Campo exponencial ordenado

En matemáticas , un campo exponencial ordenado es un campo ordenado junto con una función que generaliza la idea de las funciones exponenciales en el campo ordenado de los números reales.

Una exponencial${\textstyle E}$en un campo ordenado${\textstyle K}$es un isomorfismo estrictamente creciente del grupo aditivo de${\textstyle K}$sobre el grupo multiplicativo de elementos positivos de${\textstyle K}$. El campo ordenado${\displaystyle K\,}$junto con la función adicional${\displaystyle E\,}$Se denomina campo exponencial ordenado.

• El ejemplo canónico para un campo exponencial ordenado es el campo ordenado de números reales R con cualquier función de la forma${\textstyle a^{x}}$dónde${\textstyle a}$es un número real mayor que  1. Una de estas funciones es la función exponencial usual , es decir, ^E ( x ) = eˣ . El cuerpo ordenado R equipado con esta función da el cuerpo exponencial real ordenado, denotado por R _exp . En la década de 1990 se demostró que R _exp es modelo completo , un resultado conocido como el teorema de Wilkie . Este resultado, cuando se combina con el teorema de Khovanskiĭ sobre funciones pfaffianas , prueba que R _exp también es o-minimal . ^{[ 1 ]} Alfred Tarski planteó la cuestión de la decidibilidad de R _exp y por lo tanto ahora se conoce como el problema de la función exponencial de Tarski . Se sabe que si la versión real de la conjetura de Schanuel es verdadera, entonces R _exp es decidible. ^{[ 2 ]}
• El campo ordenado de números surrealistas${\textstyle \mathbf {No} }$admite una exponencial que extiende la función exponencial exp en R. Dado que${\textstyle \mathbf {No} }$no tiene la propiedad arquimediana , este es un ejemplo de un campo exponencial ordenado no arquimediano.
• El campo ordenado de transseries logarítmico-exponenciales${\textstyle \mathbb {T} ^{LE}}$está construida específicamente de tal manera que admite una exponencial canónica.

Un campo formalmente exponencial, también llamado campo exponencialmente cerrado, es un campo ordenado que puede equiparse con una exponencial.${\textstyle E}$Para cualquier campo formalmente exponencial${\textstyle K}$, se puede elegir una exponencial${\textstyle E}$en${\textstyle K}$de tal manera que ${\textstyle 1+1/n<E(1)<n}$para algún número natural${\textstyle n}$. ^{[ 3 ]}

• Todo campo exponencial ordenado${\textstyle K}$es raíz cerrada , es decir, cada elemento positivo de${\displaystyle K\,}$tiene un${\textstyle n}$raíz -ésima para todos los enteros positivos${\textstyle n}$(o en otras palabras, el grupo multiplicativo de elementos positivos de${\displaystyle K\,}$es divisible ). Esto es así porque${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$a pesar de${\textstyle a>0}$.
• En consecuencia, todo campo exponencial ordenado es un campo euclidiano .
• En consecuencia, todo campo exponencial ordenado es un campo pitagórico ordenado .
• No todo cuerpo real cerrado es un cuerpo formalmente exponencial, por ejemplo, el cuerpo de los números algebraicos reales no admite una exponencial. Esto se debe a que una exponencial${\textstyle E}$tiene que ser de la forma${\displaystyle E(x)=a^{x}\,}$para algunos${\textstyle 1<a\in K}$en cada subcampo formalmente exponencial${\textstyle K}$de los números reales; sin embargo,${\displaystyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$no es algebraico si${\textstyle 1<a}$es algebraica por el teorema de Gelfond-Schneider .
• En consecuencia, la clase de campos formalmente exponenciales no es una clase elemental, ya que el campo de los números reales y el campo de los números algebraicos reales son estructuras elementalmente equivalentes .
• La clase de campos formalmente exponenciales es una clase pseudoelemental . Esto es así ya que un campo${\displaystyle K\,}$es exponencialmente cerrado si y solo si existe una función sobreyectiva.${\textstyle E_{2}\colon K\rightarrow K^{+}}$de tal manera que${\textstyle E_ {2}(x+y)=E_ {2}(x)E_ {2}(y)}$y${\textstyle E_{2}(1)=2}$; y estas propiedades de${\textstyle E_{2}}$son axiomatizables.

• Campo exponencial

• Alling, Norman L. (1962). " Sobre campos exponencialmente cerrados" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 13 (5): 706– 711. doi : 10.2307/2034159 . JSTOR 2034159. Zbl 0136.32201 .  
• Kuhlmann, Salma (2000), Campos exponenciales ordenados , Monografías del Fields Institute, vol.  12, American Mathematical Society, doi : 10.1090/fim/012 , ISBN 0-8218-0943-1, MR 1760173