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Esfera exótica

En un área de las matemáticas llamada topología diferencial , una esfera exótica es una variedad diferenciable M que es homeomorfa pero no difeomorfa a la n- esfera euclidiana e...

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En un área de las matemáticas llamada topología diferencial , una esfera exótica es una variedad diferenciable M que es homeomorfa pero no difeomorfa a la n- esfera euclidiana estándar . Es decir, M es una esfera desde el punto de vista de todas sus propiedades topológicas, pero posee una estructura lisa que no es la habitual (de ahí el nombre de "exótica").

Las primeras esferas exóticas fueron construidas por John Milnor ( 1956 ) en dimensión norte=7{\displaystyle n=7}comoS3{\displaystyle S^{3}}- paquetes másS4{\displaystyle S^{4}}. Demostró que hay al menos 7 estructuras diferenciables en la 7-esfera. En cualquier dimensión Milnor (1959) demostró que las clases de difeomorfismo de esferas exóticas orientadas forman los elementos no triviales de un monoide abeliano bajo suma conexa , que es un grupo abeliano finito si la dimensión no es 4. La clasificación de esferas exóticas de Michel Kervaire y Milnor ( 1963 ) mostró que las 7-esferas exóticas orientadas son los elementos no triviales de un grupo cíclico de orden 28 bajo la operación de suma conexa . Estos grupos se conocen como grupos de Kervaire-Milnor . 

De forma más general, en cualquier dimensión n ≠ 4 , existe un grupo abeliano finito cuyos elementos son las clases de equivalencia de estructuras suaves en S n , donde dos estructuras se consideran equivalentes si existe un difeomorfismo que preserva la orientación y que transforma una estructura en la otra. La operación de grupo se define por [ x ] + [ y ] = [ x + y ] , donde x e y son representantes arbitrarios de sus clases de equivalencia, y x + y denota la estructura suave en el S n suave que es la suma conexa de x e y . Es necesario demostrar que dicha definición no depende de las elecciones realizadas; de hecho, esto puede demostrarse.

Introducción

La esfera n unitaria,Snorte{\displaystyle S^{n}}, es el conjunto de todas las ( n +1)-tuplas(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte+1){\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}de números reales, de tal manera que la sumaincógnita12+incógnita22+⋯+incógnitanorte+12=1{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=1}. Por ejemplo,S1{\displaystyle S^{1}}es un círculo, mientras queS2{\displaystyle S^{2}}es la superficie de una bola ordinaria de radio uno en 3 dimensiones. Los topólogos consideran que un espacio X es una n -esfera si existe un homeomorfismo entre ellos, es decir, cada punto en X puede asignarse a exactamente un punto en la n -esfera unitaria mediante una biyección continua con inversa continua. Por ejemplo, un punto x en una n -esfera de radio r puede emparejarse homeomórficamente con un punto en la n -esfera unitaria multiplicando su distancia al origen por1/r{\displaystyle 1/r}. De manera similar, un n -cubo de cualquier radio es homeomorfo a una n- esfera.

En topología diferencial , dos variedades diferenciables se consideran suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo de una a la otra, que es un homeomorfismo entre ellas, con la condición adicional de que sea diferenciable —es decir, que tenga derivadas de todos los órdenes en todos sus puntos— y su homeomorfismo inverso también debe ser diferenciable. Para calcular derivadas, se necesitan sistemas de coordenadas locales definidos de forma consistente en X. Los matemáticos (incluido el propio Milnor) se sorprendieron en 1956 cuando Milnor demostró que se podían establecer sistemas de coordenadas locales consistentes en la 7-esfera de dos maneras diferentes que eran equivalentes en el sentido continuo, pero no en el diferenciable. Milnor y otros se propusieron descubrir cuántas esferas exóticas de este tipo podrían existir en cada dimensión y comprender cómo se relacionan entre sí. No es posible que existan estructuras exóticas en la 1-, 2-, 3-, 5-, 6-, 12-, 56- o 61-esfera. [ 1 ] Algunas esferas de dimensiones superiores tienen solo dos estructuras diferenciables posibles, otras tienen miles. Si existen esferas exóticas de 4 dimensiones, y de ser así, cuántas, es un problema sin resolver .

Clasificación

El monoide de estructuras suaves en n -esferas es la colección de n- variedades suaves orientadas que son homeomorfas a la n- esfera, llevadas salvo difeomorfismo que preserva la orientación. La operación monoide es la suma conexa . Siempre quenorte≠4{\displaystyle n\neq 4}, este monoide es un grupo y es isomorfo al grupoΘnorte{\displaystyle \Theta _{n}} de clases de h -cobordismo de n- esferas de homotopía orientada , que es finito y abeliano. En dimensión 4 casi no se sabe nada acerca del monoide de esferas suaves, más allá de los hechos de que es finito o infinitamente numerable y abeliano, aunque se sospecha que es infinito; véase la sección sobre torsiones de Gluck . Todas las n- esferas de homotopía son homeomorfas a la n -esfera por la conjetura generalizada de Poincaré , demostrada por Stephen Smale en dimensiones mayores que 4, Michael Freedman en dimensión 4 y Grigori Perelman en dimensión 3. En dimensión 3, Edwin E. Moise demostró que toda variedad topológica tiene una estructura suave esencialmente única (véase el teorema de Moise ), por lo que el monoide de estructuras suaves en la 3-esfera es trivial.

Variedades paralelizable

El grupoΘnorte{\displaystyle \Theta _{n}} tiene un subgrupo cíclico

bPAGnorte+1{\displaystyle bP_{n+1}}

representadas por n -esferas que delimitan variedades paralelizable . Las estructuras debPAGnorte+1{\displaystyle bP_{n+1}}y el cociente

Θnorte/bPAGnorte+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}

Se describen por separado en el artículo ( Kervaire y Milnor , 1963 ) , que influyó en el desarrollo de la teoría quirúrgica . De hecho, estos cálculos pueden formularse en un lenguaje moderno en términos de la secuencia quirúrgica exacta , como se indica aquí . 

El grupobPAGnorte+1{\displaystyle bP_{n+1}}es un grupo cíclico y es trivial o de orden 2 excepto en casonorte=4k+3{\displaystyle n=4k+3}, en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . Es trivial si n es par. Si n es 1 mod 4 tiene orden 1 o 2; en particular tiene orden 1 si n es 1, 5, 13, 29 o 61, y William Browder ( 1969 ) demostró que tiene orden 2 si norte=1{\displaystyle n=1}mod 4 no es de la forma2k−3{\displaystyle 2^{k}-3}. Del problema invariante de Kervaire, ahora casi completamente resuelto, se deduce que tiene orden 2 para todo n mayor que 126; el casonorte=126{\displaystyle n=126}sigue abierto. El orden debPAG4k{\displaystyle bP_{4k}}parak≥2{\displaystyle k\geq 2}es

22k−2(22k−1−1)B,{\displaystyle 2^{2k-2}(2^{2k-1}-1)B,}

donde B es el numerador de4B2k/k{\displaystyle 4B_{2k}/k}, yB2k{\displaystyle B_{2k}}es un número de Bernoulli . (La fórmula en la literatura topológica difiere ligeramente porque los topólogos usan una convención diferente para nombrar los números de Bernoulli; este artículo usa la convención de los teóricos de números).

Mapa entre cocientes

El grupo cocienteΘnorte/bPAGnorte+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}tiene una descripción en términos de grupos de homotopía estables de esferas módulo la imagen del J-homomorfismo ; es igual al cociente o al índice 2. Más precisamente, hay una aplicación inyectiva.

Θnorte/bPAGnorte+1→πnorteS/J,{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}\to \pi _{n}^{S}/J,}

dóndeπnorteS{\displaystyle \pi _{n}^{S}}es el n -ésimo grupo de homotopía estable de esferas, y J es la imagen del J -homomorfismo. Al igual que conbPAGnorte+1{\displaystyle bP_{n+1}}, la imagen de J es un grupo cíclico y es trivial o de orden 2 excepto en casonorte=4k+3{\displaystyle n=4k+3}, en cuyo caso puede ser grande, con su orden relacionado con los números de Bernoulli . El grupo cocienteπnorteS/J{\displaystyle \pi _{n}^{S}/J}es la parte "difícil" de los grupos homotópicos estables de esferas y, en consecuencia,Θnorte/bPAGnorte+1{\displaystyle \Theta _{n}/bP_{n+1}}La parte difícil de las esferas exóticas se reduce casi por completo al cálculo de grupos de homotopía de esferas. El mapa es un isomorfismo (la imagen es el grupo completo) o un mapa inyectivo con índice 2. Esto último se da si y solo si existe una variedad enmarcada n -dimensional con invariante de Kervaire 1, lo que se conoce como el problema del invariante de Kervaire . Por lo tanto, un factor de 2 en la clasificación de las esferas exóticas depende del problema del invariante de Kervaire.

El problema invariante de Kervaire está casi completamente resuelto, con solo el casonorte=126{\displaystyle n=126}sigue abierto, aunque Zhouli Xu (en colaboración con Weinan Lin y Guozhen Wang) anunció durante un seminario en la Universidad de Princeton, el 30 de mayo de 2024, que el caso final de dimensión 126 se ha resuelto y que existen variedades de invariante de Kervaire 1 en dimensión 126. [ 2 ] El trabajo previo de Browder (1969) demostró que tales variedades solo existían en dimensiónnorte=2j−2{\displaystyle n=2^{j}-2}y Hill, Hopkins y Ravenel (2016) , que demostraron que no existían tales variedades para la dimensión254=28−2{\displaystyle 254=2^{8}-2}y superiores. Se han construido variedades con invariante de Kervaire 1 en dimensión 2, 6, 14 y 30. Si bien se sabe que existen variedades con invariante de Kervaire 1 en dimensión 62, aún no se ha construido ninguna. Lo mismo ocurre con la dimensión 126.

Orden de Θ n

El orden del grupoΘnorte{\displaystyle \Theta _{n}}se da en esta tabla (secuencia A001676 en el OEIS ) de ( Kervaire y Milnor 1963 ) (excepto que la entrada paranorte=19{\displaystyle n=19}está equivocado por un factor de 2 en su artículo; véase la corrección en el volumen III, pág.  97 de las obras completas de Milnor).

Tenga en cuenta que para dimnorte=4k−1{\displaystyle n=4k-1}, entoncesθnorte{\displaystyle \theta _{n}}son28=22(23−1){\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)},992=25(25−1){\displaystyle 992=2^{5}(2^{5}-1)},16256=27(27−1){\displaystyle 16256=2^{7}(2^{7}-1)}, y523264=210(29−1){\displaystyle 523264=2^{10}(2^{9}-1)}. Se pueden calcular más entradas en esta tabla a partir de la información anterior junto con la tabla de grupos de homotopía estables de esferas .

Mediante cálculos de grupos homotópicos estables de esferas, Wang y Xu (2017) demuestran que la esfera S 61 tiene una estructura suave única, y que es la última esfera de dimensión impar con esta propiedad; las únicas son S 1 , S 3 , S 5 , y S 61 .

Ejemplos explícitos de esferas exóticas

Cuando me topé con un ejemplo así a mediados de los años 50, quedé muy perplejo y no supe qué pensar al respecto. Al principio, pensé que había encontrado un contraejemplo a la conjetura generalizada de Poincaré en dimensión siete. Pero un estudio cuidadoso demostró que la variedad era realmente homeomorfa aS7{\displaystyle S^{7}}Por lo tanto, existe una estructura diferenciable enS7{\displaystyle S^{7}}no difeomorfo al estándar.

— John Milnor  ( 2009 , p. 12)

La construcción de Milnor

Uno de los primeros ejemplos de una esfera exótica hallada por Milnor (1956 , sección 3) . A mediados de la década de 1950, John Milnor [ 3 ] pág. 14 intentaba comprender la estructura de(norte−1){\displaystyle (n-1)}-variedades conectadas de dimensión2norte{\displaystyle 2n}(desdenorte{\displaystyle n}-conectado2norte{\displaystyle 2n}-las variedades son homeomorfas a esferas, este es el primer caso no trivial después) y encontró un ejemplo de un espacio que es homotópicamente equivalente a una esfera, pero no era explícitamente difeomorfo . Lo hizo a través del estudio de haces vectoriales reales.V→Snorte{\displaystyle V\to S^{n}}sobre una esfera y se estudiaron las propiedades del fibrado de discos asociado. Resulta que el límite de este fibrado es homotópicamente equivalente a una esfera.S2norte−1{\displaystyle S^{2n-1}}, pero en ciertos casos no es difeomorfo. Esta falta de difeomorfismo proviene del estudio de un cobordismo hipotético entre este límite y una esfera, y de mostrar que este cobordismo hipotético invalida ciertas propiedades del teorema de la signatura de Hirzebruch .

DejarB4{\displaystyle B^{4}}ser la unidad de bola enR4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}y dejarS3{\displaystyle S^{3}}sea ​​su frontera —una 3-esfera que identificamos con el grupo de cuaterniones unitarios . Ahora tomemos dos copias deB4×S3{\displaystyle B^{4}\times S^{3}}, cada uno con límiteS3×S3{\displaystyle S^{3}\times S^{3}}y pegarlos entre sí identificando(a,b){\displaystyle (a,b)}en el primer límite con(a,a2ba−1){\displaystyle (a,a^{2}ba^{-1})}en el segundo límite. La variedad resultante ( esfera de Milnor ) tiene una estructura suave natural y es homeomorfa aS7{\displaystyle S^{7}}, pero no es difeomorfo aS7{\displaystyle S^{7}}Milnor demostró que no es el límite de ninguna 8-variedad lisa con número de Betti de cuarto orden nulo, y que no tiene difeomorfismo de inversión de orientación consigo misma; cualquiera de estas propiedades implica que no es una 7-esfera estándar. Milnor demostró que esta variedad tiene una función de Morse con solo dos puntos críticos , ambos no degenerados, lo que implica que topológicamente es una esfera.

esferas de Brieskorn

Como lo demostró Egbert Brieskorn ( 1966 , 1966b ) (véase también ( Hirzebruch y Mayer 1968 ) ), la intersección de la variedad compleja de puntos en do5{\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}satisfactorio

a2+b2+do2+d3+mi6k−1=0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0\ }

con una pequeña esfera alrededor del origen parak=1,2,…,28{\displaystyle k=1,2,\ldots ,28}da las 28 posibles estructuras suaves en la 7-esfera orientada. Las variedades similares se llaman esferas de Brieskorn .

Esferas retorcidas

Dado un difeomorfismo (que preserva la orientación)F:Snorte−1→Snorte−1{\displaystyle f:S^{n-1}\to S^{n-1}}pegando los bordes de dos copias del disco estándarDnorte{\displaystyle D^{n}}La unión mediante f produce una variedad llamada esfera retorcida (con torsión f ). Es homotópicamente equivalente a la n -esfera estándar porque el mapa de pegado es homotópico a la identidad (siendo un difeomorfismo que preserva la orientación, por lo tanto de grado 1), pero no es difeomorfo en general a la esfera estándar. ( Milnor 1959b )Γnorte{\displaystyle \Gamma _{n}}Para ser el grupo de n -esferas retorcidas (bajo suma de conexión), se obtiene la secuencia exacta

π0Diferencia+⁡(Dnorte)→π0Diferencia+⁡(Snorte−1)→Γnorte→0.{\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})\to \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})\to \Gamma _{n}\to 0.}

Paranorte>5{\displaystyle n>5}, toda n- esfera exótica es difeomorfa a una esfera retorcida, un resultado demostrado por Stephen Smale que puede verse como una consecuencia del teorema de h -cobordismo . (En contraste, en el contexto lineal por partes, la aplicación más a la izquierda es sobreyectiva mediante extensión radial : toda esfera retorcida lineal por partes es estándar). El grupoΓnorte{\displaystyle \Gamma _{n}}de esferas retorcidas es siempre isomorfo al grupoΘnorte{\displaystyle \Theta _{n}}. Las notaciones son diferentes porque al principio no se sabía que eran las mismas paranorte=3{\displaystyle n=3}o 4; por ejemplo, el casonorte=3{\displaystyle n=3}es equivalente a la conjetura de Poincaré .

En 1970 Jean Cerf demostró el teorema de pseudoisotopía que implica queπ0Diferencia+⁡(Dnorte){\displaystyle \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(D^{n})}es el grupo trivial proporcionadonorte≥6{\displaystyle n\geq 6}, y entoncesΓnorte≃π0Diferencia+⁡(Snorte−1){\displaystyle \Gamma _{n}\simeq \pi _{0}\operatorname {Diff} ^{+}(S^{n-1})}proporcionónorte≥6{\displaystyle n\geq 6}.

Aplicaciones

Si M es una variedad lineal a trozos , el problema de encontrar las estructuras suaves compatibles en M depende del conocimiento de los grupos Γ k = Θ k . Más precisamente, las obstrucciones a la existencia de cualquier estructura suave se encuentran en los grupos H k +1 ( M , Γ k ) para varios valores de k , mientras que si existe tal estructura suave, entonces todas esas estructuras suaves pueden clasificarse usando los grupos H k ( M , Γ k ) . En particular, los grupos Γ k se anulan si k < 7 , por lo que todas las variedades PL de dimensión como máximo 7 tienen una estructura suave, que es esencialmente única si la variedad tiene dimensión como máximo 6.

Los siguientes grupos abelianos finitos son esencialmente iguales:

  • El grupo Θ n de clases de h-cobordismo de n- esferas de homotopía orientada.
  • El grupo de clases de h-cobordismo de n- esferas orientadas.
  • El grupo Γ n de n- esferas orientadas y retorcidas.
  • El grupo de homotopía π n (PL/DIFF)
  • Si n ≠ 3 , el grupo de homotopía π n (TOP/DIFF) (si n = 3 este grupo tiene orden 2; ver invariante de Kirby-Siebenmann ).
  • El grupo de estructuras lisas de una n- esfera PL orientada.
  • Si n ≠ 4 , el grupo de estructuras suaves de una n- esfera topológica orientada.
  • Si n ≠ 5 , el grupo de componentes del grupo de todos los difeomorfismos que preservan la orientación de S n − 1 .

Esferas exóticas de 4 dimensiones y giros de Gluck

En cuatro dimensiones , se desconoce si existen estructuras suaves exóticas en la 4-esfera. La afirmación de que no existen se conoce como la "conjetura de Poincaré suave" y es analizada por Michael Freedman , Robert Gompf y Scott Morrison et al. ( 2010 ) , quienes afirman que se cree que es falsa. 

Algunos candidatos propuestos para 4-esferas exóticas son las esferas de Cappell-Shaneson ( Sylvain Cappell y Julius Shaneson ( 1976 ) ) y las derivadas de las torsiones de Gluck ( Gluck 1962 ) . Las esferas de torsión de Gluck se construyen recortando un entorno tubular de una 2-esfera S en S 4 y volviéndolo a pegar usando un difeomorfismo de su frontera S 2 × S 1 . El resultado siempre es homeomorfo a S 4 . Muchos casos a lo largo de los años fueron descartados como posibles contraejemplos a la conjetura de Poincaré de 4 dimensiones lisas. Por ejemplo, Cameron Gordon ( 1976 ) , José Montesinos ( 1983 ) , Steven P. Plotnick ( 1984 ) , Gompf (1991) , Habiro, Marumoto & Yamada (2000) , Selman Akbulut ( 2010 ) , Gompf (2010) , Kim & Yamada (2017) .     

Véase también

Referencias

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  • Esferas exóticas en el Atlas Múltiple
  • Página principal sobre esferas exóticas en el sitio web de Andrew Ranicki. Diversos materiales de referencia relacionados con esferas exóticas.
  • Una animación de exóticas 7-esferas. Vídeo de una presentación de Niles Johnson en la Segunda Conferencia Abel en honor a John Milnor .
  • La construcción de Gluck en el Atlas de Múltiples