Teoremas de incrustación de Nash

Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación ), que reciben su nombre de John Forbes Nash Jr. , establecen que toda variedad riemanniana puede incrustarse isométricamente en algún espacio euclidiano . Isométrico significa que se conserva la longitud de cada trayectoria . Por ejemplo, doblar una hoja de papel, pero no estirarla ni rasgarla, produce una incrustación isométrica de la página en un espacio euclidiano tridimensional, ya que las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco, independientemente de cómo se doble la página.

El primer teorema se refiere a incrustaciones continuamente diferenciables ( C1 ⁾ y el segundo a incrustaciones analíticas o suaves de clase Ck , 3 ≤ k ≤ ∞ . Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una demostración muy simple, pero conduce a conclusiones contraintuitivas, mientras que el segundo tiene una demostración técnica y contraintuitiva, pero conduce a un resultado menos sorprendente ^.

El teorema C ¹ se publicó en 1954, y el teorema C ^k en 1956. El teorema analítico real fue tratado por primera vez por Nash en 1966; su argumento fue simplificado considerablemente por Greene y Jacobowitz (1971) . ( Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una versión local de este resultado en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (véase más adelante) en el argumento de la función inversa de Nash pueden reemplazarse por estimaciones de Cauchy. La demostración de Nash del caso C ^k se extrapoló posteriormente al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser . Günther (1989) obtuvo una demostración más sencilla del segundo teorema de incrustación de Nash al reducir el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se podía aplicar el teorema de la aplicación de contracción . ^{[ 1 ]}

Dada una variedad riemanniana m -dimensional ( M , g ) , una incrustación isométrica es una incrustación topológica continuamente diferenciable f  : M → R ⁿ tal que la imagen inversa de la métrica euclidiana es igual a g . En términos analíticos, esto puede verse (en relación con una carta de coordenadas suave x ) como un sistema de ⁠ 1 / 2 ⁠ m ( m + 1) ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para n funciones desconocidas (de valor real):

${\displaystyle g_{ij}(x)=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{j}}}.}$

Si n es menor que 1/2 m ( m + 1) , entonces hay más ecuaciones que incógnitas. Desde esta perspectiva, la existencia de incrustaciones isométricas dadas por el siguiente teorema se considera sorprendente .

Teorema de Nash-Kuiper. ^{[ 2 ]} Sea ( M , g ) una variedad riemanniana m -dimensional y f  : M → R ⁿ una inmersión suave corta en el espacio euclidiano R ⁿ , donde n ≥ m + 1 . No es necesario que esta aplicación sea isométrica. Entonces existe una secuencia de inmersiones isométricas continuamente diferenciables M → R ⁿ de g que convergen uniformemente a f .

El teorema fue demostrado originalmente por John Nash con la suposición más fuerte n ≥ m + 2. Su método fue modificado por Nicolaas Kuiper para obtener el teorema anterior. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Las incrustaciones isométricas producidas por el teorema de Nash-Kuiper a menudo se consideran contraintuitivas y patológicas. ^{[ 5 ]} A menudo no son diferenciables suavemente. Por ejemplo, un conocido teorema de David Hilbert afirma que el plano hiperbólico no puede ser inmerso isométricamente suave en R ³ . Cualquier variedad de Einstein de curvatura escalar negativa no puede ser inmersa isométricamente suave como una hipersuperficie, ^{[ 6 ]} y un teorema de Shiing-Shen Chern y Kuiper incluso dice que cualquier variedad cerrada m -dimensional de curvatura seccional no positiva no puede ser inmersa isométricamente suave en R ^{2 m –1} . ^{[ 7 ]} Además, algunas incrustaciones isométricas suaves exhiben fenómenos de rigidez que son violados por la elección en gran medida no restringida de f en el teorema de Nash-Kuiper. Por ejemplo, la imagen de cualquier inmersión isométrica suave de la esfera redonda debe ser a su vez una esfera redonda. ^{[ 8 ]} Por el contrario, el teorema de Nash-Kuiper garantiza la existencia de inmersiones de hipersuperficie isométricas continuamente diferenciables de la esfera redonda que están arbitrariamente cerca de (por ejemplo) una incrustación topológica de la esfera como un pequeño elipsoide .

Cualquier variedad bidimensional cerrada y orientada puede incrustarse suavemente en R³ . Dicha incrustación puede escalarse mediante una constante arbitrariamente pequeña para que resulte corta en relación con cualquier métrica riemanniana dada en la superficie. Del teorema de Nash-Kuiper se deduce que existen incrustaciones isométricas continuamente diferenciables de cualquier superficie riemanniana de este tipo, donde el radio de una bola circunscrita es arbitrariamente pequeño. Por el contrario, ninguna superficie cerrada con curvatura negativa puede incrustarse isométricamente de forma suave en ^R³ . [ ^{9 ] Además} , para cualquier incrustación isométrica suave (o incluso C² ^{) de una superficie riemanniana cerrada arbitraria, existe una cota inferior cuantitativa (positiva) para el radio de} una bola circunscrita en función del área de la superficie y la curvatura de la métrica incrustada. ^{[ 10 ]}

En dimensiones superiores, como se deduce del teorema de incrustación de Whitney , el teorema de Nash-Kuiper muestra que cualquier variedad riemanniana cerrada de dimensión m admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en un entorno arbitrariamente pequeño en el espacio euclidiano de dimensión 2m . Aunque el teorema de Whitney también se aplica a variedades no compactas, dichas incrustaciones no pueden simplemente escalarse por una constante pequeña para que se vuelvan cortas. Nash demostró que toda variedad riemanniana ^de dimensión m admite una incrustación isométrica continuamente diferenciable en R²m ^{+ 1} . ^{[ 11 ]}

En la época en que Nash realizó su trabajo, su teorema se consideraba una curiosidad matemática. El resultado en sí no ha encontrado aplicaciones importantes. Sin embargo, el método de demostración de Nash fue adaptado por Camillo De Lellis y László Székelyhidi para construir soluciones de baja regularidad, con energía cinética prescrita , de las ecuaciones de Euler del estudio matemático de la mecánica de fluidos . En términos analíticos, las ecuaciones de Euler tienen una similitud formal con las ecuaciones de inmersión isométrica, a través de la no linealidad cuadrática en las primeras derivadas de la función desconocida. ^{[ 12 ]} Las ideas de la demostración de Nash fueron abstraídas por Mikhael Gromov al principio de integración convexa , con un principio h correspondiente . ^{[ 13 ]} Esto fue aplicado por Stefan Müller y Vladimír Šverák al decimonoveno problema de Hilbert , construyendo minimizadores de diferenciabilidad mínima en el cálculo de variaciones . ^{[ 14 ]}

La declaración técnica que aparece en el artículo original de Nash es la siguiente: si M es una variedad riemanniana m -dimensional dada (analítica o de clase C ^k , 3 ≤ k ≤ ∞ ), entonces existe un número n (con n ≤ m (3 m + 11)/2 si M es una variedad compacta, y con n ≤ m ( m + 1)(3 m + 11)/2 si M es una variedad no compacta) y una incrustación isométrica f  : M → R ⁿ (también analítica o de clase C ^k ). ^{[ 15 ]} Es decir, f es una incrustación de variedades C ^k y para cada punto p de M , la derivada d f _p es una aplicación lineal del espacio tangente T _p M a R ⁿ que es compatible con el producto interno dado en T _p M y el producto escalar estándar de R ⁿ en el siguiente sentido:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}$

para todos los vectores u , v en T p M. _Cuando n es mayor que 1/2 m ( m + 1) , se trata de un sistema subdeterminado de ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

El teorema de incrustación de Nash es un teorema global en el sentido de que toda la variedad se incrusta en R ⁿ . Un teorema de incrustación local es mucho más simple y puede demostrarse utilizando el teorema de la función implícita del cálculo avanzado en un entorno de coordenadas de la variedad. La demostración del teorema de incrustación global se basa en el teorema de la función implícita de Nash para incrustaciones isométricas. Este teorema ha sido generalizado por varios autores a contextos abstractos, donde se conoce como teorema de Nash-Moser . La idea básica en la demostración del teorema de la función implícita de Nash es el uso del método de Newton para construir soluciones. El método de Newton estándar no converge cuando se aplica al sistema; Nash utiliza operadores de suavizado definidos por convolución para lograr la convergencia de la iteración de Newton: este es el método de Newton con postcondicionamiento. El hecho de que esta técnica proporcione una solución es en sí mismo un teorema de existencia y de interés independiente. En otros contextos, la convergencia del método estándar de Newton ya había sido demostrada anteriormente por Leonid Kantorovitch .

El problema de la incrustabilidad isométrica se extiende naturalmente a métricas semiriemannianas , es decir, métricas no degeneradas de índice arbitrario. En 1970, Greene ^{[ 16 ]} y Clarke ^{[ 17 ]} demostraron independientemente que el teorema de incrustación de Nash podía extenderse a métricas indefinidas —e incluso degeneradas— reduciendo algebraicamente el problema al caso riemanniano.

Específicamente, cualquier superficie lisa${\displaystyle n}$-colector${\displaystyle M^{n}}$dotado de una métrica semiriemanniana${\displaystyle g}$puede incrustarse isométricamente en un espacio semi-euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$para una dimensión suficientemente grande${\displaystyle N}$y índice${\displaystyle \nu }$. Ambos autores también mejoraron el valor de Nash de${\displaystyle N}$como función de${\displaystyle n}$: Greene utilizó el teorema de la función implícita tal como lo formuló Schwartz (1960) ^{[ 18 ]} , mientras que Clarke empleó una técnica inspirada en Kuiper ( Kuiper 1955a , Kuiper 1955b ).

Un problema más restrictivo surge cuando el índice del espacio semi-euclidiano ambiente${\displaystyle \mathbb {R} _{\nu }^{N}}$es fijo igual al índice de la métrica${\displaystyle g}$. Esto es particularmente relevante para la signatura lorentziana (caso${\displaystyle \nu =1}$) donde la existencia de una incrustación se relaciona con las condiciones de causalidad —propiedades que permanecen invariantes bajo transformaciones conformes. Müller y Sánchez (2011) ^{[ 19 ]} proporcionaron una solución completa a este problema:

(1) Criterio de incrustación isométrica: Un lorentziano${\displaystyle C^{3}}$-colector${\displaystyle (M,g)}$es isométricamente incrustable en el espacio-tiempo de Lorentz-Minkowski.${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}:=\mathbb {R} _{1}^{N}}$si y solo si admite una función temporal pronunciada. Esta es una función suave.${\displaystyle \tau }$cuyo gradiente${\displaystyle \nabla \tau }$Satisface:

${\displaystyle g(\nabla \tau ,\nabla \tau )\leq -1}$

• Necesidad: Si existe tal incrustación, la restricción de la coordenada de tiempo natural de${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$a${\displaystyle M}$produce una función temporal pronunciada.
• Suficiencia: Esto se demuestra aplicando una incrustación de Nash a una métrica riemanniana construida invirtiendo el signo de la métrica lorentziana en la dirección de${\displaystyle \nabla \tau }$dentro de la descomposición ortogonal${\displaystyle TM=\langle \nabla \tau \rangle \oplus \nabla \tau ^{\perp }}$.

Observaciones:

• La existencia de${\displaystyle \tau }$implica que${\displaystyle g}$es orientable en el tiempo .
• ${\displaystyle \tau }$sirve como una función temporal para el espaciotiempo obtenido orientador temporal${\displaystyle (M,g)}$de modo que${\displaystyle \nabla \tau }$está dirigido al pasado. En consecuencia, este espacio-tiempo es causalmente estable .
• Si bien no todos los espaciotiempos causales estables admiten una función temporal pronunciada, todos admiten una métrica conforme que sí lo hace. Por lo tanto, todos los espaciotiempos causales estables son incrustables conformemente en${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$para grandes${\displaystyle N}$.

(2) Hiperbolicidad global: Cualquier espaciotiempo globalmente hiperbólico admite una función temporal pronunciada.

Este resultado se logró perfeccionando las técnicas introducidas por Bernal y Sánchez (2005) para construir funciones temporales de Cauchy. Estas funciones fueron diseñadas originalmente para demostrar la existencia de descomposiciones de Bernal-Sánchez . Müller y Sánchez extendieron este enfoque para demostrar la existencia de funciones temporales de Cauchy pronunciadas, que garantizan simultáneamente tanto la descomposición como la incrustación isométrica.

Observaciones:

• Propiedades conformes. Todas las métricas conformes a una métrica globalmente hiperbólica siguen siendo globalmente hiperbólicas y, por lo tanto, son isométricamente incrustables en alguna${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$Esta propiedad caracteriza en realidad la hiperbolicidad global: cualquier espaciotiempo causal estable pero no hiperbólico globalmente admite una métrica conforme que no es isométricamente incrustable en ningún${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}}$.
• Nota histórica. Si bien Clarke (1970) afirmó originalmente el resultado (2), Müller y Sánchez (2011) demostraron en su Apéndice que la técnica de Clarke contiene una laguna. Su enfoque, fundamentalmente diferente, se alinea con la solución del antiguo "problema popular" con respecto a la división de Geroch .

• Teorema de representación : prueba de que toda estructura con ciertas propiedades es isomorfa a otra estructura. 
• Teorema de incrustación de Whitney – Teorema en topología diferencial 
• Teorema de inmersión de Whitney – Teorema en topología diferencial 
• Teorema de Takens : Condiciones bajo las cuales un sistema caótico puede reconstruirse mediante la observación. 
• Reducción de dimensionalidad no lineal : proyección de datos sobre variedades de menor dimensión. 
• Espacio universal

• Bernal, AN; Sánchez, M. (2005). "Suavidad de las funciones temporales y la división métrica de los espaciotiempos globalmente hiperbólicos". Communications in Mathematical Physics . 257 : 43–50 . arXiv : gr-qc/0401112 . doi : 10.1007/s00220-005-1346-1 .
• Clarke, CJS (1970). "Sobre la incrustación isométrica global de variedades pseudoriemannianas". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. 314 : 417–428 . MR 0259813 . 
• Greene, RE (1970). Incrustaciones isométricas de variedades riemannianas y pseudoriemannianas . Memorias de la Sociedad Matemática Americana, n.° 97. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana.
• Müller, O.; Sánchez, M. (2011). "Variedades lorentzianas isométricamente incrustables en L ^N ". Transactions of the American Mathematical Society . 363 : 5367– 5379.
• Schwartz, JT (1960). "Sobre el teorema funcional implícito de Nash". Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 : 509–530 .