Representación de Galois

En matemáticas , un módulo de Galois es un G- módulo , donde G es el grupo de Galois (llamado así por Évariste Galois ) de alguna extensión de cuerpos . El término representación de Galois se usa frecuentemente cuando el G -módulo es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de representaciones , pero también puede usarse como sinónimo de G -módulo. El estudio de los módulos de Galois para extensiones de cuerpos locales o globales y su cohomología de grupos es una herramienta importante en la teoría de números .

Ejemplos

Dado un cuerpo K , el grupo multiplicativo ( K ^s ) ^× de una clausura separable de K es un módulo de Galois para el grupo de Galois absoluto . Su segundo grupo de cohomología es isomorfo al grupo de Brauer de K (por el teorema 90 de Hilbert , su primer grupo de cohomología es cero).
Si X es un esquema propio suave sobre un cuerpo K , entonces los grupos de cohomología ℓ-ádicos de su fibra geométrica son módulos de Galois para el grupo de Galois absoluto de K.

Teoría de la ramificación

Sea K un cuerpo valuado (con valuación denotada por v ) y sea L / K una extensión de Galois finita con grupo de Galois G. Para una extensión w de v a L , sea I _w su grupo de inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ : G → Aut( V ) no está ramificado si ρ ( I _w ) = {1}.

Estructura de módulo de Galois de los enteros algebraicos

En la teoría clásica de números algebraicos , sea L una extensión de Galois de un cuerpo K , y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces, el anillo O _L de enteros algebraicos de L puede considerarse como un O _K [ G ]-módulo, y cabe preguntarse cuál es su estructura. Esta es una cuestión aritmética, ya que por el teorema de la base normal se sabe que L es un K [ G ]-módulo libre de rango 1. Si lo mismo se cumple para los enteros, esto equivale a la existencia de una base integral normal , es decir, de α en O _L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O _L sobre O _K . Esta es una cuestión interesante incluso (quizás especialmente) cuando K es el cuerpo de los números racionales Q .

Por ejemplo, si L = Q ( √ −3 ), ¿existe una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarla con Q ( ζ ) donde

ζ = exp(2

π

i /3).

De hecho, todos los subcampos de los campos ciclotómicos para raíces p - ésimas de la unidad para p un número primo tienen bases enteras normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los períodos gaussianos (el teorema de Hilbert-Speiser ). Por otro lado, el campo gaussiano no las tiene. Este es un ejemplo de una condición necesaria hallada por Emmy Noether ( ¿quizás conocida anteriormente? ). Lo que importa aquí es la ramificación mansa . En términos del discriminante D de L , y tomando aún K = Q , ningún primo p debe dividir D elevado a la potencia p . Entonces, el teorema de Noether establece que la ramificación mansa es necesaria y suficiente para que O _L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Ciertamente, por lo tanto, es necesario que sea un módulo libre . Deja la cuestión de la brecha entre libre y proyectivo, para la cual se ha construido una gran teoría.

Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un cuerpo numérico abeliano ramificado de forma dócil tiene una base integral normal. Esto puede verse utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incrustar el cuerpo abeliano en un cuerpo ciclotómico. ^{[ 1 ]}

Representaciones de Galois en teoría de números

Muchos objetos que surgen en la teoría de números son, naturalmente, representaciones de Galois. Por ejemplo, si L es una extensión de Galois de un cuerpo numérico K , el anillo de enteros O _L de L es un módulo de Galois sobre O _K para el grupo de Galois de L / K (véase el teorema de Hilbert-Speiser). Si K es un cuerpo local, el grupo multiplicativo de su clausura separable es un módulo para el grupo de Galois absoluto de K y su estudio conduce a la teoría de cuerpos de clases local . Para la teoría de cuerpos de clases global , se utiliza en su lugar la unión de los grupos de clases idélicas de todas las extensiones separables finitas de K.

También existen representaciones de Galois que surgen de objetos auxiliares y pueden utilizarse para estudiar grupos de Galois. Una familia importante de ejemplos son los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas .

Representaciones de Artin

Sea K un cuerpo numérico. Emil Artin introdujo una clase de representaciones de Galois del grupo de Galois absoluto G _K de K , ahora llamadas representaciones de Artin . Estas son las representaciones lineales continuas de dimensión finita de G _K en espacios vectoriales complejos . El estudio de Artin sobre estas representaciones lo llevó a formular la ley de reciprocidad de Artin y a conjeturar lo que ahora se conoce como la conjetura de Artin sobre la holomorfía de las funciones L de Artin .

Debido a la incompatibilidad de la topología profinita en G _K y la topología usual (euclidiana) en espacios vectoriales complejos, la imagen de una representación de Artin es siempre finita.

Representaciones ℓ-ádicas

Sea ℓ un número primo . Una representación ℓ-ádica de G _K es un homomorfismo de grupo continuo ρ : G _K → Aut( M ) donde M es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q_ℓ (la clausura algebraica de los números ℓ-ádicos Q _ℓ ) o un Z_ℓ -módulo finitamente generado (donde Z_ℓ es la clausura integral de Z _ℓ en Q_ℓ ). Los primeros ejemplos que surgieron fueron el carácter ciclotómico ℓ-ádico y los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas sobre K . Otros ejemplos provienen de las representaciones de Galois de formas modulares y formas automorfas , y las representaciones de Galois en grupos de cohomología ℓ-ádicos de variedades algebraicas.

A diferencia de las representaciones de Artin, las representaciones ℓ-ádicas pueden tener una imagen infinita. Por ejemplo, la imagen de G _Q bajo el carácter ciclotómico ℓ-ádico es $\mathbf {Z} _{\ell }^{\times }$ Las representaciones ℓ-ádicas con imagen finita se denominan a menudo representaciones de Artin. Mediante un isomorfismo de Q_ℓ con C, pueden identificarse con representaciones de Artin auténticas .

Representaciones Mod ℓ

Se trata de representaciones sobre un cuerpo finito de característica ℓ. Suelen surgir como la reducción módulo ℓ de una representación ℓ-ádica.

Condiciones locales sobre las representaciones

Existen numerosas condiciones sobre las representaciones dadas por alguna propiedad de la representación restringida a un grupo de descomposición de algún número primo. La terminología para estas condiciones es algo caótica, ya que diferentes autores inventan nombres distintos para la misma condición y utilizan el mismo nombre con diferentes significados. Algunas de estas condiciones incluyen:

Representaciones abelianas. Esto significa que la imagen del grupo de Galois en las representaciones es abeliana .
Representaciones absolutamente irreducibles. Estas siguen siendo irreducibles sobre una clausura algebraica del cuerpo.
Representaciones de Barsotti-Tate. Estas son similares a las representaciones planas finitas.
Representaciones cristalinas
Representaciones cristalinas.
Representaciones de Rham.
Representaciones planas finitas. (Este nombre es un poco engañoso, ya que en realidad son profinitas en lugar de finitas). Estas se pueden construir como un límite proyectivo de representaciones del grupo de Galois en un esquema de grupo plano finito .
Buenas representaciones. Estas están relacionadas con las representaciones de curvas elípticas con buena reducción.
Representaciones de Hodge-Tate.
Representaciones irreducibles . Estas son irreducibles en el sentido de que la única subrepresentación es el espacio completo o cero.
Representaciones mínimamente ramificadas.
Representaciones modulares. Estas son representaciones que provienen de una forma modular , pero también pueden referirse a representaciones sobre campos de característica positiva .
Representaciones ordinarias. Estas se relacionan con las representaciones de curvas elípticas mediante reducción ordinaria (no supersingular). Más precisamente, son representaciones bidimensionales reducibles mediante una subrepresentación unidimensional, de modo que el grupo de inercia actúa de cierta manera sobre el submódulo y el cociente. La condición exacta depende del autor; por ejemplo, podría actuar trivialmente sobre el cociente y mediante el carácter ε sobre el submódulo.
Representaciones potencialmente algo . Esto significa que las representaciones restringidas a un subgrupo abierto de índice finito tienen alguna propiedad específica.
Representaciones reducibles. Estas tienen una subrepresentación propia no nula.
Representaciones semiestables. Se trata de representaciones bidimensionales relacionadas con las representaciones que provienen de curvas elípticas semiestables .
Representaciones dócilmente ramificadas. Estas son triviales en el grupo de ramificación (primero) .
Representaciones triangulares.
Representaciones no ramificadas. Estas son triviales en el grupo de inercia.
Representaciones sumamente ramificadas. Estas no son triviales en el grupo de ramificación (primera).

Representaciones del grupo Weil

Si K es un cuerpo local o global, la teoría de formaciones de clases le asocia a K su grupo de Weil W _K , un homomorfismo de grupos continuo φ : W _K → G _K , y un isomorfismo de grupos topológicos.

r_{K}:C_{K}{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\text{ab}}

donde C _K es K ^× o el grupo de clases idele I _K / K ^× (dependiendo de si K es local o global) y W ab K es la abelianización del grupo de Weil de K . A través de φ, cualquier representación de G _K puede considerarse como una representación de W _K . Sin embargo, W _K puede tener estrictamente más representaciones que G _K . Por ejemplo, a través de r _K los caracteres complejos continuos de W _K están en biyección con los de C _K . Por lo tanto, el carácter de valor absoluto en C _K produce un carácter de W _K cuya imagen es infinita y por lo tanto no es un carácter de G _K (ya que todos tales tienen imagen finita).

Una representación ℓ-ádica de W _K se define de la misma manera que para G _K . Estas surgen naturalmente de la geometría: si X es una variedad proyectiva lisa sobre K , entonces la cohomología ℓ-ádica de la fibra geométrica de X es una representación ℓ-ádica de G _K que, a través de φ, induce una representación ℓ-ádica de W _K . Si K es un cuerpo local de característica residual p ≠ ℓ, entonces es más sencillo estudiar las llamadas representaciones de Weil-Deligne de W _K .

Representaciones de Weil-Deligne

Sea K un cuerpo local. Sea E un cuerpo de característica cero. Una representación de Weil-Deligne sobre E de W _K (o simplemente de K ) es un par ( r , N ) que consta de

un homomorfismo de grupo continuo r : W _K → Aut _E ( V ) , donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre E equipado con la topología discreta ,
un endomorfismo nilpotente N : V → V tal que r ( w )N r ( w ) ⁻¹ = || w || N para todo w ∈ W _K . ^[²^]

Estas representaciones son las mismas que las representaciones sobre E del grupo de Weil-Deligne de K.

Si la característica residual de K es diferente de ℓ, el teorema de monodromía ℓ-ádica de Grothendieck establece una biyección entre las representaciones ℓ-ádicas de W _K (sobre Q_ℓ ) y las representaciones de Weil-Deligne de W _K sobre Q_ℓ (o equivalentemente sobre C ). Estas últimas tienen la ventaja de que la continuidad de r se da solo con respecto a la topología discreta en V , lo que hace que la situación sea más algebraica.

Véase también

Notas

↑ Fröhlich 1983 , pág. 8
↑ Aquí || w || viene dado por q v ( w ) K donde q _K es el tamaño del campo residual de K y v ( w ) es tal que w es equivalente a la potencia − v ( w ) del Frobenius (aritmético) de W _K .

Referencias

Kudla, Stephen S. (1994). «La correspondencia local de Langlands: el caso no arquimediano». En Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven ; Serre, Jean-Pierre (eds.). Motivos . Actas de simposios de matemáticas puras. Vol. 55, parte 2. Providence : American Mathematical Society . pp. 365–391 . ISBN 978-0-8218-2798-7. MR 1265559 .

Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008) [2000]. Cohomología de cuerpos numéricos . Una serie de estudios exhaustivos en matemáticas. Vol. 323 (segunda ed.). Berlín , Heidelberg : Springer . ISBN 978-3-540-37888-4.

Tate, J. (1979). «Fundamentos de la teoría de números» (PDF) . En Borel, A .; Casselman, W. (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L. Actas de simposios de matemáticas puras. Vol. 33, parte 2. Providence : American Mathematical Society . págs. 3-26 . ISBN 978-0-8218-1437-6MR 0546607 .

Lecturas adicionales

Snaith, Victor P. (1994). Estructura del módulo de Galois . Monografías del Fields Institute. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0264-9. Zbl 0830.11042 .

Fröhlich, Albrecht (1983). Estructura de módulos de Galois de enteros algebraicos . Serie de estudios modernos en matemáticas. Vol. 1. Berlín , Heidelberg : Springer . ISBN 3-540-11920-5. Zbl 0501.12012 .

[F8-1] Fröhlich 1983 , pág. 8

[2] Aquí || w || viene dado por q v ( w ) K donde q _K es el tamaño del campo residual de K y v ( w ) es tal que w es equivalente a la potencia − v ( w ) del Frobenius (aritmético) de W _K .

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