Orden dual (análisis funcional)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional , el dual de orden de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$es el conjunto${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$dónde${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$denota el conjunto de todos los funcionales lineales positivos en${\displaystyle X}$donde una función lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$se llama positivo si para todo${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\geq 0}$implica${\displaystyle f(x)\geq 0.}$^{[ 1 ]} El orden dual de${\displaystyle X}$se denota por${\displaystyle X^{+}}$. Junto con el concepto relacionado del dual de límite de orden , este espacio juega un papel importante en la teoría de los espacios vectoriales topológicos ordenados .

Un elemento${\displaystyle f}$del orden dual de${\displaystyle X}$se llama positivo si${\displaystyle x\geq 0}$implica${\displaystyle \operatorname {Re} f(x)\geq 0.}$ Los elementos positivos del orden dual forman un cono que induce un ordenamiento en${\displaystyle X^{+}}$llamado orden canónico . Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo${\displaystyle C}$está generando (es decir,${\displaystyle X=CC}$) entonces el dual de orden con el orden canónico es un espacio vectorial ordenado. ^{[ 1 ]} El dual de orden es el espacio generado por el conjunto de funcionales lineales positivos en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

El orden dual está contenido en el orden dual cota . ^{[ 1 ]} Si el cono positivo de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$está generando y si${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$se aplica a todos los positivos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, entonces el dual de orden es igual al dual de límite de orden, que es un retículo vectorial completo de orden bajo su ordenación canónica. ^{[ 1 ]}

El dual de orden de una red vectorial es una red vectorial completa en orden. ^{[ 1 ]} El dual de orden de una red vectorial${\displaystyle X}$puede ser de dimensión finita (posiblemente incluso${\displaystyle \{0\}}$) incluso si${\displaystyle X}$es de dimensión infinita. ^{[ 1 ]}

Supongamos que${\displaystyle X}$es un espacio vectorial ordenado tal que el orden canónico en${\displaystyle X^{+}}$marcas${\displaystyle X^{+}}$en un espacio vectorial ordenado. Entonces, el dual de orden se define como el dual de orden de${\displaystyle X^{+}}$y se denota por${\displaystyle X^{++}}$. Si el cono positivo de un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$está generando y si${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$se aplica a todos los positivos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, entonces${\displaystyle X^{++}}$es una red vectorial de orden completo y el mapa de evaluación${\displaystyle X\to X^{++}}$es preservador del orden. ^{[ 1 ]} En particular, si${\displaystyle X}$es una red vectorial entonces${\displaystyle X^{++}}$es una red vectorial de orden completo. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es una red vectorial y si${\displaystyle G}$es un subespacio sólido de${\displaystyle X^{+}}$que separa puntos en${\displaystyle X}$, luego el mapa de evaluación${\displaystyle X\to G^{+}}$definido por envío${\displaystyle x\in X}$al mapa${\displaystyle E_{x}:G^{+}\to \mathbb {C} }$dado por${\displaystyle E_{x}(f):=f(x)}$, es un isomorfismo reticular de${\displaystyle X}$sobre una subred vectorial de${\displaystyle G^{+}}$. ^{[ 1 ]} Sin embargo, la imagen de este mapa en general no está completa en cuanto al orden, incluso si${\displaystyle X}$es de orden completo. De hecho, una red vectorial de orden regular y de orden completo no necesita ser mapeada por el mapa de evaluación sobre una banda en el bidual de orden. Una red vectorial de orden completo y de orden regular cuya imagen canónica en su bidual de orden es de orden completo se llama mínima y se dice que es de tipo mínimo . ^{[ 1 ]}

Un espacio vectorial ordenado${\displaystyle X}$se denomina ordenado regularmente y se dice que su orden es regular si es ordenado arquimediano y${\displaystyle X^{+}}$distingue puntos en${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

• Espacio dual algebraico – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Espacio dual continuo – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Espacio dual – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales 
• Dual con orden restringido – Concepto matemático 

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​