2 ^p − 1 es primo, entonces 2 ^{p − 1} (2 ^p − 1 ) es un número perfecto. En el siglo XVIII, Leonhard Euler demostró que, a la inversa, todos los números perfectos pares tienen esta forma. ^{[ 5 ]} Esto se conoce como el teorema de Euclides-Euler . Se desconoce si existen números perfectos impares .

Los números primos de Mersenne toman su nombre del erudito francés del siglo XVII Marin Mersenne , quien compiló lo que se suponía que era una lista de números primos de Mersenne con exponentes de hasta 257. Los exponentes enumerados por Mersenne en 1644 fueron los siguientes:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Su lista reproducía los números primos conocidos de su época con exponentes de hasta 19. Su siguiente entrada, la 31, era correcta, pero la lista se volvió en gran medida incorrecta, ya que Mersenne incluyó erróneamente M ₆₇ y M ₂₅₇ (que son compuestos) y omitió M ₆₁ , M ₈₉ y M ₁₀₇ (que son primos). Mersenne dio pocas indicaciones sobre cómo elaboró ​​su lista. ^{[ 6 ]}

Édouard Lucas demostró en 1876 que M ₁₂₇ es primo, como afirmó Mersenne. Este fue el mayor número primo conocido durante 75 años hasta 1951, cuando Aimé Ferrier encontró un primo mayor, (2 ¹⁴⁸ + 1)/17 , usando una máquina de calcular de escritorio. ^{[ 7 ] : página 22} M ₆₁ fue determinado como primo en 1883 por Ivan Mikheevich Pervushin , aunque Mersenne afirmó que era compuesto, y por esta razón a veces se le llama el número de Pervushin. Este fue el segundo mayor número primo conocido, y lo siguió siendo hasta 1911. Lucas había mostrado otro error en la lista de Mersenne en 1876 al demostrar que M ₆₇ era compuesto sin encontrar un factor. No se encontró ningún factor hasta una famosa charla de Frank Nelson Cole en 1903. ^{[ 8 ]} Sin decir una palabra, fue a una pizarra y elevó 2 a la 67.ª potencia, luego restó uno, resultando en el número 147573952589676412927. En el otro lado de la pizarra, multiplicó 193707721 × 761838257287 y obtuvo el mismo número, luego regresó a su asiento (entre aplausos) sin decir nada. ^{[ 9 ]} Más tarde dijo que el resultado le había llevado "tres años de domingos" encontrarlo. ^{[ 10 ]} Una lista correcta de todos los primos de Mersenne en este rango numérico se completó y verificó rigurosamente solo unos tres siglos después de que Mersenne publicara su lista.

Existen algoritmos rápidos para encontrar primos de Mersenne, y a partir de octubre de 2024 Los siete números primos más grandes conocidos son los primos de Mersenne.

Los primeros cuatro números primos de Mersenne _{, M₂} = 3 , M₃ = 7 _, M₅ = 31 y _M₇ = 127, _eran conocidos en la antigüedad. El quinto, _{M₁₃ = 8191, fue descubierto anónimamente antes de 1461; los dos siguientes (M₁₇ y M₁₉} ) fueron _hallados por Pietro Cataldi en 1588. Casi dos siglos después, Leonhard Euler verificó que M₃₁ era primo en _1772. El siguiente (en orden histórico, no numérico) fue M₁₂₇ , hallado por Édouard Lucas en 1876, y luego _M₆₁ por Ivan Mikheevich Pervushin en 1883. Dos más ( M₈₉ y M₁₀₇ ₎ fueron hallados a principios del siglo XX por _R. E. Powers en 1911 y 1914, respectivamente _.

El método más eficiente conocido actualmente para probar la primalidad de los números de Mersenne es la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer . Específicamente, se puede demostrar que para un primo p > 2 , M _p = 2 ^p − 1 es primo si y solo si M _p divide a S _{p − 2} , donde S ₀ = 4 y S _k = ( S _{k − 1} ) ² − 2 para k > 0 .

Durante la era del cálculo manual, todos los exponentes no probados previamente hasta 257 inclusive fueron probados con la prueba de Lucas-Lehmer y se encontró que eran compuestos. Una contribución notable fue hecha por el profesor de física jubilado de Yale, Horace Scudder Uhler, quien realizó los cálculos para los exponentes 157, 167, 193, 199, 227 y 229. ^{[ 11 ]} Desafortunadamente para esos investigadores, el intervalo que estaban probando contiene la mayor brecha relativa conocida entre primos de Mersenne: el siguiente exponente primo de Mersenne, 521, resultaría ser más de cuatro veces mayor que el récord anterior de 127.

La búsqueda de primos de Mersenne se revolucionó con la introducción de la computadora digital electrónica. Alan Turing los buscó en la Manchester Mark 1 en 1949, ^{[ 12 ]} pero la primera identificación exitosa de un primo de Mersenne, M ₅₂₁ , por este medio se logró a las 10:00 p. m. del 30 de enero de 1952, utilizando la Western Automatic Computer (SWAC) de la Oficina Nacional de Estándares de EE. UU. en el Instituto de Análisis Numérico de la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), bajo la dirección de DH Lehmer , con un programa de búsqueda de computadora escrito y ejecutado por el Prof. RM Robinson . Fue el primer primo de Mersenne que se identificó en treinta y ocho años; el siguiente, M ₆₀₇ , fue encontrado por la computadora un poco menos de dos horas después. Tres más —M 1279 _, M 2203 _y M 2281— _fueron encontrados por el mismo programa en los meses siguientes. M ₄₄₂₃ fue el primer primo descubierto con más de 1000 dígitos, M ₄₄₄₉₇ fue el primero con más de 10000, y M _6972593 fue el primero con más de un millón. En general, el número de dígitos en la representación decimal de M _n es igual a ⌊ n log ₁₀ 2⌋ + 1 , donde ⌊ x ⌋ denota la función piso (o equivalentemente ⌊log ₁₀ M _n ⌋ + 1 ).  

En septiembre de 2008, los matemáticos de UCLA que participaron en la Gran Búsqueda de Números Primos de Mersenne en Internet (GIMPS) ganaron parte de un premio.Premio de 100 000 dólares de la Electronic Frontier Foundation por el descubrimiento de un número primo de Mersenne de casi 13 millones de dígitos. El premio, confirmado finalmente en octubre de 2009, se otorga al primer número primo conocido con al menos 10 millones de dígitos. El primo se encontró en un Dell OptiPlex 745 el 23 de agosto de 2008. Este fue el octavo número primo de Mersenne descubierto en la UCLA. ^{[ 13 ]}

El 12 de abril de 2009, un registro del servidor GIMPS informó que posiblemente se había encontrado un número primo de Mersenne número 47. El hallazgo se detectó por primera vez el 4 de junio de 2009 y se verificó una semana después. El número primo es 2 ^42643801 − 1. Si bien cronológicamente es el número primo de Mersenne número 47 en ser descubierto, es menor que el mayor conocido hasta ese momento, que fue el número 45 en ser descubierto.

El 25 de enero de 2013, Curtis Cooper , un matemático de la Universidad de Central Missouri , descubrió un 48.º primo de Mersenne, 2 ^57885161 − 1 (un número con17 425 170 dígitos), como resultado de una búsqueda ejecutada por una red de servidores GIMPS. ^{[ 14 ]}

El 19 de enero de 2016, Cooper publicó su descubrimiento de un 49.º primo de Mersenne, 2 ^74207281 − 1 (un número con22 338 618 dígitos), como resultado de una búsqueda realizada por una red de servidores GIMPS. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Este fue el cuarto primo de Mersenne descubierto por Cooper y su equipo en los últimos diez años.

El 2 de septiembre de 2016, la Gran Búsqueda de Números Primos de Mersenne en Internet terminó de verificar todas las pruebas por debajo de M _37156667 , confirmando así oficialmente su posición como el 45.º número primo de Mersenne. ^{[ 18 ]}

El 3 de enero de 2018, se anunció que Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años que vive en Germantown, Tennessee , había encontrado un 50.º primo de Mersenne, 2 ^77232917 − 1 (un número con23 249 425 dígitos), como resultado de una búsqueda realizada por una red de servidores GIMPS. ^{[ 19 ]} El descubrimiento fue realizado por una computadora en las oficinas de una iglesia en la misma ciudad. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

El 21 de diciembre de 2018, se anunció que The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) descubrió un nuevo número primo, 2 ^82589933 − 1 , que tiene24 862 048 dígitos. Una computadora proporcionada voluntariamente por Patrick Laroche de Ocala, Florida, hizo el hallazgo el 7 de diciembre de 2018. ^{[ 22 ]}

A finales de 2020, GIMPS comenzó a utilizar una nueva técnica para descartar posibles primos de Mersenne llamada prueba de primos probables (PRP), basada en un desarrollo de Robert Gerbicz en 2017 y una forma sencilla de verificar pruebas desarrollada por Krzysztof Pietrzak en 2018. Debido a la baja tasa de error y la facilidad de demostración, esto redujo casi a la mitad el tiempo de cálculo para descartar posibles primos en comparación con la prueba de Lucas-Lehmer (ya que dos usuarios ya no tendrían que realizar la misma prueba para confirmar el resultado del otro), aunque los exponentes que pasan la prueba PRP todavía requieren que uno confirme su primalidad. ^{[ 23 ]}

El 12 de octubre de 2024, un usuario llamado Luke Durant de San José, California, encontró el primo de Mersenne más grande conocido hasta el momento, 2 ^136279841 − 1 , que tiene41 024 320 dígitos. Esto marca el primer primo de Mersenne con un exponente superior a100 000 000 . Esto se anunció el 21 de octubre de 2024. ^{[ 24 ]}

Los números de Mersenne son 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63,  ... (secuencia A000225 en el OEIS ) .

1. Si a y p son números naturales tales que a ^p − 1 es primo, entonces a = 2 o p = 1 .
   • Prueba : a ≡ 1 ( mod a − 1) . Entonces a ^p ≡ 1 (mod a − 1) , por lo que a ^p − 1 ≡ 0 (mod a − 1) . Así , a − 1 | a ^p − 1. Sin embargo, a ^p − 1 es primo, por lo que a − 1 = a ^p − 1 o a − 1 = ±1 . En el primer caso, a = a ^p , por lo tanto a = 0, 1 (lo cual es una contradicción, ya que ni −1 ni 0 son primos) o p = 1. En el segundo caso, a = 2 o a = 0. Sin embargo, si a = 0 , 0 ^p − 1 = 0 − 1 = −1 , que no es primo. Por lo tanto, a = 2 .
2. Si 2p − 1 ^es primo, entonces p es primo.
   • Demostración : Supongamos que p es compuesto, por lo tanto se puede escribir p = ab con a y b > 1. Entonces 2 ^p − 1 = 2 ^ab − 1 = (2 ^a ) ^b − 1 = (2 ^a − 1) ( (2 ^a ) ^{b −1} + (2 ^a ) ^{b −2} + ... + 2 ^a + 1 ) por lo que 2 ^p − 1 es compuesto. Por contraposición, si 2 ^p − 1 es primo, entonces p es primo.
3. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide ^{a 2p} − 1 debe ser 1 más un múltiplo de 2p . Esto se cumple incluso cuando 2p ⁻ 1 es primo.
   • Por ejemplo, 2 ⁵ − 1 = 31 es primo, y 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Un ejemplo compuesto es 2 ¹¹ − 1 = 23 × 89 , donde 23 = 1 + (2 × 11) y 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
   • Demostración : Por el ^pequeño teorema de Fermat ^{, q es un factor de 2q −1 − 1. Como q es un factor de 2p − 1, para todo entero positivo c, q también es un factor de 2pc} − 1. Como p ^es primo y q no es ^un factor de 21 − 1 , p también es el entero positivo más pequeño ^x tal que q es un factor de 2x − ^1. Como resultado, para todo entero positivo x , q es un factor de 2x − 1 ^si y solo si p es un factor de x . Por lo tanto, como q es un factor de 2q ⁻¹ − 1 , p es un factor de q − 1, ^así que q ≡ 1 (mod p ) . Además, como q es un factor de 2p ⁻ 1 , que es impar, q es impar. Por lo tanto, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
   • Este hecho conduce a una demostración del teorema de Euclides , que afirma la infinitud de los números primos, distinta de la demostración escrita por Euclides: para cada primo impar p , todos los primos que dividen a ^2p − 1 son mayores que p ; por lo tanto, siempre hay primos mayores que cualquier primo en particular.
   • De este hecho se deduce que para cada primo p > 2 , existe al menos un primo de la forma 2 kp + 1 menor o igual que M _p , para algún entero k .
4. Si p es un primo impar, entonces todo primo q que divide a 2 ^p − 1 es congruente con ±1 (mod 8) .
   • Demostración : 2 ^{p +1} ≡ 2 (mod q ) , por lo tanto 2 ^{⁠ 1 / 2 ⁠ (p+1)} es una raíz cuadrada de 2 mod q . Por reciprocidad cuadrática , todo módulo primo en el que el número 2 tiene una raíz cuadrada es congruente con ±1 (mod 8) .
5. Un número primo de Mersenne no puede ser un número primo de Wieferich .
   • Demostración : Mostramos que si p = 2 ^m − 1 es un primo de Mersenne, entonces la congruencia 2 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ) no se cumple. Por el pequeño teorema de Fermat, m | p − 1 . Por lo tanto, se puede escribir p − 1 = mλ . Si se satisface la congruencia dada, entonces p ² | 2 ^mλ − 1 , por lo tanto 0 ≡ ⁠ 2 ^mλ − 1 / 2 ^m − 1 ⁠ = 1 + 2 ^m + 2 ^{2 m} + ... + 2 ^{( λ − 1) m} ≡ λ mod (2 ^m − 1) . Por lo tanto p | λ , y por lo tanto −1 = 0 (mod p) , lo cual es imposible.
6. Si m y n son números naturales, entonces m y n son coprimos si y solo si 2 ^m − 1 y 2 ⁿ − 1 son coprimos. En consecuencia, un número primo divide como máximo a un número de Mersenne con exponente primo. ^{[ 25 ]} Es decir, el conjunto de números de Mersenne perniciosos es coprimo por pares.
7. Si p y 2p + 1 son ambos primos (lo que significa que p ^es un primo de Sophie Germain ), y p es congruente con 3 (mod 4) , entonces 2p + 1 divide a 2p ⁻ 1. ^{[ 26} ]
   • Ejemplo : 11 y 23 son ambos primos, y 11 = 2 × 4 + 3 , por lo que 23 divide a 2 ¹¹ − 1 .
   • Demostración : Sea q = 2p + 1. Por ^el pequeño teorema de Fermat, ^2p ≡ 1 (mod q ) , por lo que o bien 2p ≡ 1 (mod q ) o bien 2p ≡ -1 (mod q ) . Suponiendo que esto último sea cierto, entonces 2p ^{+ 1 =} (2 ^{1 / 2 ( p + 1)} ) ² ≡ -2 (mod ^q ) , por lo ^que -2 sería un residuo cuadrático mod q ^. Sin embargo, como p es congruente con 3 (mod 4) , q es congruente con 7 (mod 8) y, por lo tanto , 2 es un residuo cuadrático mod q . Además, dado que q es congruente con 3 (mod 4) , −1 es un no residuo cuadrático módulo q , por lo que −2 es el producto de un residuo y un no residuo y, por lo tanto , es un no residuo, lo cual es una contradicción. Por consiguiente, la congruencia anterior debe ser verdadera y 2p + 1 divide a _Mp .
8. Todos los divisores compuestos de los números de Mersenne con exponente primo son pseudoprimos fuertes en base 2.
9. Con excepción del 1, un número de Mersenne no puede ser una potencia perfecta. Es decir, y de acuerdo con el teorema de Mihăilescu , la ecuación 2 ^m − 1 = n ^k no tiene soluciones donde m , n y k son enteros con m > 1 y k > 1 .
10. La secuencia numérica de Mersenne es un miembro de la familia de secuencias de Lucas . Es U _n (3, 2). Es decir, el número de Mersenne m _n = 3 m _{n −1} − 2 m _{n −2} con m ₀ = 0 y m ₁ = 1 .

A partir de 2024, los 52 primos de Mersenne conocidos son 2 ^p − 1 para el siguiente p :

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, 136279841. (secuencia A000043 en el OEIS )

Dado que son números primos, los primos de Mersenne solo son divisibles por 1 y por sí mismos. Sin embargo, no todos los números de Mersenne son primos de Mersenne. Los números de Mersenne son excelentes casos de prueba para el algoritmo de criba de campos numéricos especiales , por lo que a menudo el número más grande factorizado con este algoritmo ha sido un número de Mersenne. A junio de 2019 , 2 ¹¹⁹³ − 1 es el poseedor del récord, ^{[ 27 ]} habiendo sido factorizado con una variante del cribado de campos numéricos especiales que permite la factorización de varios números a la vez. Consulte los récords de factorización de enteros para obtener enlaces a más información. El cribado de campos numéricos especiales puede factorizar números con más de un factor grande. Si un número tiene solo un factor muy grande, otros algoritmos pueden factorizar números más grandes encontrando primero factores pequeños y luego ejecutando una prueba de primalidad en el cofactor. A partir de septiembre de 2022 , el mayor número completamente factorizado (con factores primos probables permitidos) es 2 ^12720787 − 1 = 1119429257 × 175573124547437977 × 8480999878421106991 × q , donde q es un3 829 294 -primo probable de dígitos. Fue descubierto por un participante de GIMPS con el apodo "Funky Waddle". ^{[ 28 ] [ 29 ]} A septiembre de 2022 El número de Mersenne M ₁₂₇₇ es el número de Mersenne compuesto más pequeño sin factores conocidos; no tiene factores primos menores que 2 ⁶⁸ , ^{[ 30 ]} y es muy improbable que tenga algún factor menor que 10 ⁶⁵ (~2 ²¹⁶ ). ^{[ 31 ]}

La tabla que aparece a continuación muestra las factorizaciones de los primeros 20 números de Mersenne compuestos donde el exponente p es un número primo (secuencia A244453 en la OEIS ) .

El número de factores para los primeros 500 números de Mersenne se puede encontrar en (secuencia A046800 en el OEIS ) .

En el problema matemático Torre de Hanoi , resolver de forma óptima un rompecabezas con una torre de n discos requiere M _n pasos. ^{[ 32 ]} El número de granos de arroz en todo el tablero de ajedrez en el problema del trigo y el tablero de ajedrez es M ₆₄ . ^{[ 33 ]}

El asteroide con el número de planeta menor 8191 se llama 8191 Mersenne en honor a Marin Mersenne, porque 8191 es un número primo de Mersenne. ^{[ 34 ]}

En geometría , un triángulo rectángulo entero que es primitivo y cuyo cateto par es una potencia de 2 ( ≥ 4 ) genera un triángulo rectángulo único cuyo radio inscrito es siempre un número de Mersenne. Por ejemplo, si el cateto par es 2n ^{+ 1,} entonces , debido a que es primitivo, restringe el cateto impar a ser 4n − ¹ , ^la hipotenusa ^a ser 4n + 1 y ^su radio inscrito a ser 2n ⁻ 1. ^{[ 35} ]         

También en geometría, el número de politopos que forman parte de la familia de politopos formada por una operación de truncamiento de un politopo regular base y su dual (excluyendo la alternancia) es igual a M _n, donde n es la dimensión del politopo base. Por ejemplo, un teseracto y su dual, el hexadecacorón, tienen M ₄ = 15 politopos diferentes en su familia formada por operaciones de truncamiento. ^{[ 36 ]}

Un número de Mersenne-Fermat se define como ⁠ 2 ^{p r} − 1 / 2 ^{p r − 1} − 1 ⁠ con p primo, r número natural, y se puede escribir como MF( p , r ) . Cuando r = 1 , es un número de Mersenne. Cuando p = 2 , es un número de Fermat . Los únicos primos de Mersenne-Fermat conocidos con r > 1 son

MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2) y MF(59, 2) . ^{[ 37 ]}

De hecho, MF( p , r ) = Φ _{p ^r} (2) , donde Φ es el polinomio ciclotómico .

Los primos de Mersenne generalizados más simples son números primos de la forma f (2 ⁿ ) , donde f ( x ) es un polinomio de bajo grado con coeficientes enteros pequeños . ^{[ 38 ]} Un ejemplo es 2 ⁶⁴ − 2 ³² + 1 , en este caso, n = 32 , y f ( x ) = x ² − x + 1 ; otro ejemplo es 2 ¹⁹² − 2 ⁶⁴ − 1 , en este caso, n = 64 , y f ( x ) = x ³ − x − 1 .

También es natural intentar generalizar los primos de la forma 2 ⁿ − 1 a primos de la forma b ⁿ − 1 (para b ≠ 2 y n > 1 ). Sin embargo (véase también la sección «  Teoremas sobre números de Mersenne » más arriba), b ⁿ − 1 siempre es divisible por b − 1 , por lo que, a menos que este último sea una unidad , el primero no es primo. Esto se puede remediar permitiendo que b sea un entero algebraico en lugar de un entero:

• "Número de Mersenne" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Página principal de GIMPS
• Informe de hitos de GIMPS : la página de estado ofrece diversas estadísticas sobre el progreso de la búsqueda, que normalmente se actualiza cada semana, incluyendo el progreso hacia la demostración del orden de los primos de Mersenne más grandes conocidos.
• GIMPS, factores conocidos de los números de Mersenne
• M _q = (8 x ) ² − (3 qy ) ² Propiedad de los números de Mersenne con exponente primo que son compuestos (PDF)
• M _q = x ² + d · y ² tesis de matemáticas (PS)
• Grime, James. "31 y los primos de Mersenne" . Numberphile . Brady Haran . Archivado del original el 31 de mayo de 2013. Recuperado el 6 de abril de 2013 .
• Bibliografía principal de Mersenne con hipervínculos a las publicaciones originales.
• Informe sobre los números primos de Mersenne : detección en detalle (en alemán)
• Wiki de GIMPS
• Página de Will Edgington sobre Mersenne : contiene factores para números pequeños de Mersenne.
• Factores conocidos de los números de Mersenne
• Dígitos decimales y nombres en inglés de los números primos de Mersenne.
• Curiosidades principales: 2305843009213693951
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Archivado el 5 de noviembre de 2014 en Wayback Machine
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt Archivado el 2 de mayo de 2013 en Wayback Machine
• Secuencia OEIS A250197 (Números n tales que la parte primitiva aurifeuilliana izquierda de 2^n+1 es prima) – Factorización de los números de Mersenne M _n ( n hasta 1280)
• Factorización de números de Mersenne completamente factorizados
• El proyecto Cunningham, factorización de b ⁿ ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
• http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Archivado el 2 de febrero de 2016 en Wayback Machine