Diferencial de Kähler

Una derivación R -lineal en S es un homomorfismo de R - módulos.${\displaystyle d:S\to M}$a un S -módulo M que satisface la regla de Leibniz${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$(de esta definición se deduce automáticamente que la imagen de R está en el núcleo de d ^{[ 1 ]} ). El módulo de diferenciales de Kähler se define como el S -módulo${\displaystyle \Omega _{S/R}}$para lo cual existe una derivación universal${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$. Al igual que con otras propiedades universales , esto significa que d es la mejor derivación posible en el sentido de que cualquier otra derivación puede obtenerse a partir de ella mediante composición con un homomorfismo de S -módulos. En otras palabras, la composición con d proporciona, para cada S -módulo M , un isomorfismo de S -módulos.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

Una construcción de Ω _{S / R} y d procede mediante la construcción de un S -módulo libre con un generador formal ds para cada s en S , e imponiendo las relaciones

• dr = 0 ,
• d ( s + t ) = ds + dt ,
• d ( st ) = s dt + t ds ,

para todo r en R y todo s y t en S. La derivación universal envía s a ds . Las relaciones implican que la derivación universal es un homomorfismo de R -módulos.

Otra construcción procede haciendo que I sea el ideal en el producto tensorial.${\displaystyle S\otimes _{R}S}$definido como el núcleo del mapa de multiplicación

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

Entonces, el módulo de diferenciales de Kähler de S puede definirse equivalentemente por ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

y la derivación universal es el homomorfismo d definido por

${\displaystyle ds=1\otimes ss\otimes 1.}$

Esta construcción es equivalente a la anterior porque I es el núcleo de la proyección.

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

Así pues, tenemos:

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

Entonces${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$puede identificarse con I mediante el mapa inducido por la proyección complementaria

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

Esto identifica a I con el S -módulo generado por los generadores formales ds para s en S , sujeto a que d sea un homomorfismo de R -módulos que envía cada elemento de R a cero. Tomar el cociente por I² impone precisamente la regla ^de Leibniz.

Como antes, corrige un mapa.${\displaystyle X\to Y}$. Las formas diferenciales de grado superior se definen como las potencias exteriores (sobre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$),

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}:=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/Y}.}$

La derivación${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}}$se extiende de forma natural a una secuencia de mapas

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{X/Y}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

satisfactorio${\displaystyle d\circ d=0.}$Este es un complejo de cocadenas conocido como complejo de De Rham .

El complejo de De Rham posee una estructura multiplicativa adicional, el producto cuña.

${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{n}\otimes \Omega _{X/Y}^{m}\to \Omega _{X/Y}^{n+m}.}$

Esto convierte el complejo de De Rham en un álgebra diferencial graduada conmutativa . También posee una estructura de coálgebra heredada de la del álgebra exterior . ^{[ 3 ]}

La hipercohomología del complejo de haces de De Rham se llama cohomología algebraica de De Rham de X sobre Y y se denota por${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$o simplemente${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X)}$si Y es claro por el contexto. (En muchas situaciones, Y es el espectro de un campo de característica cero). La cohomología algebraica de De Rham fue introducida por Grothendieck (1966a) . Está estrechamente relacionada con la cohomología cristalina .

Como es familiar a partir de la cohomología coherente de otros haces cuasi-coherentes, el cálculo de la cohomología de de Rham se simplifica cuando X = Spec S e Y = Spec R son esquemas afines. En este caso, debido a que los esquemas afines no tienen cohomología superior,${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/Y)}$puede calcularse como la cohomología del complejo de grupos abelianos

${\displaystyle 0\to S{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{1}{\xrightarrow {d}}\Omega _{S/R}^{2}{\xrightarrow {d}}\cdots }$

que son, en términos de términos, las secciones globales de las gavillas${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{r}}$.

Para poner un ejemplo muy particular, supongamos que${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \mathbb {Q} \left[x,x^{-1}\right]}$es el grupo multiplicativo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} .}$Debido a que se trata de un esquema afín, la hipercohomología se reduce a la cohomología ordinaria. El complejo algebraico de De Rham es

${\displaystyle \mathbb {Q} [x,x^{-1}]{\xrightarrow {d}}\mathbb {Q} [x,x^{-1}]\,dx.}$

El diferencial d obedece las reglas habituales del cálculo, lo que significa${\displaystyle d(x^{n})=nx^{n-1}\,dx.}$El núcleo y el conúcleo calculan la cohomología algebraica de De Rham, por lo que

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(X)&=\mathbb {Q} \\H_{\text{dR}}^{1}(X)&=\mathbb {Q} \cdot x^{-1}dx\end{aligned}}}$

y todos los demás grupos de cohomología de de Rham algebraicos son cero. A modo de comparación, los grupos de cohomología de de Rham algebraicos de${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p}\left[x,x^{-1}\right]}$son mucho más grandes, a saber,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{dR}}^{0}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp}\\H_{\text{dR}}^{1}(Y)&=\bigoplus _{k\in \mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p}\cdot x^{kp-1}\,dx\end{aligned}}}$

Dado que los números de Betti de estos grupos de cohomología no son los esperados, se desarrolló la cohomología cristalina para remediar este problema; esta define una teoría de cohomología de Weil sobre cuerpos finitos.

Si X es una variedad algebraica compleja lisa , existe un mapa de comparación natural de complejos de haces.

${\displaystyle \Omega _{X/\mathbb {C} }^{\bullet }(-)\to \Omega _{X^{\text{an}}}^{\bullet }((-)^{\text{an}})}$

entre el complejo de de Rham algebraico y el complejo de de Rham suave definido en términos de formas diferenciales (de valores complejos) en${\displaystyle X^{\text{an}}}$, la variedad compleja asociada a X . Aquí,${\textstyle (-)^{\text{an}}}$denota el functor de analitificación complejo. Este mapa está lejos de ser un isomorfismo. No obstante, Grothendieck (1966a) demostró que el mapa de comparación induce un isomorfismo.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{\ast }(X/\mathbb {C} )\cong H_{\text{dR}}^{\ast }(X^{\text{an}})}$

de la cohomología algebraica a la cohomología de De Rham suave (y por lo tanto a la cohomología singular)${\textstyle H_{\text{sing}}^{*}(X^{\text{an}};\mathbb {C} )}$por el teorema de de Rham ). En particular, si X es una variedad algebraica afín suave incrustada en${\textstyle \mathbb {C} ^{n}}$, entonces la inclusión del subcomplejo de formas diferenciales algebraicas en el de todas las formas suaves en X es un cuasi-isomorfismo . Por ejemplo, si

${\displaystyle X=\{(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}:wz=1\}}$,

Entonces, como se muestra arriba, el cálculo de la cohomología algebraica de De Rham da generadores explícitos.${\textstyle \{1,z^{-1}dz\}}$para${\displaystyle H_{\text{dR}}^{0}(X/\mathbb {C} )}$y${\displaystyle H_{\text{dR}}^{1}(X/\mathbb {C} )}$, respectivamente, mientras que todos los demás grupos de cohomología se desvanecen. Dado que X es homotópicamente equivalente a un círculo , esto es como predice el teorema de Grothendieck.

En el caso singular se pueden encontrar contraejemplos con singularidades que no son de Du Bois, como el anillo graduado.${\displaystyle k[x,y]/(y^{2}-x^{3})}$con${\displaystyle y}$dónde${\displaystyle \deg(y)=3}$y${\displaystyle \deg(x)=2}$. ^{[ 4 ]} Otros contraejemplos se pueden encontrar en curvas planas algebraicas con singularidades aisladas cuyos números de Milnor y Tjurina no son iguales. ^{[ 5 ]}

Cisinski y Déglise (2013) dieron una demostración del teorema de Grothendieck utilizando el concepto de una teoría de cohomología de Weil mixta .

Si X es una variedad diferenciable sobre un cuerpo k , entonces${\displaystyle \Omega _{X/k}}$es un haz vectorial (es decir, un conjunto localmente libre)${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo) de rango igual a la dimensión de X. Esto implica, en particular, que

${\displaystyle \omega _{X/k}:=\bigwedge ^{\dim X}\Omega _{X/k}}$

es un fibrado lineal o, equivalentemente, un divisor . Se le conoce como el divisor canónico . El divisor canónico es, como se ha demostrado, un complejo dualizante y, por lo tanto, aparece en varios teoremas importantes de la geometría algebraica, como la dualidad de Serre o la dualidad de Verdier .

El género geométrico de una variedad algebraica suave X de dimensión d sobre un cuerpo k se define como la dimensión

${\displaystyle g:=\dim H^{0}(X,\Omega _{X/k}^{d}).}$

Para curvas, esta definición puramente algebraica coincide con la definición topológica (para${\displaystyle k=\mathbb {C} }$) como el "número de asas" de la superficie de Riemann asociada a X. Existe una tricotomía bastante marcada de propiedades geométricas y aritméticas dependiendo del género de una curva, siendo g 0 ( curvas racionales ), 1 ( curvas elípticas ) y mayor que 1 (superficies de Riemann hiperbólicas, incluidas las curvas hiperelípticas ), respectivamente.

El fibrado tangente de una variedad lisa X es, por definición, el dual del haz cotangente.${\displaystyle \Omega _{X/k}}$El teorema de Riemann-Roch y su generalización de gran alcance, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , contienen como ingrediente crucial la clase de Todd del fibrado tangente.

El haz de diferenciales está relacionado con varias nociones algebraico-geométricas. Un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$de esquemas no está ramificado si y solo si${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$es cero. ^{[ 6 ]} Un caso especial de esta afirmación es que para un campo k ,${\displaystyle K:=k[t]/f}$es separable sobre k si y solo si${\displaystyle \Omega _{K/k}=0}$, que también se puede leer a partir del cálculo anterior.

Un morfismo f de tipo finito es un morfismo liso si es plano y si${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$es un localmente gratuito${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo de rango apropiado. El cálculo de${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/R}}$arriba muestra que la proyección desde el espacio afín${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}\to \operatorname {Spec} (R)}$es suave.

Los períodos son, en términos generales, integrales de ciertas formas diferenciales definidas aritméticamente. ^{[ 7 ]} El ejemplo más simple de un período es${\displaystyle 2\pi i}$, que surge como

${\displaystyle \int _{S^{1}}{\frac {dz}{z}}=2\pi i.}$

La cohomología algebraica de De Rham se utiliza para construir períodos de la siguiente manera: ^{[ 8 ]} Para una variedad algebraica X definida sobre${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$La compatibilidad mencionada anteriormente con el cambio de base produce un isomorfismo natural.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X/\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H_{\text{dR}}^{n}(X\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} /\mathbb {C} ).}$

Por otro lado, el grupo de cohomología de la derecha es isomorfo a la cohomología de De Rham de la variedad compleja.${\displaystyle X^{\text{an}}}$asociado a X , denotado aquí${\displaystyle H_{\text{dR}}^{n}(X^{\text{an}}).}$Otro resultado clásico, el teorema de De Rham , afirma un isomorfismo del último grupo de cohomología con cohomología singular (o cohomología de haces ) con coeficientes complejos,${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {C} )}$, que por el teorema del coeficiente universal es a su vez isomorfo a${\displaystyle H^{n}(X^{\text{an}},\mathbb {Q} )\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} .}$La composición de estos isomorfismos produce dos espacios vectoriales racionales que, después de tensorializar con${\displaystyle \mathbb {C} }$se vuelven isomorfos. Al elegir bases de estos subespacios racionales (también llamados retículos), el determinante de la matriz de cambio de base es un número complejo, bien definido salvo la multiplicación por un número racional. Dichos números son períodos .

En la teoría algebraica de números , los diferenciales de Kähler pueden usarse para estudiar la ramificación en una extensión de cuerpos de números algebraicos . Si L / K es una extensión finita con anillos de enteros R y S respectivamente, entonces el ideal diferente δ _{L / K} , que codifica los datos de ramificación, es el anulador del R -módulo Ω _{R / S} : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in R:x\,dy=0{\text{ for all }}y\in R\}.}$