El truco de Moser

En geometría diferencial , una rama de las matemáticas , el truco de Moser (o argumento de Moser) es un método para relacionar dos formas diferenciales. $\alpha _{0}$ y $\alpha _{1}$ en una variedad diferenciable mediante un difeomorfismo $\psi \in \mathrm {Diff} (M)$ de tal manera que $\psi ^{*}\alpha _{1}=\alpha _{0}$ , siempre que se pueda encontrar una familia de campos vectoriales que satisfagan una determinada EDO .

En términos más generales, el argumento es válido para una familia. $\{\alpha _{t}\}_{t\in [0,1]}$ y producir un isótopo completo $\psi _{t}$ de tal manera que $\psi _{t}^{*}\alpha _{t}=\alpha _{0}$ .

Fue presentado originalmente por Jürgen Moser en 1965 para comprobar cuándo dos formas de volumen son equivalentes, ^{[ 1 ]} pero sus principales aplicaciones se encuentran en la geometría simpléctica . Es el argumento estándar para la demostración moderna del teorema de Darboux , así como para la demostración del teorema de Darboux-Weinstein ^{[ 2 ]} y otros resultados de formas normales . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Declaración general

Dejar $\{\omega _{t}\}_{t\in [0,1]}\subset \Omega ^{k}(M)$ sea una familia de formas diferenciales en una variedad compacta $M$ Si la EDO ${\frac {d}{dt}}\omega _{t}+{\mathcal {L}}_{X_{t}}\omega _{t}=0$ admite una solución $\{X_{t}\}_{t\in [0,1]}\subset {\mathfrak {X}}(M)$ , entonces existe una familia $\{\psi _{t}\}_{t\in [0,1]}$ de difeomorfismos de $M$ de tal manera que $\psi _{t}^{*}\omega _{t}=\omega _{0}$ y $\psi _{0}=\mathrm {id} _{M}$ . En particular, existe un difeomorfismo ${\displaystyle \psi$ tal que $\psi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}$ .

Prueba

El truco consiste en ver $\{\psi _{t}\}_{t\in [0,1]}$ como los flujos de un campo vectorial dependiente del tiempo , es decir, de una familia suave $\{X_{t}\}_{t\in [0,1]}$ de campos vectoriales en $M$ . Utilizando la definición de flujo, es decir ${\frac {d}{dt}}\psi _{t}=X_{t}\circ \psi _{t}$ por cada $t\in [0,1]$ , se obtiene de la regla de la cadena que ${\frac {d}{dt}}(\psi _{t}^{*}\omega _{t})=\psi _{t}^{*}{\Big (}{\frac {d}{dt}}\omega _{t}+{\mathcal {L}}_{X_{t}}\omega _{t}{\Big )}.$ Por hipótesis, siempre se puede encontrar $X_{t}$ de tal manera que ${\frac {d}{dt}}\omega _{t}+{\mathcal {L}}_{X_{t}}\omega _{t}=0$ , por lo tanto sus flujos $\psi _{t}$ Satisface $\psi _{t}^{*}\omega _{t}=\mathrm {const} =\psi _{0}^{*}\omega _{0}=\omega _{0}$ . En particular, como $M$ es compacto, este flujo existe en $t=1$ .

Aplicación a formularios de volumen

Dejar $\alpha _{0},\alpha _{1}$ ser dos formas de volumen en un compacto $n$ variedad dimensional $M$ Entonces existe un difeomorfismo $\psi$ de $M$ de tal manera que $\psi ^{*}\alpha _{1}=\alpha _{0}$ si y solo si $\int _{M}\alpha _{0}=\int _{M}\alpha _{1}$ . ^{[ 1 ]}

Prueba

Una implicación se deduce de la invariancia de la integral por difeomorfismos: $\int _{M}\alpha _{0}=\int _{M}\psi ^{*}\alpha _{1}=\int _{\psi (M)}\alpha _{1}=\int _{M}\alpha _{1}$ .

En el caso contrario, aplicamos el truco de Moser a la familia de formas de volumen. $\alpha _{t}:=(1-t)\alpha _{0}+t\alpha _{1}$ . Desde $\int _{M}(\alpha _{1}-\alpha _{0})=0$ , la clase de cohomología de de Rham $[\alpha _{0}-\alpha _{1}]\in H_{dR}^{n}(M)$ desaparece, como consecuencia de la dualidad de Poincaré y el teorema de De Rham . Entonces $\alpha _{1}-\alpha _{0}=d\beta$ para algunos $\beta \in \Omega ^{n-1}(M)$ , por eso $\alpha _{t}=\alpha _{0}+td\beta$ . Mediante el truco de Moser, basta con resolver la siguiente EDO, donde utilizamos la fórmula mágica de Cartan y el hecho de que $\alpha _{t}$ es una forma de grado superior: $0={\frac {d}{dt}}\alpha _{t}+{\mathcal {L}}_{X_{t}}\alpha _{t}=d\beta +d(\iota _{X_{t}}\alpha _{t})+\iota _{X_{t}}({\cancel {d\alpha _{t}}})=d(\beta +\iota _{X_{t}}\alpha _{t}).$ Sin embargo, dado que $\alpha _{t}$ es una forma de volumen, es decir ${\textstyle TM\xrightarrow {\cong } \wedge ^{n-1}T^{*}M,\quad X_{t}\mapsto \iota _{X_{t}}\alpha _{t}}$ , dado $\beta$ siempre se puede encontrar $X_{t}$ de tal manera que $\beta +\iota _{X_{t}}\alpha _{t}=0$ .

Aplicación a estructuras simplécticas

En el contexto de la geometría simpléctica , el truco de Moser se presenta a menudo de la siguiente forma. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Dejar $\{\omega _{t}\}_{t\in [0,1]}\subset \Omega ^{2}(M)$ ser una familia de formas simplécticas en $M$ de tal manera que ${\frac {d}{dt}}\omega _{t}=d\sigma _{t}$ , para $\{\sigma _{t}\}_{t\in [0,1]}\subset \Omega ^{1}(M)$ Entonces existe una familia. $\{\psi _{t}\}_{t\in [0,1]}$ de difeomorfismos de $M$ de tal manera que $\psi _{t}^{*}\omega _{t}=\omega _{0}$ y $\psi _{0}=\mathrm {id} _{M}$ .

Prueba

Para aplicar el truco de Moser, necesitamos resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

$0={\frac {d}{dt}}\omega _{t}+{\mathcal {L}}_{X_{t}}\omega _{t}=d\sigma _{t}+\iota _{X_{t}}({\cancel {d\omega _{t}}})+d(\iota _{X_{t}}\omega _{t})=d(\sigma _{t}+\iota _{X_{t}}\omega _{t}),$ donde utilizamos la hipótesis, la fórmula mágica de Cartan y el hecho de que $\omega _{t}$ está cerrado. Sin embargo, dado que $\omega _{t}$ no es degenerado, es decir ${\textstyle TM\xrightarrow {\cong } T^{*}M,\quad X_{t}\mapsto \iota _{X_{t}}\omega _{t}}$ , dado $\sigma _{t}$ siempre se puede encontrar $X_{t}$ de tal manera que $\sigma _{t}+\iota _{X_{t}}\omega _{t}=0$ .

Corolario

Dadas dos estructuras simplécticas $\omega _{0}$ y $\omega _{1}$ en $M$ de tal manera que $(\omega _{0})_{x}=(\omega _{1})_{x}$ por algún momento $x\in M$ Hay dos barrios $U_{0}$ y $U_{1}$ de $x$ y un difeomorfismo $\phi :U_{0}\to U_{1}$ de tal manera que $\phi (x)=x$ y $\phi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Esto se deduce al observar que, por el lema de Poincaré , la diferencia $\omega _{1}-\omega _{0}$ es localmente $d\sigma$ para algunos $\sigma \in \Omega ^{1}(M)$ ; luego, reduciendo aún más los vecindarios, el resultado anterior se aplicó a la familia $\omega _{t}:=(1-t)\omega _{0}+t\omega _{1}$ de estructuras simplécticas produce el difeomorfismo ${\displaystyle \phi$ .

Teorema de Darboux para estructuras simplécticas

El teorema de Darboux para estructuras simplécticas establece que cualquier punto $x$ en una variedad simpléctica dada $(M,\omega )$ admite un gráfico de coordenadas locales $(U,x^{1},\ldots ,x^{n},y^{1},\ldots ,y^{n})$ de tal manera que $\omega |_{U}=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}\wedge dy^{i}.$ Si bien la demostración original de Darboux requería una formulación más general para las 1-formas, ^{[ 5 ]} el truco de Moser proporciona una demostración directa. De hecho, eligiendo cualquier base simpléctica del espacio vectorial simpléctico $(T_{x}M,\omega _{x})$ Siempre se pueden encontrar coordenadas locales. $({\tilde {U}},{\tilde {x}}^{1},\ldots ,{\tilde {x}}^{n},{\tilde {y}}^{1},\ldots ,{\tilde {y}}^{n})$ de tal manera que $\omega _{x}=\sum _{i=i}^{n}(d{\tilde {x}}^{i}\wedge d{\tilde {y}}^{i})|_{x}$ . Entonces basta con aplicar el corolario del truco de Moser discutido anteriormente a $\omega _{0}=\omega |_{\tilde {U}}$ y $\omega _{1}=\sum _{i=i}^{n}d{\tilde {x}}^{i}\wedge d{\tilde {y}}^{i}$ y consideremos las nuevas coordenadas $x^{i}={\tilde {x}}^{i}\circ \phi ,y^{i}={\tilde {y}}^{i}\circ \phi$ . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Aplicación: Teorema de estabilidad de Moser

El propio Moser proporcionó una aplicación de su argumento para la estabilidad de las estructuras simplécticas, ^{[ 1 ]} que ahora se conoce como el teorema de estabilidad de Moser . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Dejar $\{\omega _{t}\}_{t\in [0,1]}\subset \Omega ^{2}(M)$ una familia de forma simpléctica en $M$ que son cohomólogos , es decir, la clase de cohomología de De Rham $[\omega _{t}]\in H_{dR}^{2}(M)$ no depende de $t$ Entonces existe una familia. $\psi _{t}$ de difeomorfismos de $M$ de tal manera que $\psi ^{*}\omega _{t}=\omega _{0}$ y $\psi _{0}=\mathrm {id} _{M}$ .

Prueba

Basta con comprobar que ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\omega _{t}=d\sigma _{t}}$ ; entonces la demostración se deduce de la aplicación previa del truco de Moser a estructuras simplécticas . Por la hipótesis cohomóloga, $\omega _{t}-\omega _{0}$ es una forma exacta, por lo que también lo es su derivado ${\textstyle {\frac {d}{dt}}(\omega _{t}-\omega _{0})={\frac {d}{dt}}\omega _{t}}$ es exacto para cada $t$ . La prueba real de que esto se puede hacer de manera fluida, es decir que ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\omega _{t}=d\sigma _{t}}$ para una familia de funciones sin problemas $\sigma _{t}$ , requiere cierta topología algebraica . Una opción es demostrarlo por inducción , utilizando secuencias de Mayer-Vietoris ; ^{[ 3 ]} otra es elegir una métrica riemanniana y emplear la teoría de Hodge . ^{[ 1 ]}

Referencias

1 2 3 4 Moser, Jürgen (1965). "Sobre los elementos de volumen en una variedad" . Transactions of the American Mathematical Society . 120 (2): 286– 294. doi : 10.1090/S0002-9947-1965-0182927-5 . ISSN 0002-9947 .
1 2 Weinstein, Alan (1971-06-01). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas" . Advances in Mathematics . 6 (3): 329– 346. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X . ISSN 0001-8708 .
1 2 3 4 5 6 McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (22 de junio de 2017). Introducción a la topología simpléctica . Vol. 1. Oxford University Press . doi : 10.1093/oso/9780198794899.001.0001 . ISBN 978-0-19-879489-9.
^ Cannas Silva, Ana ( 2008 ) . Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador . doi : 10.1007/978-3-540-45330-7 . ISBN 978-3-540-42195-5.
↑ Sternberg, Shlomo (1964). Lecciones de geometría diferencial . Prentice Hall . págs. 140–141 . ISBN 9780828403160.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[:2-1] 1 2 3 4 Moser, Jürgen (1965). "Sobre los elementos de volumen en una variedad" . Transactions of the American Mathematical Society . 120 (2): 286– 294. doi : 10.1090/S0002-9947-1965-0182927-5 . ISSN 0002-9947 .

[:13-2] 1 2 Weinstein, Alan (1971-06-01). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas" . Advances in Mathematics . 6 (3): 329– 346. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X . ISSN 0001-8708 .

[:3-3] 1 2 3 4 5 6 McDuff, Dusa ; Salamon, Dietmar (22 de junio de 2017). Introducción a la topología simpléctica . Vol. 1. Oxford University Press . doi : 10.1093/oso/9780198794899.001.0001 . ISBN 978-0-19-879489-9.

[:02-4] Cannas Silva, Ana ( 2008 ) . Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador . doi : 10.1007/978-3-540-45330-7 . ISBN 978-3-540-42195-5.

[5] Sternberg, Shlomo (1964). Lecciones de geometría diferencial . Prentice Hall . págs. 140–141 . ISBN 9780828403160.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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