ecuación de Schrödinger no lineal

La ecuación de campo clásica (en forma adimensional ) es: ^{[ 10 ]}

para el campo complejo${\displaystyle \psi (x,t)}$.

Esta ecuación surge del hamiltoniano ^{[ 10 ]}

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

con los corchetes de Poisson

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

A diferencia de su contraparte lineal, nunca describe la evolución temporal de un estado cuántico.

El caso con κ negativo se denomina enfoque y permite soluciones de solitones brillantes (localizadas en el espacio y con atenuación espacial hacia el infinito), así como soluciones de tipo respirador . Se puede resolver exactamente mediante la transformada de dispersión inversa , como demostraron Zakharov y Shabat (1972) (véase más abajo ). El otro caso, con κ positivo, es el NLS de desenfoque, que tiene soluciones de solitones oscuros (con amplitud constante en el infinito y una caída espacial local en la amplitud). ^{[ 11 ]}

Para obtener la versión cuantizada , simplemente reemplace los corchetes de Poisson por conmutadores.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

y orden normal el hamiltoniano

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

La versión cuántica fue resuelta por el ansatz de Bethe de Lieb y Liniger . La termodinámica fue descrita por Chen-Ning Yang . Las funciones de correlación cuántica también fueron evaluadas por Korepin en 1993. ^{[ 8 ]} El modelo tiene leyes de conservación superiores: Davies y Korepin en 1989 las expresaron en términos de campos locales. ^{[ 12 ]}

En óptica , la ecuación de Schrödinger no lineal aparece en el sistema de Manakov , un modelo de propagación de ondas en fibra óptica. La función ψ representa una onda y la ecuación de Schrödinger no lineal describe su propagación a través de un medio no lineal. La derivada de segundo orden representa la dispersión, mientras que el término κ representa la no linealidad. La ecuación modela numerosos efectos de no linealidad en una fibra, incluyendo, entre otros, la automodulación de fase , la mezcla de cuatro ondas , la generación de segundo armónico , la dispersión Raman estimulada , los solitones ópticos , los pulsos ultracortos , etc.

Para las olas de agua , la ecuación de Schrödinger no lineal describe la evolución de la envolvente de grupos de olas moduladas . En un artículo de 1968, Vladimir E. Zakharov describe la estructura hamiltoniana de las olas de agua. En el mismo artículo, Zakharov muestra que, para grupos de olas moduladas lentamente, la amplitud de la ola satisface la ecuación de Schrödinger no lineal, aproximadamente. ^{[ 16 ]} El valor del parámetro de no linealidad κ depende de la profundidad relativa del agua. Para aguas profundas, con una profundidad grande en comparación con la longitud de onda de las olas, κ es negativo y pueden aparecer solitones de envolvente . Además, la velocidad de grupo de estos solitones de envolvente podría incrementarse por una aceleración inducida por un flujo de agua externo dependiente del tiempo. ^{[ 17 ]}

En aguas poco profundas, con longitudes de onda mayores a 4,6 veces la profundidad del agua, el parámetro de no linealidad k es positivo y no existen grupos de ondas con solitones envolventes . En aguas poco profundas sí existen solitones de elevación superficial u ondas de traslación , pero no se rigen por la ecuación de Schrödinger no lineal.

Se cree que la ecuación de Schrödinger no lineal es importante para explicar la formación de olas gigantes . ^{[ 18 ]}

El campo complejo${\displaystyle \psi }$, tal como aparece en la ecuación de Schrödinger no lineal, está relacionada con la amplitud y la fase de las ondas de agua. Consideremos una onda portadora modulada lentamente con una elevación de la superficie del agua η de la forma:

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

dónde${\displaystyle a(x_{0},t_{0})}$y${\displaystyle \theta (x_{0},t_{0})}$son la amplitud y la fase moduladas lentamente . Además${\displaystyle \omega _{0}}$y${\displaystyle k_{0}}$son la frecuencia angular (constante) y el número de onda de las ondas portadoras, que deben satisfacer la relación de dispersión.${\displaystyle \omega _{0}=\Omega (k_{0})}$. Entonces

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

Entonces su módulo${\displaystyle |\psi |}$es la amplitud de la onda${\displaystyle a}$y su argumento${\displaystyle \arg(\psi )}$es la fase${\displaystyle \theta }$.

La relación entre las coordenadas físicas${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$y el${\displaystyle (x,t)}$Las coordenadas, tal como se utilizan en la ecuación de Schrödinger no lineal dada anteriormente , vienen dadas por:

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

De este modo${\displaystyle (x,t)}$es un sistema de coordenadas transformado que se mueve con la velocidad de grupo${\displaystyle \Omega '(k_{0})}$de las ondas portadoras, La curvatura de la relación de dispersión${\displaystyle \Omega ''(k_{0})}$– que representa la dispersión de la velocidad de grupo – siempre es negativa para las olas de agua bajo la acción de la gravedad, para cualquier profundidad de agua.

Para las olas en la superficie del agua en aguas profundas, los coeficientes de importancia para la ecuación de Schrödinger no lineal son:

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$ entonces ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

donde g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre.

En el original${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$Las coordenadas de la ecuación de Schrödinger no lineal para las ondas de agua se leen: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

con${\displaystyle A=\psi ^{*}}$(es decir, el conjugado complejo de${\displaystyle \psi }$) y${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$Entonces${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$para olas de aguas profundas.

Hasimoto (1972) demostró que el trabajo de da Rios ( 1906 ) sobre filamentos de vórtice está estrechamente relacionado con la ecuación de Schrödinger no lineal. Posteriormente, Salman (2013) utilizó esta correspondencia para demostrar que también pueden surgir soluciones de tipo respirador para un filamento de vórtice. 

La ecuación de Schrödinger no lineal es invariante de escala en el siguiente sentido:

Dada una solución${\displaystyle \psi (x,t)}$Se puede obtener una nueva solución mediante el reescalado.${\displaystyle \psi }$,${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$mediante una función de un parámetro${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[\alpha ]}(x,t)=\alpha \psi (\alpha x,\alpha ^{2}t).}$

La ecuación de Schrödinger no lineal es invariante galileana en el siguiente sentido:

Dada una solución${\displaystyle \psi (x,t)}$Se puede obtener una nueva solución reemplazando${\displaystyle x}$con${\displaystyle x+vt}$en todas partes en${\displaystyle \psi (x,t)}$y añadiendo un factor de fase de${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$