Prueba por descendencia infinita

La prueba de que la raíz cuadrada de 2 ( √2 ) es irracional (es decir , no puede expresarse como fracción de dos números enteros) fue descubierta por los antiguos griegos , y es quizás el ejemplo más antiguo conocido de una prueba por descendencia infinita. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Se sabe poco con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero a menudo se menciona el nombre de Hipaso de Metaponto. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hipaso fue asesinado por divulgarlo. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} La raíz cuadrada de dos se denomina ocasionalmente "número de Pitágoras" o "constante de Pitágoras", por ejemplo, Conway y Guy (1996) . ^{[ 9 ]}

Los antiguos griegos , al no poseer álgebra , elaboraron una demostración geométrica por descenso infinito ( John Horton Conway presentó otra demostración geométrica por descenso infinito que podría ser más accesible ^{[ 10 ]} ). La siguiente es una demostración algebraica similar:

Supongamos que √2 fuera racional . Entonces se podría escribir como

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

para dos números naturales, p y q . Entonces, elevar al cuadrado daría

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

Entonces 2 debe dividir a p ² . Como 2 es un número primo , también debe dividir a p , por el lema de Euclides . Entonces p = 2 r , para algún entero r .

Pero entonces,

${\displaystyle 2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},}$

${\displaystyle q^{2}=2r^{2},}$

lo que demuestra que 2 también debe dividir a q . Por lo tanto, q = 2 s para algún entero s .

Esto da

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}}$.

Por lo tanto, si √2 pudiera escribirse como un número racional, entonces siempre podría escribirse como un número racional con partes más pequeñas, que a su vez podrían escribirse con partes aún más pequeñas, ad infinitum . Pero esto es imposible en el conjunto de los números naturales . Dado que √2 es un número real , que puede ser racional o irracional, la única opción ^que queda es que √2 sea irracional. [ ^{11 ]}

(Alternativamente, esto demuestra que si √2 fuera racional, no podría existir una representación "más pequeña" como fracción, ya que cualquier intento de encontrar una representación "más pequeña" p / q implicaría que existe una más pequeña, lo cual es una contradicción similar).

Para un entero positivo k , supongamos que √k no es un entero, sino un racional que puede expresarse como m / n para los números naturales m y n , y sea q el mayor entero menor que √k (es decir, q es el piso de √k ) . Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[6pt]&={\frac {m\left({\sqrt {k}}-q\right)}{n\left({\sqrt {k}}-q\right)}}\\[6pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[6pt]&={\frac {\left(n{\sqrt {k}}\right){\sqrt {k}}-mq}{n\left({\frac {m}{n}}\right)-nq}}\\[6pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}$

El numerador y el denominador se multiplicaron por la expresión ( √ k  − q )—que es positiva pero menor que 1—y luego se simplificaron independientemente. Así, los productos resultantes, digamos m′ y n′ , son enteros y menores que m y n respectivamente. Por lo tanto, independientemente de los números naturales m y n que se utilicen para expresar √ k , existen números naturales más pequeños m′ < m y n′ < n que tienen la misma razón. Pero el descenso infinito en los números naturales es imposible, por lo que esto refuta la suposición original de que √ k podría expresarse como una razón de números naturales. ^{[ 12 ]}     

La no solubilidad de${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$en enteros es suficiente para demostrar la no resolubilidad de${\displaystyle q^{4}+s^{4}=t^{4}}$en enteros, que es un caso especial del Último Teorema de Fermat , y las demostraciones históricas de este último procedieron de probar de forma más amplia el primero usando el descenso infinito. La siguiente demostración más reciente demuestra ambas imposibilidades al probar aún más ampliamente que un triángulo pitagórico no puede tener dos de sus lados que sean cuadrados o dos cuadrados, ya que no existe el triángulo más pequeño de este tipo: ^{[ 13 ]}

Supongamos que existe tal triángulo pitagórico. Entonces se puede reducir para obtener un triángulo pitagórico primitivo (es decir, sin factores comunes distintos de 1) con la misma propiedad. Los lados de los triángulos pitagóricos primitivos se pueden escribir como${\displaystyle x=2ab,}$${\displaystyle y=a^{2}-b^{2},}$${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$, con a y b primos relativos y con a+b impar, y por lo tanto y y z impares. La propiedad de que y y z sean impares implica que ni y ni z pueden ser dos cuadrados. Además, si x es un cuadrado o dos cuadrados, entonces a y b son cuadrados o dos cuadrados. Hay tres casos, dependiendo de qué dos lados se postulen como cuadrados o dos cuadrados:

• y y z : En este caso, y y z son ambos cuadrados. Pero entonces el triángulo rectángulo con catetos${\displaystyle {\sqrt {yz}}}$y${\displaystyle b^{2}}$y la hipotenusa${\displaystyle a^{2}}$también tendría lados enteros incluyendo un lado cuadrado (${\displaystyle b^{2}}$) y una hipotenusa cuadrada (${\displaystyle a^{2}}$), y tendría una hipotenusa más pequeña (${\displaystyle a^{2}}$en comparación con${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$).
• z y x : z es un cuadrado. El triángulo rectángulo entero con catetos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$y la hipotenusa${\displaystyle {\sqrt {z}}}$también tendría dos lados (${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$) cada uno de los cuales es un cuadrado o dos cuadrados, y una hipotenusa más pequeña (${\displaystyle {\sqrt {z}}}$en comparación con${\displaystyle z}$) .
• y y x : y es un cuadrado. El triángulo rectángulo entero con catetos${\displaystyle b}$y${\displaystyle {\sqrt {y}}}$y la hipotenusa${\displaystyle a}$tendría dos lados ( b y a ), cada uno de los cuales es un cuadrado o dos cuadrados, con una hipotenusa más pequeña que el triángulo original (${\displaystyle a}$en comparación con${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}$).

En cualquiera de estos casos, un triángulo pitagórico con dos lados, cada uno de los cuales es un cuadrado o el doble de un cuadrado, ha dado lugar a uno más pequeño, que a su vez daría lugar a uno más pequeño, etc.; puesto que tal secuencia no puede continuar infinitamente, la premisa original de que tal triángulo existe debe ser errónea.

Esto implica que las ecuaciones

${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4},}$

${\displaystyle r^{4}+s^{2}=t^{4},}$y

${\displaystyle r^{4}+s^{4}=t^{2}}$

No puede tener soluciones no triviales, ya que las soluciones no triviales darían triángulos pitagóricos con dos lados cuadrados.

Para otras demostraciones similares por descenso infinito para el caso n = 4 del Teorema de Fermat, véanse los artículos de Grant y Perella ^{[ 14 ]} y Barbara. ^{[ 15 ]}