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Campo con un elemento

En matemáticas , el campo con un elemento es un nombre sugerente para un objeto que debería comportarse de manera similar a un campo finito con un solo elemento, si tal campo pu...

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En matemáticas , el campo con un elemento es un nombre sugerente para un objeto que debería comportarse de manera similar a un campo finito con un solo elemento, si tal campo pudiera existir. Este objeto se denota F 1 , o, en un juego de palabras franco-inglés, F un . [ 1 ] El nombre "campo con un elemento" y la notación F 1 son solo sugerentes, ya que no existe un campo con un solo elemento en el álgebra abstracta clásica . En cambio, F 1 se refiere a la idea de que debería haber una manera de reemplazar conjuntos y operaciones , los bloques de construcción tradicionales del álgebra abstracta, con otros objetos más flexibles. Se han propuesto muchas teorías de F 1 , pero no está claro cuál de ellas, si alguna, le otorga a F 1 todas las propiedades deseadas. Si bien todavía no existe un campo con un solo elemento en estas teorías, existe un objeto similar a un campo cuya característica es uno.

La mayoría de las teorías propuestas de F1 reemplazan por completo el álgebra abstracta. Objetos matemáticos como espacios vectoriales y anillos de polinomios pueden incorporarse a estas nuevas teorías imitando sus propiedades abstractas. Esto permite el desarrollo del álgebra conmutativa y la geometría algebraica sobre nuevas bases. Una de las características definitorias de las teorías de F1 es que estas nuevas bases admiten más objetos que el álgebra abstracta clásica, uno de los cuales se comporta como un cuerpo de característica uno.

La posibilidad de estudiar las matemáticas de F 1 fue sugerida originalmente en 1956 por Jacques Tits , y publicada en Tits 1957 , basándose en una analogía entre las simetrías en geometría proyectiva y la combinatoria de complejos simpliciales . F 1 se ha relacionado con la geometría no conmutativa y con una posible demostración de la hipótesis de Riemann .

Historia

En 1957, Jacques Tits introdujo la teoría de edificios , que relaciona grupos algebraicos con complejos simpliciales abstractos . Una de las suposiciones es una condición de no trivialidad: si el edificio es un complejo simplicial abstracto n - dimensional, y si k < n , entonces cada k - símplice del edificio debe estar contenido en al menos tres n - símplices. Esto es análogo a la condición en la geometría proyectiva clásica de que una línea debe contener al menos tres puntos. Sin embargo, existen geometrías degeneradas que satisfacen todas las condiciones para ser una geometría proyectiva excepto que las líneas admiten solo dos puntos. Los objetos análogos en la teoría de edificios se llaman apartamentos. Los apartamentos desempeñan un papel constitutivo tan importante en la teoría de edificios que Tits conjeturó la existencia de una teoría de la geometría proyectiva en la que las geometrías degeneradas tendrían la misma categoría que las clásicas. Esta geometría se desarrollaría, dijo, sobre un cuerpo de característica uno . [ 2 ] Usando esta analogía fue posible describir algunas de las propiedades elementales de F 1 , pero no fue posible construirlo.

Después de las observaciones iniciales de Tits, se logró poco progreso hasta principios de la década de 1990. A finales de la década de 1980, Alexander Smirnov dio una serie de charlas en las que conjeturó que la hipótesis de Riemann podría demostrarse considerando los enteros como una curva sobre un cuerpo con un elemento. Para 1991, Smirnov había dado algunos pasos hacia la geometría algebraica sobre F 1 , [ 3 ] introduciendo extensiones de F 1 y usándolas para manejar la línea proyectiva P 1 sobre F 1 . [ 3 ] Los números algebraicos fueron tratados como aplicaciones a esta P 1 , y se sugirieron aproximaciones conjeturales a la fórmula de Riemann-Hurwitz para estas aplicaciones. Estas aproximaciones implican soluciones a problemas importantes como la conjetura abc . Las extensiones de F 1 posteriormente se denotaron como F q con q = 1 n . Junto con Mikhail Kapranov , Smirnov pasó a explorar cómo podrían verse las construcciones algebraicas y de teoría de números en característica prima en "característica uno", culminando en un trabajo inédito publicado en 1995. [ 4 ] En 1993, Yuri Manin dio una serie de conferencias sobre funciones zeta donde propuso desarrollar una teoría de geometría algebraica sobre F 1 . [ 5 ] Sugirió que las funciones zeta de variedades sobre F 1 tendrían descripciones muy simples, y propuso una relación entre la teoría K de F 1 y los grupos de homotopía de esferas . Esto inspiró a varias personas a intentar construir teorías explícitas de geometría F 1 .

La primera definición publicada de una variedad sobre F 1 provino de Christophe Soulé en 1999, [ 6 ] quien la construyó usando álgebras sobre los números complejos y functores de categorías de ciertos anillos. [ 6 ] En 2000, Zhu propuso que F 1 era lo mismo que F 2 excepto que la suma de uno y uno era uno, no cero. [ 7 ] Deitmar sugirió que F 1 debería encontrarse olvidando la estructura aditiva de un anillo y centrándose en la multiplicación. [ 8 ] Toën y Vaquié se basaron en la teoría de esquemas relativos de Hakim y definieron F 1 usando categorías monoidales simétricas . [ 9 ] Vezzani demostró posteriormente que su construcción era equivalente a la de Deitmar. [ 10 ] Nikolai Durov construyó F 1 como una mónada algebraica conmutativa . [ 11 ] Borger usó el descenso para construirla a partir de los cuerpos finitos y los enteros. [ 12 ]

Alain Connes y Caterina Consani desarrollaron las nociones de Soulé y Deitmar "pegando" la categoría de monoides multiplicativos y la categoría de anillos para crear una nueva categoría.METROR,{\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}},}luego definiendo los esquemas F 1 - como un tipo particular de functor representable enMETROR.{\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.}[ 13 ] Utilizando esto, lograron proporcionar una noción de varias construcciones de teoría de números sobreF1tales como motivos y extensiones de cuerpos, así como construirgrupos de ChevalleysobreF12. Junto conMatilde Marcolli, Connes y Consani también han conectadoF1conla geometría no conmutativa. [ 14 ] También se ha sugerido que tiene conexiones con laconjetura de juegos únicosen lateoría de la complejidad computacional. [ 15 ]

Oliver Lorscheid, junto con otros, ha logrado recientemente el objetivo original de Tits de describir los grupos de Chevalley sobre F 1 mediante la introducción de objetos llamados planos, que son una generalización simultánea de semianillos y monoides. [ 16 ] [ 17 ] Estos se utilizan para definir los llamados "esquemas azules", uno de los cuales es Spec F 1 . [ 18 ] Las ideas de Lorscheid se apartan un poco de otras ideas de grupos sobre F 1 , en el sentido de que el esquema F 1 no es en sí mismo el grupo de Weyl de su extensión base a esquemas normales. Lorscheid define primero la categoría de Tits, una subcategoría completa de la categoría de esquemas azules, y define la "extensión de Weyl", un functor de la categoría de Tits a Set . Un modelo Tits-Weyl de un grupo algebraicoGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}es un esquema azul G con una operación de grupo que es un morfismo en la categoría Tits, cuya extensión base esGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}y cuya extensión de Weyl es isomorfa al grupo de Weyl deGRAMO.{\displaystyle {\mathcal {G}}.}

La geometría F1 se ha vinculado a la geometría tropical , a través del hecho de que los semianillos (en particular, los semianillos tropicales) surgen como cocientes de algún semianillo monoide N [ A ] de sumas formales finitas de elementos de un monoide A , que es en sí mismo un álgebra F1 . Esta conexión se hace explícita mediante el uso de planos por parte de Lorscheid. [ 19 ] Los hermanos Giansiracusa han construido una teoría de esquemas tropicales, para la cual su categoría de esquemas tropicales es equivalente a la categoría de esquemas F1 de Toën-Vaquié . [ 20 ] Esta categoría se incrusta fielmente , pero no completamente , en la categoría de esquemas azules, y es una subcategoría completa de la categoría de esquemas Durov.

Motivaciones

Teoría algebraica de números

Una motivación para F 1 proviene de la teoría algebraica de números . La demostración de André Weil de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos comienza con una curva C sobre un cuerpo finito k , que viene equipada con un cuerpo de funciones F , que es una extensión de cuerpo de k . Cada uno de estos cuerpos de funciones da lugar a una función zeta de Hasse-Weil ζ F , y la hipótesis de Riemann para cuerpos finitos determina los ceros de ζ F. La demostración de Weil luego utiliza varias propiedades geométricas de C para estudiar ζ F.

El campo de los números racionales Q está vinculado de forma similar a la función zeta de Riemann , pero Q no es el campo de funciones de una variedad. En cambio, Q es el campo de funciones del esquema Spec Z. Este es un esquema unidimensional (también conocido como curva algebraica ), por lo que debería existir algún "campo base" sobre el cual se encuentre esta curva, del cual Q sería una extensión de campo (de la misma manera que C es una curva sobre k , y F es una extensión de k ). La esperanza de la geometría F1 es que un objeto adecuado F1 pueda desempeñar el papel de este campo base, lo que permitiría una demostración de la hipótesis de Riemann imitando la demostración de Weil con F1 en lugar de k .

Geometría de Arakelov

La geometría sobre un cuerpo con un elemento también está motivada por la geometría de Arakelov , donde se estudian ecuaciones diofánticas utilizando herramientas de la geometría compleja . La teoría implica comparaciones complejas entre cuerpos finitos y números complejos. Aquí, la existencia de F 1 resulta útil por razones técnicas.

Propiedades esperadas

F 1 no es un campo

F 1 no puede ser un cuerpo porque, por definición, todos los cuerpos deben contener dos elementos distintos: el cero, el cero, y el uno, el uno, el elemento multiplicativo . Incluso si se elimina esta restricción (por ejemplo, haciendo que los elementos aditivo y multiplicativo sean el mismo), un anillo con un solo elemento debe ser el anillo cero , que no se comporta como un cuerpo finito. Por ejemplo, todos los módulos sobre el anillo cero son isomorfos (ya que el único elemento de dicho módulo es el cero). Sin embargo, una de las motivaciones clave de F 1 es la descripción de conjuntos como " espacios vectoriales F 1 ": si los conjuntos finitos fueran módulos sobre el anillo cero, entonces todos los conjuntos finitos tendrían el mismo tamaño, lo cual no es el caso. Además, el espectro del anillo trivial es vacío, pero el espectro de un cuerpo tiene un solo punto.

Otras propiedades

Cálculos

Diversas estructuras en un conjunto son análogas a las estructuras en un espacio proyectivo y pueden calcularse de la misma manera:

Los conjuntos son espacios proyectivos

El número de elementos de P ( F n q ) = P n −1 ( F q ) , el espacio proyectivo ( n − 1) ‑ dimensional sobre el campo finito F q , es el q ‑ entero [ 24 ][norte]q:=qnorte−1q−1=1+q+q2+⋯+qnorte−1.{\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.} Tomando q = 1 se obtiene [ n ] q = n .

La expansión del entero q en una suma de potencias de q corresponde a la descomposición celular de Schubert del espacio proyectivo.

Las permutaciones son indicadores máximos.

Hay n ! permutaciones de un conjunto con n elementos, y [ n ]! q banderas máximas en F n q , donde [norte]¡q:=[1]q[2]q…[norte]q{\displaystyle [n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}} es el q - factorial . De hecho, una permutación de un conjunto puede considerarse un conjunto filtrado , como una bandera es un espacio vectorial filtrado: por ejemplo, el ordenamiento (0, 1, 2) del conjunto {0, 1, 2} corresponde a la filtración {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} .

Los subconjuntos son subespacios

El coeficiente binomialnorte¡metro¡(norte−metro)¡{\displaystyle {\frac {n!}{m!(nm)!}}} da el número de subconjuntos de m elementos de un conjunto de n elementos y el coeficiente q - binomial[norte]¡q[metro]¡q[norte−metro]¡q{\displaystyle {\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[nm]!_{q}}}} da el número de subespacios m- dimensionales de un espacio vectorial n- dimensional sobre F q .

La expansión del coeficiente q - binomial en una suma de potencias de q corresponde a la descomposición celular de Schubert de la Grassmanniana .

Esquemas monoides

La construcción de esquemas monoides de Deitmar [ 25 ] ha sido denominada "el núcleo mismo de la geometría F1 " [ 16 ] , ya que la mayoría de las demás teorías de la geometría F1 contienen descripciones de esquemas monoides. En esencia, imita la teoría de esquemas desarrollada en las décadas de 1950 y 1960 al reemplazar los anillos conmutativos con monoides . El efecto de esto es "olvidar" la estructura aditiva del anillo, dejando solo la estructura multiplicativa. Por esta razón, a veces se la denomina "geometría no aditiva".

Monoides

Un monoide multiplicativo es un monoide A que también contiene un elemento absorbente 0 (distinto del elemento identidad 1 del monoide), de modo que 0 a = 0 para todo a en el monoide A. El cuerpo con un elemento se define entonces como F 1 = {0, 1} , el monoide multiplicativo del cuerpo con dos elementos, que es inicial en la categoría de monoides multiplicativos. Un ideal monoide en un monoide A es un subconjunto I que es multiplicativamente cerrado, contiene 0 y tal que IA = { ra  : r ∈ I , a ∈ A } = I . Dicho ideal es primo si A ∖ I es multiplicativamente cerrado y contiene 1.

Para los monoides A y B , un homomorfismo de monoides es una función f  : A → B tal que

  • F(0)=0;{\displaystyle f(0)=0;}
  • F(1)=1,{\displaystyle f(1)=1,}y
  • F(ab)=F(a)F(b){\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}por cadaa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}enA.{\displaystyle A.}

Esquemas monoides

El espectro de un monoide A , denotado Spec A , es el conjunto de ideales primos de A. Al espectro de un monoide se le puede asignar una topología de Zariski , definiendo conjuntos abiertos básicos .Uh={pag∈EspeculaciónA:h∉pag},{\displaystyle U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},} para cada h en A. Un espacio monoidal es un espacio topológico junto con un haz de monoides multiplicativos llamado haz de estructura . Un esquema de monoide afín es un espacio monoidal que es isomorfo al espectro de un monoide, y un esquema de monoide es un haz de monoides que tiene una cubierta abierta por esquemas de monoide afines.

Los esquemas monoides se pueden convertir en esquemas de teoría de anillos mediante un functor de extensión de base – ⊗ F 1 Z que envía el monoide A al Z ‑ módulo (es decir, anillo) Z [ A ] / ⟨ 0 A ⟩ , y un homomorfismo de monoide f : A → B se extiende a un homomorfismo de anillo f Z : A ⊗ F 1 Z → B ⊗ F 1 Z que es lineal como un homomorfismo de Z ‑ módulo. La extensión de base de un esquema monoide afín se define mediante la fórmula   Especulación⁡(A)×Especulación⁡(F1)Especulación⁡(Z)=Especulación⁡(A⊗F1Z),{\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},} lo cual, a su vez, define la extensión base de un esquema monoide general.

Consecuencias

Esta construcción logra muchas de las propiedades deseadas de la geometría F 1 : Spec F 1 consta de un solo punto, por lo que se comporta de manera similar al espectro de un cuerpo en la geometría convencional, y la categoría de esquemas monoides afines es dual a la categoría de monoides multiplicativos, reflejando la dualidad de los esquemas afines y los anillos conmutativos. Además, esta teoría satisface las propiedades combinatorias esperadas de F 1 mencionadas en secciones anteriores; por ejemplo, el espacio proyectivo sobre F 1 de dimensión n como esquema monoide es idéntico a un apartamento del espacio proyectivo sobre F q de dimensión n cuando se describe como un edificio.

Sin embargo, los esquemas monoides no cumplen todas las propiedades esperadas de una teoría de la geometría F1 , ya que las únicas variedades que tienen análogos de esquemas monoides son las variedades tóricas . [ 26 ] Más precisamente, si X es un esquema monoide cuya extensión base es un esquema plano , separado y conexo de tipo finito , entonces la extensión base de X es una variedad tórica. Otras nociones de geometría F1 , como la de Connes-Consani, [ 27 ] se basan en este modelo para describir variedades F1 que no son tóricas .

extensiones de campo

Se pueden definir las extensiones de campo del campo con un elemento como el grupo de raíces de la unidad , o más precisamente (con una estructura geométrica) como el esquema de grupo de raíces de la unidad . Esto no es naturalmente isomorfo al grupo cíclico de orden n , y el isomorfismo depende de la elección de una raíz primitiva de la unidad : [ 28 ]F1norte=μnorte.{\displaystyle \mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.} Así, un espacio vectorial de dimensión d sobre F 1 n es un conjunto finito de orden dn sobre el cual las raíces de la unidad actúan libremente, junto con un punto base.

Desde este punto de vista, el cuerpo finito F q es un álgebra sobre F 1 n , de dimensión d = ( q − 1)/ n para cualquier n que sea un factor de q − 1 (por ejemplo , n = q − 1 o n = 1 ). Esto corresponde al hecho de que el grupo de unidades de un cuerpo finito F q (que son los q − 1 elementos no nulos) es un grupo cíclico de orden q − 1 , sobre el cual cualquier grupo cíclico de orden que divida q − 1 actúa libremente (elevándolo a una potencia), y el elemento cero del cuerpo es el punto base.

De manera similar, los números reales R son un álgebra sobre F 1 2 , de dimensión infinita, ya que los números reales contienen ±1, pero ninguna otra raíz de la unidad, y los números complejos C son un álgebra sobre F 1 n para todo n , nuevamente de dimensión infinita, ya que los números complejos tienen todas raíces de la unidad.

Desde este punto de vista, cualquier fenómeno que solo dependa de un campo con raíces de la unidad puede verse como proveniente de F 1 – por ejemplo, la transformada discreta de Fourier (de valores complejos) y la transformada teórica de números relacionada ( de valores Z / n Z ).

Véase también

Notas

  1. ↑ « un » significa «uno» en francés, y « fun» es una palabra inglesa de carácter lúdico. Para ver ejemplos de esta notación, consulte, por ejemplo, Le Bruyn (2009) o los enlaces de Le Bruyn, Connes y Consani.
  2. ↑ Tetas (1957) .
  3. 1 2 Smirnov (1992)
  4. ↑ Kapranov y Smirnov (1995)
  5. ↑ Manin (1995) .
  6. 1 2 3 4 Soulé (1999)
  7. ↑ Lescot (2009) .
  8. ↑ Deitmar (2005) .
  9. ↑ Toën y Vaquié (2005) .
  10. ↑ Vezzani (2010)
  11. ↑ Durov (2008) .
  12. ↑ Borger (2009) .
  13. ↑ Connes y Consani (2010) .
  14. ^ Connes, Consani y Marcolli (2009)
  15. ↑ Kalai, Gil (10 de enero de 2018), "Subhash Khot, Dor Minzer y Muli Safra demostraron la conjetura de los juegos 2 a 2" , Combinatoria y más
  16. 1 2 Lorscheid (2018a)
  17. ↑ ( Lorscheid 2018b )
  18. ↑ Lorscheid (2016)
  19. ↑ Lorscheid (2015)
  20. ↑ Giansiracusa y Giansiracusa (2016)
  21. ↑ Noah Snyder, El campo con un elemento, Secret Blogging Seminar, 14 de agosto de 2007.
  22. ↑ Descubrimientos de esta semana en física matemática, semana 187
  23. ↑ Deitmar (2006) .
  24. ↑ Descubrimientos de esta semana en física matemática, semana 183, q - aritmética
  25. ↑ Deitmar (2005)
  26. ↑ Deitmar (2006)
  27. ↑ Connes y Consani (2010)
  28. ↑ Mikhail Kapranov, vinculado en The F_un folklore

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